突破點3平面向量提煉1平面向量共線、垂直的兩個充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則：(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.提煉2數(shù)量積常見的三種應用已知兩個非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)證明向量垂直：abab0x1x2y1y20.(2)求向量的長度：|a|.(3)求向量的夾角：cosa，b.提煉3平面向量解題中應熟知的常用結論(1)A，B，C三點共線的充要條件是存在實數(shù)，有，且1.(2)C是線段AB中點的充要條件是()(3)G是ABC的重心的充要條件為0，若ABC的三個頂點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則ABC的重心坐標為，.(4)P為ABC的垂心(5)非零向量a，b垂直的充要條件：abab0|ab|ab|x1x2y1y20.(6)向量b在a的方向上的投影為|b|cos ，向量a在b的方向上的投影為|a|cos .回訪1平面向量的線性運算1(2015全國卷)設D為ABC所在平面內(nèi)一點，3，則()A.B.C.D.A3，3()，即43 ，.2(2015全國卷)設向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實數(shù)_.ab與a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得回訪2平面向量的數(shù)量積3(2016全國乙卷)設向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，則m_.2|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，ab0.又a(m,1)，b(1,2)，m20，m2.4(2014全國卷)已知A，B，C為圓O上的三點，若()，則與的夾角為_90()，點O是ABC中邊BC的中點，BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質有，90.5(2012全國卷)已知向量a，b夾角為45，且|a|1，|2ab|，則|b|_.3a，b的夾角為45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|210，|b|3.回訪3數(shù)量積的綜合應用6(2013全國卷)已知兩個單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b，若bc0，則t_.2|a|b|1，a，b60.cta(1t)b，bctab(1t)b2t11(1t)11t1.bc0，10，t2.熱點題型1平面向量的運算題型分析：該熱點是高考的必考點之一，考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個方面：一是以平面圖形為載體考查向量的線性運算；二是以向量的共線與垂直為切入點，考查向量的夾角、模等.(1)(2016深圳二模)如圖31，正方形ABCD中，M是BC的中點，若，則()圖31A.B.C. D2(2)(2016天津高考)已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE2EF，則的值為()A BC. D.(1)B(2)B(1)法一：建立平面直角坐標系如圖所示，設正方形的邊長為2，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，M(2,1)，D(0,2)，所以(2,2)，(2,1)，(2,2)由，得(2,2)(2,1)(2,2)，即(2,2)(22，2)，所以解得所以，故選B.法二：因為()()()()，所以得所以，故選B.(2)如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點，且DE2EF，所以，所以.又，則()2222.又|1，BAC60，故11.故選B.1平面向量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標運算來實現(xiàn)2正確理解并掌握向量的概念及運算，強化“坐標化”的解題意識，注重數(shù)形結合思想、方程思想與轉化思想的應用提醒：運算兩平面向量的數(shù)量積時，務必要注意兩向量的方向變式訓練1(1)已知向量a(1,2)，b(3,1)，c(x,4)，若(ab)c，則c(ab)()A(2,12)B(2,12)C14 D10(2)已知e1，e2是不共線向量，ame12e2，bne1e2，且mn0.若ab，則_. 【導學號：85952017】(1)C(2)2(1)易知ab(4,1)，由(ab)c，可得(4)x140，即4x40，解得x1，c(1,4)而ab(2,3)，c(ab)124314.故選C.(2)ab，ab，即me12e2(ne1e2)，則解得2.熱點題型2三角與向量的綜合問題題型分析：平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運算作為題目條件.(名師押題)已知向量a，b(cos x，1)(1)當ab時，求cos2xsin 2x的值；(2)設函數(shù)f(x)2(ab)b，已知在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，b2，sin B，求yf(x)4cos 的取值范圍解(1)ab，cos xsin x0，2分tan x，4分cos2xsin 2x.6分(2)f(x)2(ab)bsin ，8分由正弦定理得，可得sin A.9分ba，A，10分yf(x)4cossin.11分x，2x，1y，即y的取值范圍是.12分平面向量與三角函數(shù)問題的綜合主要利用向量數(shù)量積運算的坐標形式，多與同角三角函數(shù)關系、誘導公式以及和角與倍角等公式求值等問題相結合，計算的準確性和三角變換的靈活性是解決此類問題的關鍵點變式訓練2在平面直角坐標系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解(1)若mn，則mn0.由向量數(shù)量積的坐標公式得sin xcos x0，4分tan x1.6分(2)m與n的夾角為，mn|m|n|cos ，即sin xcos x，8分sin .10分又x，x，x，即x.12分