第5練如何讓“線性規(guī)劃”不失分題型分析高考展望“線性規(guī)劃”是高考每年必考的內(nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式考查，題目難度大多數(shù)為低、中檔，在填空題中出現(xiàn)時難度稍高二輪復(fù)習(xí)中，要注重?？碱}型的反復(fù)訓(xùn)練，注意研究新題型的變化點，爭取在該題目上做到不誤時，不丟分體驗高考1(2015天津)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zx6y的最大值為()A3 B4 C18 D40答案C解析畫出約束條件的可行域如圖中陰影部分，作直線l：x6y0，平移直線l可知，直線l過點A時，目標(biāo)函數(shù)zx6y取得最大值，易得A(0,3)，所以zmax06318，選C.2(2015陜西)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()甲乙原料限額A3212B128A.12萬元 B16萬元C17萬元 D18萬元答案D解析設(shè)甲，乙的產(chǎn)量分別為x噸，y噸，由已知可得目標(biāo)函數(shù)z3x4y，線性約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示：可得目標(biāo)函數(shù)在點A處取到最大值由得A(2,3)則zmax324318(萬元)3(2015課標(biāo)全國)若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_答案解析畫出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分(ABC)所示：作直線l0：xy0，平移l0到過點A的直線l時，可使直線yxz在y軸上的截距最大，即z最大，解得即A，故z最大1.4(2016山東)若變量x，y滿足則x2y2的最大值是()A4 B9C10 D12答案C解析滿足條件的可行域如圖中陰影部分(包括邊界)，x2y2是可行域上動點(x，y)到原點(0,0)距離的平方，顯然，當(dāng)x3，y1時，x2y2取最大值，最大值為10.故選C.5(2016浙江)若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是()A. B.C. D.答案B解析已知不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示的陰影部分，由解得A(1,2)，由解得B(2,1)由題意可知，當(dāng)斜率為1的兩條直線分別過點A和點B時，兩直線的距離最小，即|AB|.高考必會題型題型一已知約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最值例1(2016北京)若x，y滿足則2xy的最大值為()A0 B3C4 D5答案C解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示令z2xy，則y2xz，作直線2xy0并平移，當(dāng)直線過點A時，截距最大，即z取得最大值，由得所以A點坐標(biāo)為(1,2)，可得2xy的最大值為2124.點評(1)確定平面區(qū)域的方法：“直線定界，特殊點定域”(2)線性目標(biāo)函數(shù)在線性可行域中的最值，一般在可行域的頂點處取得，故可先求出可行域的頂點，然后代入比較目標(biāo)函數(shù)的取值即可確定最值變式訓(xùn)練1設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zx2y的最小值為()A2 B3 C4 D5答案B解析根據(jù)約束條件作出可行域，如圖陰影部分所示由zx2y，得yxz，z的幾何意義是直線yxz在y軸上的截距，要使z最小，需使z最小，易知當(dāng)直線yxz過點A(1,1)時，z最小，最小值為3，故選B.題型二解決參數(shù)問題例2已知a0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a_.答案解析作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)易知直線z2xy過交點A時，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.點評所求參數(shù)一般為對應(yīng)直線的系數(shù)，最優(yōu)解的取得可能在某點，也可能是可行域邊界上的所有點，要根據(jù)情況利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行確定，有時還需分類討論變式訓(xùn)練2(2015山東)已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a等于()A3 B2C2 D3答案B解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，易知A(2,0)，由得B(1,1)由zaxy，得yaxz.當(dāng)a2或a3時，zaxy在O(0,0)處取得最大值，最大值為zmax0，不滿足題意，排除C，D選項；當(dāng)a2或3時，zaxy在A(2,0)處取得最大值，2a4，a2，排除A，故選B.題型三簡單線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用例3(1)投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場地100平方米現(xiàn)某單位可使用資金1 400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為_(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù)，x和y的單位是百噸)(2)(2016課標(biāo)全國乙)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元答案(1)(2)216 000解析(1)用表格列出各數(shù)據(jù)AB總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù)xy資金200x300y1 400場地200x100y900所以不難看出，(2)設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件，得線性約束條件為目標(biāo)函數(shù)z2 100x900y.