高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)11 專題4 突破點(diǎn)11 空間中的平行與垂直關(guān)系 理
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高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)11 專題4 突破點(diǎn)11 空間中的平行與垂直關(guān)系 理
專題限時(shí)集訓(xùn)(十一)空間中的平行與垂直關(guān)系建議A、B組各用時(shí):45分鐘A組高考達(dá)標(biāo) 一、選擇題1(2016南昌一模)設(shè)為平面,a,b為兩條不同的直線,則下列敘述正確的是()A若a,b,則abB若a,ab,則bC若a,ab,則bD若a,ab,則bBA中,兩直線可能平行、相交或異面,故A錯(cuò);B中,由直線與平面垂直的判定定理可知B正確;C中,b可能平行,也可能在內(nèi),故C錯(cuò);D中,b可能平行,也可能在內(nèi),還可能與相交,故D錯(cuò)綜上所述,故選B.2(2016濟(jì)南一模)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:若mn,m,則n;若m,m,則;若mn,m,則n;若m,m,則.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4A對于,由直線與平面垂直的判定定理易知其正確;對于,平面與可能平行或相交,故錯(cuò)誤;對于,直線n可能平行于平面,也可能在平面內(nèi),故錯(cuò)誤;對于,由兩平面平行的判定定理易得平面與平行,故錯(cuò)誤綜上所述,正確命題的個(gè)數(shù)為1,故選A.圖1153如圖115所示,直線PA垂直于O所在的平面,ABC內(nèi)接于O,且AB為O的直徑,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)現(xiàn)有結(jié)論:BCPC;OM平面APC;點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長其中正確的是()ABC DB對于,PA平面ABC,PABC.AB為O的直徑,BCAC.又PAACA,BC平面PAC,又PC平面PAC,BCPC.對于,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn),OMPA.PA平面PAC,OM平面PAC,OM平面PAC.對于,由知BC平面PAC,線段BC的長即是點(diǎn)B到平面PAC的距離,故都正確4已知,是兩個(gè)不同的平面,有下列三個(gè)條件:存在一個(gè)平面,;存在一條直線a,a,a;存在兩條垂直的直線a,b,a,b.其中,所有能成為“”的充要條件的序號是()ABCDD對于,存在一個(gè)平面,則,反之也成立,即“存在一個(gè)平面,”是“”的充要條件,所以對,可排除B,C.對于,存在兩條垂直的直線a,b,則直線a,b所成的角為90,因?yàn)閍,b,所以,所成的角為90, 即,反之也成立,即“存在兩條垂直的直線a,b,a,b”是“”的充要條件,所以對,可排除A,選D.圖1165(2016成都二模)在三棱錐PABC中,已知PA底面ABC,ABBC,E,F(xiàn)分別是線段PB,PC上的動(dòng)點(diǎn),則下列說法錯(cuò)誤的是()A當(dāng)AEPB時(shí),AEF一定為直角三角形B當(dāng)AFPC時(shí),AEF一定為直角三角形C當(dāng)EF平面ABC時(shí),AEF一定為直角三角形D當(dāng)PC平面AEF時(shí),AEF一定為直角三角形B因?yàn)锳P平面ABC,所以APBC,又ABBC,且PA和AB是平面PAB上兩條相交直線,則BC平面PAB,BCAE.當(dāng)AEPB時(shí),AE平面PBC,則AEEF,AEF一定是直角三角形,A正確;當(dāng)EF平面ABC時(shí),EF在平面PBC上,平面PBC與平面ABC相交于BC,則EFBC,則EFAE,AEF一定是直角三角形,C正確;當(dāng)PC平面AEF時(shí),AEPC,又AEBC,則AE平面PBC,AEEF,AEF一定是直角三角形,D正確;B中結(jié)論無法證明,故選B.二、填空題6已知P為ABC所在平面外一點(diǎn),且PA,PB,PC兩兩垂直,則下列命題:PABC;PBAC;PCAB;ABBC.其中正確命題的個(gè)數(shù)是_. 【導(dǎo)學(xué)號:85952041】3如圖所示,PAPC,PAPB,PCPBP,PA平面PBC.又BC平面PBC,PABC.同理PBAC,PCAB,但AB不一定垂直于BC.7在三棱錐CABD中(如圖117),ABD與CBD是全等的等腰直角三角形,O是斜邊BD的中點(diǎn),AB4,二面角ABDC的大小為60,并給出下面結(jié)論:ACBD;ADCO;AOC為正三角形;cos ADC;四面體ABCD的外接球表面積為32.其中真命題是_(填序號)圖117由題意知BDCO,BDAO,則BD平面AOC,從而BDAC,故正確;根據(jù)二面角ABDC的大小為60,可得AOC60,又直線AD在平面AOC的射影為AO,從而AD與CO不垂直,故錯(cuò)誤;根據(jù)AOC60,AOCO可得AOC為正三角形,故正確;在ADC中 ,ADCD4,ACCO2,由余弦定理得cos ADC,故錯(cuò)誤;由題意知,四面體ABCD的外接球的球心為O,半徑為2,則外接球的表面積為S4(2)232,故正確8正方體ABCDA1B1C1D1中,E為線段B1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是_(填序號)ACBE;B1E平面ABCD;三棱錐EABC的體積為定值;直線B1E直線BC1.