年級初三學(xué)科數(shù)學(xué)版本北師大版內(nèi)容標(biāo)題下冊第二章第 13 節(jié) 二次函數(shù)所描述的關(guān)系；結(jié)識拋物線；剎車距離與二次函數(shù)；編稿老師王威【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容第二章第 13 節(jié) 二次函數(shù)所描述的關(guān)系；結(jié)識拋物線；剎車距離與二次函數(shù)二、教學(xué)目標(biāo)1、經(jīng)歷探索和表示二次函數(shù)關(guān)系的過程，獲得用二次函數(shù)表示變量之間的關(guān)系的體驗。2、能利用描點法作出函數(shù)22xyxy和的圖象，根據(jù)圖象認(rèn)識和理解二次函數(shù)的性質(zhì)，并比較它們圖象的異同。3、能作出caxyaxy22和的圖象，理解它們與2axy的圖象關(guān)系，并比較它們與2xy的異同，理解ca,對二次函數(shù)的影響，并說出它們的開口方向和頂點坐標(biāo)。4、能作出khxayhxay22和的圖象，理解kha,對二次函數(shù)的影響，并說出它們的開口方向，對稱軸和頂點坐標(biāo)。三、知識要點1、二次函數(shù)的定義一般地，形如0,2a，cbacbxaxy且是常數(shù)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)。在理解二次函數(shù)的定義時，應(yīng)注意以下幾點：（1）2ax稱為二次項，bx稱為一次項，c稱為常數(shù)項，a稱為二次項系數(shù)，b稱為一次項系數(shù)；（2）在關(guān)系式中最高項是2ax項，系數(shù)0a，而cb,可以不為零，也可以為零。例如：13,42,3222xyxxyxy都是二次函數(shù)。（3）自變量x的取值范圍是任何實數(shù)（4）如果0a，則該函數(shù)一定不是二次函數(shù)，但不一定是一次函數(shù)，只有0,0 ba時才成立。（5）如果一個函數(shù)的表達(dá)式形如02acbxaxy，則這個函數(shù)一定是二次函數(shù)；反之，如果一個函數(shù)是二次函數(shù)，那么它的表達(dá)式一定是02acbxaxy的形式。2、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）函數(shù)圖象的作法，包括列表、描點、連線三個步驟，在2xy中，自變量x可以取任意實數(shù)，所以以 0 為中心選值；為計算方便，描點方便，x取整數(shù)，y也相應(yīng)地取整數(shù)，描點時注意點之間關(guān)于y軸的對稱性；連線時因點不在同一直線上，所以用光滑曲線順次連接，按自變量的取值由小到大或由大到小都可。例：二次函數(shù)2xy的圖象的畫法列表：先取原點0,0，然后在原點右側(cè)取兩個點或三個點（最好按由小到大順序），計算出縱坐標(biāo)；再在原點左側(cè)取所取點的對稱點，其縱坐標(biāo)與右側(cè)相同，對應(yīng)定出即可；精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 1 頁，共 10 頁描點：先描出原點，然后按縱坐標(biāo)從大到?。ɑ驈男〉酱螅┰趛軸兩側(cè)一對一對地描出各點；連線：按縱坐標(biāo)的大?。◤拇蟮叫』驈男〉酱螅褃軸左側(cè)各點與原點用光滑的曲線連接起來，然后把右側(cè)各點與原點用光滑的曲線連接起來。（2）二次函數(shù)2xy的圖象是一條拋物線，它開口向上，圖象與x軸有交點，交點坐標(biāo)為0,0，當(dāng)0 x時，y隨x的增大而減?。划?dāng)0 x時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x等于 0 時，y有最小值為0，圖象是軸對稱圖形，對稱軸是y軸。3、比較二次函數(shù)22xyxy和圖象及性質(zhì)的異同函數(shù)2xy2xy大致圖象開口方向向上向下對稱軸y軸（或直線0 x）y軸（或直線0 x）頂點原點0,0原點0,0增減性當(dāng)0 x時，y隨x的增大而減??；當(dāng)0 x時，y隨x的增大而增大當(dāng)0 x時，y隨x的增大而增大；當(dāng)0 x時，y隨x的增大而減小最值當(dāng)x=0 時，y有最小值為0 當(dāng)x=0 時，y有最大值為0（1）二次函數(shù)2axy的圖象是一條拋物線，其對稱軸是y軸，頂點坐標(biāo)在原點處，開口方向由a的符號決定，當(dāng)0a時，開口向上，拋物線在x軸的上方（頂點在x軸上），并向上無限延伸；當(dāng)0a時，開口向下，拋物線在x軸的下方（頂點在x軸上），并向下無限延伸。（2）拋物線2axy的開口大小由a決定。a越大，拋物線的開口越??；a越小，拋物線的開口越大。4、對于02aaxy和02acaxy的圖象，形狀相同，只是位置不同。