作出可行域為圖中的四邊形，包括邊界，頂點為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)處取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元)點評若變量的約束條件形成一個區(qū)域，如圓、三角形、帶狀圖形等，都可考慮用線性規(guī)劃的方法解決，解決問題的途徑是：集中變量的約束條件得到不等式組，畫出可行域，確定變量的取值范圍，解決具體問題變式訓(xùn)練3設(shè)點P(x，y)是不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點，向量m(1,1)，n(2,1)，點O是坐標(biāo)原點，若向量Omn(，R)，則的取值范圍是()A， B6,2C1， D4，答案B解析畫出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示由題意，可得(x，y)(1,1)(2,1)(2，)，故令z2(2)3()2x3y，變形得yx.當(dāng)直線yx過點A(1,0)時，z取得最大值，且zmax2；當(dāng)直線yx過點B(3,0)時，z取得最小值，且zmin6.故選B.高考題型精練1(2015安徽)已知x，y滿足約束條件則z2xy的最大值是()A1 B2C5 D1答案A解析約束條件下的可行域如圖所示，由z2xy可知y2xz，當(dāng)直線y2xz過點A(1,1)時，截距最大，此時z最大為1，故選A.2(2016四川)設(shè)p：實數(shù)x，y滿足(x1)2(y1)22，q：實數(shù)x，y滿足則p是q的()A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析如圖，(x1)2(y1)22表示圓心為(1,1)，半徑為的圓內(nèi)區(qū)域所有點(包括邊界)；表示ABC內(nèi)部區(qū)域所有點(包括邊界)實數(shù)x，y滿足則必然滿足，反之不成立則p是q的必要不充分條件故選A.3若x，y滿足若目標(biāo)函數(shù)zxy的最小值為2，則實數(shù)m的值為()A0 B2C8 D1答案C解析畫出x，y滿足的可行域如圖可得直線y2x1與直線xym的交點使目標(biāo)函數(shù)zxy取得最小值，由解得x，y，代入xy2得2m8，故選C.4已知圓C：(xa)2(yb)21，平面區(qū)域：若圓心C，且圓C與x軸相切，則a2b2的最大值為()A5 B29 C37 D49答案C解析由已知得平面區(qū)域為MNP內(nèi)部及邊界圓C與x軸相切，b1.顯然當(dāng)圓心C位于直線y1與xy70的交點(6,1)處時，amax6.a2b2的最大值為621237.故選C.5設(shè)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0，b0)的最大值為4，則ab的取值范圍是()A(0,4) B(0,4C4，) D(4，)答案B解析作出不等式組表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖可知，zaxby(a0，b0)過點A(1,1)時取最大值，ab4，ab24，a0，b0，ab(0,4，故選B.6設(shè)實數(shù)x，y滿足則的取值范圍是()A.1，) B.C. D.答案D解析作出不等式組表示的可行域如圖所示，從圖可看出，表示可行域內(nèi)的點與點A(3,1)連線的斜率，解方程知C(2,0)，D(2,6)，所以其最大值為kAD1，最小值為kAC，所以的取值范圍為，1故選D.7已知實數(shù)x，y滿足若目標(biāo)函數(shù)z2xy的最大值與最小值的差為2，則實數(shù)m的值為()A4 B3 C2 D答案C解析表示的可行域如圖中陰影部分所示將直線l0：2xy0向上平移至過點A，B時，z2xy分別取得最小值與最大值由得A(m1，m)，由得B(4m，m)，所以zmin2(m1)m3m2，zmax2(4m)m8m，所以zmaxzmin8m(3m2)2，解得m2.8設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿足x02y02，求得m的取值范圍是()A. B.C. D.答案C解析當(dāng)m0時，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點P(x0，y0)滿足x02y02，因此m0.如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域要使可行域內(nèi)包含yx1上的點，只需可行域邊界點(m，m)在直線yx1的下方即可，即mm1，解得m.9(2016江蘇)已知實數(shù)x，y滿足則x2y2的取值范圍是_答案解析已知不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖：x2y2表示原點到可行域內(nèi)的點的距離的平方解方程組得A(2,3)由圖可知(x2y2)min2，(x2y2)max|OA|2223213.104件A商品與5件B商品的價格之和不小于20元，而6件A商品與3件B商品的價格之和不大于24，則買3件A商品與9件B商品至少需要_元答案22解析設(shè)1件A商品的價格為x元，1件B商品的價格為y元，買3件A商品與9件B商品需要z元，則z3x9y，其中x，y滿足不等式組作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，其中A(0,4)，B(0,8)，C(，)當(dāng)yxz經(jīng)過點C時，目標(biāo)函數(shù)z取得最小值所以zmin3922.因此當(dāng)1件A商品的價格為元，1件B商品的價格為元時，可使買3件A商品與9件B商品的費用最少，最少費用為22元11已知變量x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)zaxy(其中a>0)僅在點(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍是_答案解析畫出x、y滿足約束條件的可行域如圖所示，要使目標(biāo)函數(shù)zaxy僅在點(3,0)處取得最大值，則直線yaxz的斜率應(yīng)小于直線x2y30的斜率，即a<，a>.12(2015浙江)若實數(shù)x，y滿足x2y21，則|2xy2|6x3y|的最小值是_答案3解析滿足x2y21的實數(shù)x，y表示的點(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部f(x，y)|2xy2|6x3y|2xy2|6x3y直線y2x2與圓x2y21交于A，B兩點，如圖所示，易得B.設(shè)z14x2y，z283x4y，分別作直線yx和yx并平移，則z14x2y在點B取得最小值為3，z283x4y在點B取得最小值為3，所以|2xy2|6x3y|的最小值是3.