突破點15圓錐曲線中的綜合問題(酌情自選)提煉1解答圓錐曲線的定值、定點問題，從三個方面把握(1)從特殊開始，求出定值，再證明該值與變量無關(guān)(2)直接推理、計算，在整個過程中消去變量，得定值(3)在含有參數(shù)的曲線方程里面，把參數(shù)從含有參數(shù)的項里面分離出來，并令其系數(shù)為零，可以解出定點坐標(biāo).提煉2用代數(shù)法求最值與范圍問題時從下面幾個方面入手(1)若直線和圓錐曲線有兩個不同的交點，則可以利用判別式求范圍(2)若已知曲線上任意一點、一定點或與定點構(gòu)成的圖形，則利用圓錐曲線的性質(zhì)(性質(zhì)中的范圍)求解(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系式直接求范圍(4)利用基本不等式求最值與范圍(5)利用函數(shù)值域的方法求最值與范圍.提煉3與圓錐曲線有關(guān)的探索性問題(1)給出問題的一些特殊關(guān)系，要求探索出一些規(guī)律，并能論證所得規(guī)律的正確性通常要對已知關(guān)系進行觀察、比較、分析，然后概括出一般規(guī)律(2)對于只給出條件，探求“是否存在”類型問題，一般要先對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進行推理，若推出相符的結(jié)論，則存在性得到論證；若推出矛盾，則假設(shè)不存在回訪1圓錐曲線的定值、定點問題1(2015全國卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解(1)由題意有，1，2分解得a28，b24.3分所以C的方程為1.4分(2)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.6分故xM，yMkxMb.8分于是直線OM的斜率kOM，即kOMk.11分所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.12分回訪2圓錐曲線中的最值與范圍問題2(2014北京高考)已知橢圓C：x22y24.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點，若點A在直線y2上，點B在橢圓C上，且OAOB，求線段AB長度的最小值解(1)由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，2分所以a24，b22，從而c2a2b22.因此a2，c.故橢圓C的離心率e.5分(2)設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因為OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.7分又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4).12分因為4(0<x4)，且當(dāng)x4時等號成立，所以|AB|28.故線段AB長度的最小值為2.14分回訪3與圓錐曲線有關(guān)的探索性問題圖1513(2015四川高考)如圖151，橢圓E：1(a>b>0)的離心率是，點P(0,1)在短軸CD上，且1.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，過點P的動直線與橢圓交于A，B兩點是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由解(1)由已知，點C，D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)又點P的坐標(biāo)為(0,1)，且1，于是解得a2，b.所以橢圓E的方程為1.4分(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立得(2k21)x24kx20.其判別式(4k)28(2k21)>0，所以x1x2，x1x2.6分從而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.9分所以，當(dāng)1時，23.此時，3為定值.10分當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD.此時，213.12分故存在常數(shù)1，使得為定值3.13分熱點題型1圓錐曲線中的定值問題題型分析：圓錐曲線中的定值問題是近幾年高考的熱點內(nèi)容，解決這類問題的關(guān)鍵是引入變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式恒成立，數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.(2016重慶二模)已知橢圓C：1(ab0)上一點P與橢圓右焦點的連線垂直于x軸，直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(均不在坐標(biāo)軸上)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，若AOB的面積為，試判斷直線OA與OB的斜率之積是否為定值？ 【導(dǎo)學(xué)號：85952055】解(1)由題意知解得3分橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.4分(2)設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x28kmx4m2120，5分由(8km)216(4k23)(m23)0，得m24k23.6分x1x2，x1x2，SOAB|m|x1x2|m|，8分化簡得4k232m20，滿足0，從而有4k2m2m23(*)，9分kOAkOB，由(*)式，得1，kOAkOB，即直線OA與OB的斜率之積為定值.12分求解定值問題的兩大途徑1.2先將式子用動點坐標(biāo)或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項抵消或分子、分母約分得定值變式訓(xùn)練1(2016北京高考)已知橢圓C：1過A(2,0)，B(0,1)兩點(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值解(1)由題意得a2，b1，橢圓C的方程為y21.3分又c，離心率e.5分(2)證明：設(shè)P(x0，y0)(x00，y00)，則x4y4.6分又A(2,0)，B(0,1)，直線PA的方程為y(x2)令x0，得yM，從而|BM|1yM1.9分直線PB的方程為yx1.