02acaxy可以看作是把02aaxy的圖象向上0c或向下0c平移c個單位得到的。二次函數(shù)caxy2的性質(zhì)a的符號0a0a精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 2 頁，共 10 頁圖象0c0c開口方向向上向下對稱軸y軸（或直線0 x）y軸（或直線0 x）頂點坐標(biāo)c,0c,0函數(shù)的增減性當(dāng)0 x時，y隨x的增大而減??；當(dāng)0 x時，y隨x的增大而增大當(dāng)0 x時，y隨x的增大而增大；當(dāng)0 x時，y隨x的增大而減小最值當(dāng)x=0 時，y有最小值為c 當(dāng)x=0 時，y有最大值為c 四、重點難點1、經(jīng)歷探索和表示二次函數(shù)的過程，獲得二次函數(shù)表示變量之間的關(guān)系的體驗。2、能夠利用描點法作出函數(shù)2xy的圖象，并能根據(jù)圖象認(rèn)識二次函數(shù)2xy的性質(zhì)，并能作出2xy的圖象，比較2xy和2xy的圖象異同。3、能作出caxyaxy22和的圖象，理解它們與2xy的圖象關(guān)系，并比較它們與2xy的異同，理解ca,對二次函數(shù)的影響，并說出它們的開口方向和頂點坐標(biāo)。【典型例題】考點一：列二次函數(shù)的表達(dá)式例 1、正方形的邊長為3cm，若它的邊長增加xcm，則它的面積就增加2ycm。試列出xy與之間的表達(dá)式。點撥：利用正方形的面積公式分別求出邊長為3cm 和cmx3的正方形面積，即可得到xy與之間的表達(dá)式。解：2233xy062xxx考點二：二次函數(shù)的定義例 2、m為何值時，2m3m2x1my是關(guān)于x的二次函數(shù)點撥：注意01m解：根據(jù)題意，得精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 3 頁，共 10 頁2232mm解得4,121mm又4,101mmm所以答：當(dāng)m=4 時，2m3m2x1my是關(guān)于x的二次函數(shù)。例 3、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40 元的水產(chǎn)品.據(jù)市場分析，若按每千克50 元銷售，一個月能售出500 千克；銷售單價每漲1 元，月銷售量就減少10 千克.針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請解答以下問題：（1）當(dāng)銷售單價定為每千克55 元時，計算月銷售量和月銷售利潤；（2）設(shè)銷售單價為每千克x 元，月銷售利潤為y 元，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出 x 的取值范圍）；（3）商店想在月銷售成本不超過10000 元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000 元，銷售單價應(yīng)定為多少？解：（1）當(dāng)銷售單價定為每千克55 元時，月銷售量為：500（55 50）10=450（千克），所以月銷售利潤為：（55 40）450=6750（元）.（2）當(dāng)銷售單價定為每千克x 元時，月銷售量為：500（x 50）10千克而每千克的銷售利潤是：（x 40）元，所以月銷售利潤為：y=（x 40）500（x 50）10=（x 40）（1000 10 x）=10 x2+1400 x 40000（元）y 與 x 的函數(shù)解析式為：y=10 x2+1400 x 40000.（3）要使月銷售利潤達(dá)到8000 元，即 y=8000，10 x2+1400 x 40000=8000，即：x2 140 x+4800=0，解得：x1=60，x2=80.當(dāng)銷售單價定為每千克60 元時，月銷售量為：500（60 50）10=400（千克），月銷售成本為：40 400=16000（元）；當(dāng)銷售單價定為每千克80 元時，月銷售量為：500（80 50）10=200（千克），月銷售成本為：40 200=8000（元）；由于 80001000016000，而月銷售成本不能超過10000 元，所以銷售單價應(yīng)定為每千克 80 元?？键c三：二次函數(shù)的性質(zhì)例 4、先閱讀后解答：已知A（1，m）B（2，n），在二次函數(shù)2xy的圖象上，比較 m 和 n 的大小。解：由于當(dāng)0 x時，2xy的函數(shù)值y隨x的增大而增大，而nm故,21利用以上解答信息解答下面的問題已知點maA,12與點nB,1在二次函數(shù)2xy的圖象上，試比較m 和 n 的大小。點撥：根據(jù)閱讀材料提供的信息，當(dāng)拋物線2xy上的兩點的橫坐標(biāo)同號時，可以利用函數(shù)的性質(zhì)比較縱坐標(biāo)的大小，由此我們得到問題的解答思路。