第37練函數(shù)與方程思想思想方法解讀1.函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決的思想方法(2)方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決的思想方法2函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù)yf(x)，當(dāng)y>0時(shí)，就化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要(3)解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論(4)立體幾何中有關(guān)線段、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決體驗(yàn)高考1(2015湖南)已知函數(shù)f(x)若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g(x)f(x)b有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是_答案(，0)(1，)解析函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)b0有兩個(gè)不等實(shí)根，則函數(shù)yf(x)和yb的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)若a<0，則當(dāng)xa時(shí)，f(x)x3，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>a時(shí)，f(x)x2，函數(shù)先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，f(x)的圖象如圖(1)實(shí)線部分所示，其與直線yb可能有兩個(gè)公共點(diǎn)若0a1，則a3a2，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)的圖象如圖(2)實(shí)線部分所示，其與直線yb至多有一個(gè)公共點(diǎn)若a>1，則a3>a2，函數(shù)f(x)在R上不單調(diào)，f(x)的圖象如圖(3)實(shí)線部分所示，其與直線yb可能有兩個(gè)公共點(diǎn)綜上，a<0或a>1.2(2015安徽)設(shè)x3axb0，其中a，b均為實(shí)數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是_(寫出所有正確條件的編號(hào))a3，b3；a3，b2；a3，b>2；a0，b2；a1，b2.答案解析令f(x)x3axb，f(x)3x2a，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，必有一個(gè)實(shí)根，正確；當(dāng)a<0時(shí)，由于選項(xiàng)當(dāng)中a3，只考慮a3這一種情況，f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)極大f(1)13bb2，f(x)極小f(1)13bb2，要有一根，f(x)極大<0或f(x)極小>0，b<2或b>2，正確，錯(cuò)誤所有正確條件為.3(2016課標(biāo)全國(guó)甲)已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)2f(x)，若函數(shù)y與yf(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，則(xiyi)等于()A0 Bm C2m D4m答案B解析方法一特殊函數(shù)法，根據(jù)f(x)2f(x)可設(shè)函數(shù)f(x)x1，由y，解得兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為此時(shí)m2，所以(xiyi)m，故選B.方法二由題設(shè)得(f(x)f(x)1，點(diǎn)(x，f(x)與點(diǎn)(x，f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，則yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱又y1，x0的圖象也關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱則交點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成對(duì)，且關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱則(xi，yi)ii02m，故選B.高考必會(huì)題型題型一利用函數(shù)與方程思想解決圖象交點(diǎn)或方程根等問題例1(2016天津)已知函數(shù)f(x) (a>0，且a1)在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f(x)|2x恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析由yloga(x1)1在0，)上遞減，得0<a<1.又由f(x)在R上單調(diào)遞減，則a.如圖所示，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y|f(x)|和y2x的圖象由圖象可知，在0，)上，|f(x)|2x有且僅有一個(gè)解故在(，0)上，|f(x)|2x同樣有且僅有一個(gè)解當(dāng)3a>2，即a>時(shí)，由x2(4a3)x3a2x(其中x<0)，得x2(4a2)x3a20(其中x<0)，則(4a2)24(3a2)0，解得a或a1(舍去)；當(dāng)13a2，即a時(shí)，由圖象可知，符合條件綜上所述，a.故選C.點(diǎn)評(píng)函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)零點(diǎn)、方程的根三者之間可互相轉(zhuǎn)化，解題的宗旨就是函數(shù)與方程的思想方程的根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)，反之函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題也可轉(zhuǎn)化為方程根的問題變式訓(xùn)練1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)且f(x2)f(x)，g(x)，則方程f(x)g(x)在區(qū)間5,1上的所有實(shí)根之和為()A5 B6 C7 D8答案C解析g(x)2，由題意知函數(shù)f(x)的周期為2，則函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間5,1上的圖象如圖所示：由圖象知f(x)、g(x)有三個(gè)交點(diǎn)，故方程f(x)g(x)在x5,1上有三個(gè)根xA、xB、xC，xB3，2，xAxC4，xAxBxC7.