令y0，得xN，從而|AN|2xN2.12分四邊形ABNM的面積S|AN|BM|2.從而四邊形ABNM的面積為定值.14分熱點題型2圓錐曲線中的最值、范圍問題題型分析：圓錐曲線中的最值、范圍問題是高考重點考查的內(nèi)容，解決此類問題常用的方法是幾何法和代數(shù)法.(2016全國乙卷)設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；(2)設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍解(1)因為|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.2分由題設(shè)得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由橢圓定義可得點E的軌跡方程為1(y0).4分(2)當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，則x1x2，x1x2.所以|MN|x1x2|.過點B(1,0)且與l垂直的直線m：y(x1)，點A到直線m的距離為，6分所以|PQ|24.故四邊形MPNQ的面積S|MN| PQ|12.8分可得當(dāng)l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8).10分當(dāng)l與x軸垂直時，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，故四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8).12分與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問題的三種解法1數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解2構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解3構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域變式訓(xùn)練2(名師押題)已知拋物線C：x22py(p0)，過其焦點作斜率為1的直線l交拋物線C于M，N兩點，且|MN|16.(1)求拋物線C的方程；(2)已知動圓P的圓心在拋物線C上，且過定點D(0,4)，若動圓P與x軸交于A，B兩點，求的最大值解(1)設(shè)拋物線的焦點為F，則直線l：yx.由得x22pxp20，x1x22p，y1y23p，|MN|y1y2p4p16，p4，拋物線C的方程為x28y.4分(2)設(shè)動圓圓心P(x0，y0)，A(x1,0)，B(x2,0)，則x8y0，且圓P：(xx0)2(yy0)2x(y04)2，令y0，整理得x22x0xx160，解得x1x04，x2x04，6分設(shè)t，當(dāng)x00時，t1，7分當(dāng)x00時，t.x00，x08，t1，且t1，綜上知1t1.9分f(t)t在1,1上單調(diào)遞減，t12，當(dāng)且僅當(dāng)t1，即x04時等號成立的最大值為2.12分熱點題型3圓錐曲線中的探索性問題題型分析：探索性問題一般分為探究條件和探究結(jié)論兩種類型，若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在.若探究結(jié)論，則應(yīng)先寫出結(jié)論的表達式，再針對表達式進行討論，往往涉及對參數(shù)的討論.(2016長沙二模)如圖152，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點，A，B分別是橢圓E的左、右頂點，D(1,0)為線段OF2的中點，且50.圖152(1)求橢圓E的方程；(2)若M為橢圓E上的動點(異于點A，B)，連接MF1并延長交橢圓E于點N，連接MD，ND并分別延長交橢圓E于點P，Q，連接PQ，設(shè)直線MN，PQ的斜率存在且分別為k1，k2.試問是否存在常數(shù)，使得k1k20恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由解題指導(dǎo)(1)50(2)解(1)50，5，ac5(ac)，化簡得2a3c，又點D(1,0)為線段OF2的中點，c2，從而a3，b，左焦點F1(2,0)，故橢圓E的方程為1.4分(2)假設(shè)存在滿足條件的常數(shù)，使得k1k20恒成立，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則直線MD的方程為xy1，代入橢圓方程1，整理得，y2y40，6分y1y3，y3，從而x3，故點P，同理，點Q.8分三點M，F(xiàn)1，N共線，從而x1y2x2y12(y1y2)，從而k2，故k10，從而存在滿足條件的常數(shù)，.12分探索性問題求解的思路及策略1思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在2策略：(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件變式訓(xùn)練3(2016哈爾濱二模)已知橢圓C：1(ab0)的焦點分別為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，點P在橢圓C上，滿足|PF1|7|PF2|，tanF1PF24.(1)求橢圓C的方程；(2)已知點A(1,0)，試探究是否存在直線l：ykxm與橢圓C交于D，E兩點，且使得|AD|AE|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：85952056】解(1)由|PF1|7|PF2|，PF1PF22a得PF1，PF2.2分由余弦定理得cosF1PF，a2，所求C的方程為y21.4分(2)假設(shè)存在直線l滿足題設(shè)，設(shè)D(x1，y1)，E(x2，y2)，將ykxm代入y21并整理得(14k2)x28kmx4m240，由64k2m24(14k2)(4m24)16(m24k21)0，得4k21m2.6分又x1x2.設(shè)D，E中點為M(x0，y0)，M，kAMk1，得m，8分將代入得4k212，化簡得20k4k210(4k21)(5k21)0，解得k或k，所以存在直線l，使得|AD|AE|，此時k的取值范圍為.12分