精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 4 頁，共 10 頁解：由于點maA,12在拋物線2xy上，而012a，故maC,12也在拋物線2xy上，且與 A 關(guān)于y軸對稱。而,11a，0a11a22時當(dāng)且當(dāng)0 x時，2xy的函數(shù)值y隨x的增大而減小，所以nm例 5、作函數(shù)22xy的圖象。（1）完成下表：x22xy（2）在下圖中作出22xy的圖象。（3）二次函數(shù)22xy的圖象是什么形狀？它與二次函數(shù)2xy的圖象有什么相同和不同？它的開口方向，對稱軸和頂點坐標(biāo)分別是什么？點撥：二次函數(shù)2axy中的a的作用：開口方向由a的符號決定，當(dāng)0a時，開口向上，當(dāng)0a時，開口向下，a越大，拋物線的開口越??；a越小，拋物線的開口越大。解：（1）x3 2 1 0 1 2 3 22xy18 8 2 0 2 8 18（2）如上圖所示（3）二次函數(shù)22xy的圖象是一條拋物線，它與2xy的圖象的開口方向，對稱軸和頂點坐標(biāo)都相同。當(dāng)0 x時，y隨x的增大而減??；當(dāng)0 x時，y隨x的增大而增大，都有最低點，有最小值為0；不同之處：22xy的圖象在2xy的圖象內(nèi)部，也就是2xy的圖象開口大，22xy的圖象開口小，說明22xy的函數(shù)值的增大速度快，它的開口方向向上，對稱軸為y軸，頂點坐標(biāo)為0,0。例 6、分別求符合下列條件的拋物線12axy的函數(shù)表達(dá)式：（1）通過點2,3；（2）與221xy的開口大小相同，方向相反；（3）當(dāng)x的值由 0 增加到 2 時，函數(shù)值減少4。精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 5 頁，共 10 頁點撥：（1）把2,3代入12axy，即可求得a的值，從而得函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)已知條件可直接得出結(jié)論；（3）根據(jù)20 xx和的函數(shù)值的關(guān)系可求得a的值。解：（1）把點2,3的坐標(biāo)代入12axy，得13a2231219aa故1312xy（2）由于與221xy的開口大小相同，方向相反，所以21a故1x21y2（3）當(dāng)0 x時，a，yxy由條件得時當(dāng),122;12541122a，解得.1a故12xy【方法總結(jié)】本講主要運(yùn)用歸納式教學(xué)，采用“探究實驗歸納”的課堂教學(xué)方法，利用數(shù)形結(jié)合來學(xué)習(xí)二次函數(shù)的定義及其性質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，初步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的良好習(xí)慣?！绢A(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)方案】第 46 節(jié)二次函數(shù)的圖象；用三種方式表示二次函數(shù)；何時獲得最大利潤；（一）預(yù)習(xí)前知1、二次函數(shù)的一般形式cbxaxy2的另一種形式abacabxay44222（頂點式），其頂點坐標(biāo)公式為abacab44,222、比較022achxayhxay和的圖象特征3、二次函數(shù)cbxaxy2的性質(zhì)4、表示二次函數(shù)的三種方式5、二次函數(shù)的最值求法（二）預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)探索任務(wù) 1：作二次函數(shù)y=3（x1）2的圖象（1）完成下表，并比較3x2與 3（x 1）2的值，它們之間有什么關(guān)系？x3 2 1 0 1 2 3 4 3x23（x 1）2（2）在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3x2和 y=3（x1）2的圖象.反思：函數(shù) y=3（x1）2的圖象與y=3x2的圖象有什么關(guān)系？它是軸對稱圖形嗎？它的精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 6 頁，共 10 頁對稱軸和頂點坐標(biāo)分別是什么？x 取哪些值時，函數(shù)y=3（x1）2的值隨 x 值的增大而增大？x 取哪些值時，函數(shù)y=3（x1）2的值隨 x 的增大而減少？探索任務(wù) 2：說出 y=ax2、y=ax2+c、y=a（xc）2、y=a（xh）2+k 圖象的開口方向、增減性、對稱軸和頂點坐標(biāo)。反思：求出cbxaxy2的頂點公式探索任務(wù) 3：二次函數(shù)有哪三種表示方式反思：體會每一種表示方式的在具體應(yīng)用的好處所在?！