因?yàn)锳C平面BDD1B1,故,正確;記正方體的體積為V,則VEABCV為定值,故正確;B1E與BC1不垂直,故錯(cuò)誤三、解答題9(2016北京高考)如圖118,在四棱錐PABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.圖118(1)求證:DC平面PAC.(2)求證:平面PAB平面PAC.(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA平面CEF?說明理由解(1)證明:因?yàn)镻C平面ABCD,所以PCDC.2分又因?yàn)镈CAC,且PCACC,所以DC平面PAC.4分(2)證明:因?yàn)锳BDC,DCAC,所以ABAC.因?yàn)镻C平面ABCD,所以PCAB.又因?yàn)镻CACC,所以AB平面PAC.8分又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAC.9分(3)棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA平面CEF.10分理由如下:取PB的中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF.又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),所以EFPA.又因?yàn)镻A平面CEF,且EF平面CEF,所以PA平面CEF.14分10(2016河南六市模擬)如圖119,四棱錐PABCD,側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面ABCD是ABC60的菱形,M為PC的中點(diǎn)圖119(1)求證:PCAD;(2)求點(diǎn)D到平面PAM的距離解(1)證明:法一:取AD中點(diǎn)O,連接OP,OC,AC,依題意可知PAD,ACD均為正三角形,所以O(shè)CAD,OPAD,又OCOPO,OC平面POC,OP平面POC,所以AD平面POC,又PC平面POC,所以PCAD.5分法二:連接AC,AM,DM,依題意可知PAD,ACD均為正三角形,又M為PC的中點(diǎn),所以AMPC,DMPC,又AMDMM,AM平面AMD,DM平面AMD,所以PC平面AMD,又AD平面AMD,所以PCAD.5分(2)由題可知,點(diǎn)D到平面PAM的距離即點(diǎn)D到平面PAC的距離,由(1)可知POAD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PO平面PAD,所以PO平面ABCD,即PO為三棱錐PADC的高在RtPOC中,POOC,PC,在PAC中,PAAC2,PC,邊PC上的高AM,所以SPACPCAM.8分設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為h,由VDPACVPACD得SPAChSACDPO,又SACD22,所以h,解得h,所以點(diǎn)D到平面PAM的距離為.12分B組名校沖刺一、選擇題1(2016烏魯木齊三模)如圖1110,在多面體ABCDEFG中,平面ABC平面DEFG,ACGF,且ABC是邊長為2的正三角形,四邊形DEFG是邊長為4的正方形,M,N分別為AD,BE的中點(diǎn),則MN()圖1110A.B4C. D5A如圖,取BD的中點(diǎn)P,連接MP,NP,則MPAB,NPDE,MPAB1,NPDE2.又ACGF,ACNP.CAB60,MPN120,MN,故選A.2如圖1111,四邊形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90,將ADB沿BD折起,使平面ABD平面BCD,構(gòu)成三棱錐ABCD.則在三棱錐ABCD中,下列命題正確的是()圖1111A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD在四邊形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90,BDCD.又平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCDBD,CD平面ABD,則CDAB.又ADAB,ADCDD,AB平面ADC,又AB平面ABC,平面ABC平面ADC,故選D.3(2016貴陽二模)如圖1112,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF把正方形折成一個(gè)四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,P點(diǎn)在AEF內(nèi)的射影為O,則下列說法正確的是()圖1112AO是AEF的垂心BO是AEF的內(nèi)心CO是AEF的外心DO是AEF的重心A由題意可知PA,PE,PF兩兩垂直,PA平面PEF,從而PAEF,而PO平面AEF,則POEF.POPAP,EF平面PAO,EFAO,同理可知AEFO,AFEO,O為AEF的垂心故選A.4(2016長沙模擬)如圖1113,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,圖1113E,F(xiàn)是線段B1D1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且EF,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()AACBFB三棱錐ABEF的體積為定值CEF平面ABCDD異面直線AE,BF所成的角為定值D對于選項(xiàng)A,連接BD,易知AC平面BDD1B1.BF平面BDD1B1,ACBF,故A正確;對于選項(xiàng)B,AC平面BDD1B1,A到平面BEF的距離不變EF,B到EF的距離為1,BEF的面積不變,三棱錐ABEF的體積為定值,故B正確;對于選項(xiàng)C,EFBD,BD平面ABCD,EF平面ABCD,EF平面ABCD,故C正確;對于選項(xiàng)D,異面直線AE,BF所成的角不為定值,當(dāng)F與B1重合時(shí),令上底面中心為O,則此時(shí)兩異面直線所成的角是A1AO,當(dāng)E與D1重合時(shí),點(diǎn)F與O重合,則兩異面直線所成的角是OBC1,這兩個(gè)角不相等,故異面直線AE,BF所成的角不為定值,故D錯(cuò)誤二、填空題5(2016衡水二模)如圖1114,正方形BCDE的邊長為a,已知ABBC,將ABE沿邊BE折起,折起后A點(diǎn)在平面BCDE上的射影為D點(diǎn),關(guān)于翻折后的幾何體有如下描述:圖1114AB與DE所成角的正切值是;ABCE;VBACEa3;平面ABC平面ACD.其中正確的有_(填序號)作出折疊后的幾何體直觀圖如圖所示:ABBCa,BEa,AEa.ADa,ACa.在ABC中,cosABC.sinABC.tan ABC.BCDE,ABC是異面直線AB,DE所成的角,故正確連接BD,CE,則CEBD,又AD平面BCDE,CE平面BCDE,CEAD.又BDADD,BD平面ABD,AD平面ABD,CE平面ABD.又AB平面ABD,CEAB,故錯(cuò)誤VBACEVABCESBCEADa2a,故正確AD平面BCDE,BC平面BCDE,BCAD.又BCCD,CDADD,CD,AD平面ACD,BC平面ACD.BC平面ABC,平面ABC平面ACD,故正確故答案為.6(2016太原二模)已知在直角梯形ABCD中,ABAD,CDAD,AB2AD2CD2,將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐DABC,當(dāng)三棱錐DABC的體積取最大值時(shí),其外接球的體積為_ 【導(dǎo)學(xué)號:85952042】當(dāng)平面DAC平面ABC時(shí),三棱錐DABC的體積取最大值此時(shí)易知BC平面DAC,BCAD.又ADDC,AD平面BCD,ADBD,取AB的中點(diǎn)O,易得OAOBOCOD1,故O為所求外接球的球心,故半徑r1,體積Vr3.三、解答題7(2016四川高考)如圖1115,在四棱錐PABCD中,PACD,圖1115ADBC,ADCPAB90,BCCDAD.(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM平面PAB,并說明理由;(2)證明:平面PAB平面PBD.解(1)取棱AD的中點(diǎn)M(M平面PAD),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).2分理由如下:因?yàn)锳DBC,BCAD,所以BCAM,且BCAM.所以四邊形AMCB是平行四邊形,所以CMAB.4分又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB.6分(說明:取棱PD的中點(diǎn)N,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))(2)證明:由已知,PAAB,PACD,因?yàn)锳DBC,BCAD,所以直線AB與CD相交,所以PA平面ABCD,所以PABD.8分因?yàn)锳DBC,BCAD,M為AD的中點(diǎn),連接BM,所以BCMD,且BCMD,所以四邊形BCDM是平行四邊形,10分所以BMCDAD,所以BDAB.又ABAPA,所以BD平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB平面PBD.12分8(2016長春二模)已知等腰梯形ABCD(如圖1116(1)所示),其中ABCD,E,F(xiàn)分別為AB和CD的中點(diǎn),且ABEF2,CD6,M為BC中點(diǎn)現(xiàn)將梯形ABCD沿著EF所在直線折起,使平面EFCB平面EFDA(如圖1116(2)所示),N是線段CD上一動(dòng)點(diǎn),且CNND.(1)(2)圖1116(1)求證:MN平面EFDA;(2)求三棱錐AMNF的體積解(1)證明:過點(diǎn)M作MPEF于點(diǎn)P,過點(diǎn)N作NQFD于點(diǎn)Q,連接PQ.由題知,平面EFCB平面EFDA,又MPEF,平面EFCB平面EFDAEF,MP平面EFDA.又EFCF,EFDF,CFDFF,EF平面CFD.又NQ平面CFD,NQEF.又NQFD,EFFDF,NQ平面EFDA,MPNQ.2分又CNND,NQCF32,且MP(BECF)(13)2,MP綊NQ,四邊形MNQP為平行四邊形.4分MNPQ.又MN平面EFDA,PQ平面EFDA,MN平面EFDA.6分(2)法一:延長DA,CB相交于一點(diǎn)H,則HCB,HDA.又CB平面FEBC,DA平面FEAD.H平面FEBC,H平面FEAD,即H平面FEBC平面FEADEF,DA,F(xiàn)E,CB交于一點(diǎn)H,且HEEF1.8分V三棱錐FCDHV三棱錐CHFDSHFDCF,又由平面幾何知識得,10分則,V三棱錐AMNFV三棱錐FAMNV三棱錐FCDH1.12分法二:V三棱臺BEACDFEF(SBEASCDF)2,V四棱錐ABEFMAES四邊形BEFM,V三棱錐NADF2SADF2,V三棱錐NCFM1SCFM,10分V三棱錐AMNFV三棱臺BEACDFV三棱錐NCFMV四棱錐ABEFMV三棱錐NADF21.12分