突破點13直線與圓提煉1圓的方程(1)圓的標準方程當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(xa)2(yb)2r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2y2r2.(2)圓的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以為圓心，為半徑的圓.提煉2求解直線與圓相關問題的兩個關鍵點(1)三個定理：切線的性質定理，切線長定理，垂徑定理(2)兩個公式：點到直線的距離公式d，弦長公式|AB|2(弦心距d).提煉3求距離最值問題的本質(1)圓外一點P到圓C上的點距離的最大值為|PC|r，最小值為|PC|r，其中r為圓的半徑(2)圓上的點到直線的最大距離是dr，最小距離是dr，其中d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑(3)過圓內一點，直徑是最長的弦，與此直徑垂直的弦是最短的弦回訪1圓的方程1(2015全國卷)一個圓經過橢圓1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為_2y2由題意知a4，b2，上、下頂點的坐標分別為(0,2)，(0，2)，右頂點的坐標為(4,0)由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(0,2)，(0，2)，(4,0)三點設圓的標準方程為(xm)2y2r2(0<m<4，r>0)，則解得所以圓的標準方程為2y2.2(2014山東高考)圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標準方程為_(x2)2(y1)24設圓C的圓心為(a，b)(b>0)，由題意得a2b>0，且a2()2b2，解得a2，b1.所求圓的標準方程為(x2)2(y1)24.回訪2直線與圓的相關問題3(2016全國甲卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()ABC. D2A由圓x2y22x8y130，得圓心坐標為(1,4)，所以圓心到直線axy10的距離d1，解得a.4(2016全國乙卷)設直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點，若|AB|2，則圓C的面積為_4圓C：x2y22ay20化為標準方程是C：x2(ya)2a22，所以圓心C(0，a)，半徑r，|AB|2，點C到直線yx2a即xy2a0的距離d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圓C的面積為224.熱點題型1圓的方程題型分析：求圓的方程是高考考查的重點內容，常用的方法是待定系數法或幾何法.(1)(2016黃山一模)已知圓C關于y軸對稱，經過點A(1,0)，且被x軸分成的兩段弧長之比為12，則圓C的方程為_(2)(2016鄭州二模)已知M的圓心在第一象限，過原點O被x軸截得的弦長為6，且與直線3xy0相切，則圓M的標準方程為_(1)x22(2)(x3)2(y1)210(1)因為圓C關于y軸對稱，所以圓C的圓心C在y軸上，可設C(0，b)，設圓C的半徑為r，則圓C的方程為x2(yb)2r2.依題意，得解得所以圓C的方程為x22.(2)法一：設M的方程為(xa)2(yb)2r2(a0，b0，r0)，由題意知解得故M的方程為(x3)2(y1)210.法二：因為圓M過原點，故可設方程為x2y2DxEy0，又被x軸截得的弦長為6且圓心在第一象限，則232，故D6，與3xy0相切，則，即ED2，因此所求方程為x2y26x2y0.故M的標準方程為(x3)2(y1)210.求圓的方程的兩種方法1幾何法，通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程2代數法，即用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數變式訓練1(1)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x2的右側，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2xy40相切，則圓M的方程為()A(x1)2y24B(x1)2y24Cx2(y1)24 Dx2(y1)24(2)(2016長春一模)拋物線y24x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點，其準線與x軸的交點為M，則過M，A，B三點的圓的標準方程為_(1)B(2)(x1)2y24(1)由已知，可設圓M的圓心坐標為(a,0)，a2，半徑為r，得解得滿足條件的一組解為所以圓M的方程為(x1)2y24.故選B.(2)由題意知，A(1,2)，B(1，2)，M(1,0)，AMB是以點M為直角頂點的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標準方程為(x1)2y24.熱點題型2直線與圓、圓與圓的位置關系題型分析：直線與圓、圓與圓的位置關系是高考考查的熱點內容，解決的方法主要有幾何法和代數法.(1)(2016全國丙卷)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點若|AB|2，則|CD|_.4由直線l：mxy3m0知其過定點(3，)，圓心O到直線l的距離為d.由|AB|2得2()212，解得m.又直線l的斜率為m，所以直線l的傾斜角.畫出符合題意的圖形如圖所示，過點C作CEBD，則DCE.在RtCDE中，可得|CD|24.(2)(2016開封一模)如圖131，已知圓G：(x2)2y2r2是橢圓y21的內接ABC的內切圓，其中A為橢圓的左頂點(1)求圓G的半徑r；(2)過點M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E，F兩點，證明：直線EF與圓G相切圖131解(1)設B(2r，y0)，過圓心G作GDAB于D，BC交長軸于H.由得，即y0，2分而B(2r，y0)在橢圓上，y1，3分由式得15r28r120，解得r或r(舍去).5分(2)證明：設過點M(0,1)與圓(x2)2y2相切的直線方程為ykx1，則，即32k236k50，解得k1，k2.將代入y21得(16k21)x232kx0，則異于零的解為x.8分設F(x1，k1x11)，E(x2，k2x21)，則x1，x2，9分則直線FE的斜率為kEF，于是直線FE的方程為y1.即yx，則圓心(2,0)到直線FE的距離d，故結論成立.12分1直線(圓)與圓的位置關系的解題思路(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數形結合，充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑，減少運算量研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現，兩個圓的位置關系的判斷依據是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式，過圓外一點求解切線段長可轉化為圓心到圓外點的距離，利用勾股定理計算2弦長的求解方法(1)根據平面幾何知識構建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)(2)根據公式：l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率)(3)求出交點坐標，用兩點間距離公式求解變式訓練2(1)(2016哈爾濱一模)設直線l：ykx1被圓C：x2y22x30截得的弦最短，則直線l的方程為_. 【導學號：85952047】yx1直線l恒過定點M(0,1)，圓C的標準方程為(x1)2y24，易知點M(0,1)在圓C的內部，依題意當lCM時直線l被圓C截得的弦最短，于是k1，解得k1，所以直線l的方程為yx1.(2)(2016泉州一模)已知點M(1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N距離的倍求曲線E的方程；已知m0，設直線l1：xmy10交曲線E于A，C兩點，直線l2：mxym0交曲線E于B，D兩點C，D兩點均在x軸下方當CD的斜率為1時，求線段AB的長解設曲線E上任意一點坐標為(x，y)，由題意，2分整理得x2y24x10，即(x2)2y23為所求.4分由題知l1l2，且兩條直線均恒過點N(1,0)，設曲線E的圓心為E，則E(2,0)，線段CD的中點為P，則直線EP：yx2，設直線CD：yxt，由解得點P.7分由圓的幾何性質，|NP|CD|，而|NP|222，|ED|23，|EP|22，2232，解得t0或t3，又C，D兩點均在x軸下方，直線CD：yx.由解得或9分設C，D，由消去y得：(u21)x22(u22)xu210，(*)方程(*)的兩根之積為1，所以點A的橫坐標xA2，又因為點C在直線l1：xmy10上，解得m1，11分直線l1：y(1)(x1)，所以A(2，1)，同理可得，B(2，1)，所以線段AB的長為2.12分