灸M試題】（答題時間：45 分鐘）一、選擇題*1、若1222mmxmmy是二次函數(shù)，則m=（）A、321mB、3mC、1mD、13mm或2、下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是（）A、cbxaxy2B、xy5C、1342xxyD、7412xxmy3、半徑是3 的圓，如果它的半徑增加x2，則其面積S與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（）A、232xSB、xS9C、91242xxSD、91242xxS*4、方程352xx的解的個數(shù)是（）A、1 B、2 C、0 D、1 或 2 5、已知321,2,2,2yPyPyPP點都在函數(shù)2xy的圖象上，則（）A、321yyyB、231yyyC、123yyyD、312yyy6、下列說法下確的是（）A、拋物線2xy上的點，其縱坐標(biāo)的值隨橫坐標(biāo)的值的增大而增大B、拋物線2xy上的點，其縱坐標(biāo)的值隨橫坐標(biāo)的值的增大而增大C、拋物線2xy與2xy，只有開口方向不同，其對稱軸是y軸，且y的值隨x的增大而增大精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 7 頁，共 10 頁D、當(dāng)0 x時，二次函數(shù)2xy中y的值隨x的增大的變化情況與0 x時，2xy中y的值隨x的增大的變化情況相同。7、在二次函數(shù)23xy，231xy，234xy中，它們的圖象在同一直角坐標(biāo)系中的開口大小關(guān)系是（）A、B、C、D、8、拋物線542xy是由拋物線342xy（）A、向上平移8 個單位所得到的B、向下平移8 個單位所得到的C、向左平移8 個單位所得到的D、向右平移8 個單位所得到的二、填空題9、二次函數(shù)32422xkxky是關(guān)于x的二次函數(shù)，則k。*10、拋物線02aaxy的對稱軸是，頂點坐標(biāo)是，當(dāng)0a時，開口方向，當(dāng)x時，y有（“最大”或“最小”）值，此時y值為，當(dāng)0a時，開口方向，當(dāng)x時，y有（“最大”或“最小”）值，此時y值為。11、將函數(shù)23yx向上平移6 個單位，得到的函數(shù)是12、某廣告公司設(shè)計一幅周長20m 的矩形廣告牌，設(shè)矩形的一邊長為xm，廣告牌的面積為 S m2，寫出廣告牌面積S 與邊長x的函數(shù)表達(dá)式三、解答題13、如果222kxky是y關(guān)于x的二次函數(shù)，求k 的值，并說明理由。14、拋物線2yxbxc(0)a與x軸交于(1,0)A，(3,0)B兩點求該拋物線的解析式*15、設(shè)直線baxy與拋物線2xy的交點 A，B 的橫坐標(biāo)分別為3，1。（1）求ba,的值；（2）設(shè)拋物線的頂點為C，求 ABC 的面積。精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 8 頁，共 10 頁【試題答案】1、B；點撥：由題意知，021222mmmm且，解得3m2、C；點撥：A 項中當(dāng)0a時，不是二次函數(shù)，B 項是反比例函數(shù)；D 項中當(dāng)1m時，不是二次函數(shù)3、D；點撥：由題意得出91242322xxxS4、B；點撥：設(shè)35,2xyxy畫出草圖即可判斷5、A；點撥：P2，P 20，0P 2pp+2，即三點都在函數(shù)圖象的對稱軸右側(cè)，故選 A 6、D；點撥：a越大，開口越小，a越小，開口越大7、A；8、B；9、2k10、0；0；0；0；;0,0；y最大向下最小向上軸11、92xy12、100102xxxS；點撥：設(shè)廣告牌的一邊長為x，則另一邊長為x1013、解：由題意知)2(02)1(222kk由（1）得2k由（2）得2k2k14、解：把(1,0)A，(3,0)B分別代入2yxbxc得)2(390)1(10cbcb由（2）（1）得8+4b=0b=2 把 b=2 代入（1）得c=3 二次函數(shù)的解析式是：322xxy15、解：（1）當(dāng)11,1;9322yxx，yx時當(dāng)時所以 A，B 的坐標(biāo)分別為（3，9），（1，1）又點 A，B 在直線baxy上1ba9ba3解得3b2a（2）如圖所示，拋物線2xy的頂點 C 就是原點（0，0）。精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 9 頁，共 10 頁3,2 ba直線的表達(dá)式為32xy令直線32xy與y軸交于點D，則點 D 的坐標(biāo)為（0，3）633211321ACDBCDABCSSS精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 10 頁，共 10 頁