題型二函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用例2定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，滿足f(x)>f(x)，且f(0)1，則不等式<1的解集為()A(，0) B(0，)C(，2) D(2，)答案B解析構(gòu)造函數(shù)g(x)，則g(x).由題意得g(x)<0恒成立，所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減又g(0)1，所以<1，即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集為(0，)故選B.點(diǎn)評(píng)不等式恒成立問題的處理方法在解決不等式恒成立問題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題同時(shí)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù)變式訓(xùn)練2已知f(x)log2x，x2,16，對(duì)于函數(shù)f(x)值域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m，則使x2mx4>2m4x恒成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為()A(，2B2，)C(，22，)D(，2)(2，)答案D解析x2,16，f(x)log2x1,4，即m1,4不等式x2mx4>2m4x恒成立，即為m(x2)(x2)2>0恒成立，設(shè)g(m)(x2)m(x2)2，則此函數(shù)在1,4上恒大于0，所以即解得x<2或x>2.題型三函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用例3已知數(shù)列an是首項(xiàng)為2，各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，a2，a3，a41成等比數(shù)列，設(shè)bn(其中Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和)，若對(duì)任意nN*，不等式bnk恒成立，求實(shí)數(shù)k的最小值解因?yàn)閍12，aa2(a41)，又因?yàn)閍n是正項(xiàng)等差數(shù)列，故d0，所以(22d)2(2d)(33d)，得d2或d1(舍去)，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n.因?yàn)镾nn(n1)，bn.令f(x)2x (x1)，則f(x)2，當(dāng)x1時(shí)，f(x)>0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函數(shù)，故當(dāng)x1時(shí)，f(x)minf(1)3，即當(dāng)n1時(shí)，(bn)max，要使對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式bnk恒成立，則須使k(bn)max，所以實(shí)數(shù)k的最小值為.點(diǎn)評(píng)數(shù)列問題函數(shù)(方程)化法數(shù)列問題函數(shù)(方程)化法與形式結(jié)構(gòu)函數(shù)(方程)化法類似，但要注意數(shù)列問題中n的取值范圍為正整數(shù)，涉及的函數(shù)具有離散性特點(diǎn)，其一般解題步驟為：第一步：分析數(shù)列式子的結(jié)構(gòu)特征第二步：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造“特征”函數(shù)(方程)，轉(zhuǎn)化問題形式第三步：研究函數(shù)性質(zhì)結(jié)合解決問題的需要，研究函數(shù)(方程)的相關(guān)性質(zhì)，主要涉及函數(shù)單調(diào)性與最值、值域問題的研究第四步：回歸問題結(jié)合對(duì)函數(shù)(方程)相關(guān)性質(zhì)的研究，回歸問題變式訓(xùn)練3設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，(n1)SnnSn1(nN*)若1，則()ASn的最大值是S8BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7DSn的最小值是S7答案D解析由條件得，即，所以anan1，所以等差數(shù)列an為遞增數(shù)列又1，所以a80，a70，即數(shù)列an前7項(xiàng)均小于0，第8項(xiàng)大于零，所以Sn的最小值為S7，故選D.題型四函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用例4橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，短軸長(zhǎng)為，離心率為，直線l與y軸交于點(diǎn)P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A，B，且3.(1)求橢圓C的方程；(2)求m的取值范圍解(1)設(shè)橢圓C的方程為1 (a>b>0)，設(shè)c>0，c2a2b2，由題意，知2b，所以a1，bc.故橢圓C的方程為y21，即y22x21.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足3，此時(shí)m.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykxm (k0)，l與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k22)x22kmx(m21)0，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)>0，(*)x1x2，x1x2.因?yàn)?，所以x13x2，所以則3(x1x2)24x1x20，即3240，整理得4k2m22m2k220，即k2(4m21)2m220，當(dāng)m2時(shí)，上式不成立；當(dāng)m2時(shí)，k2，由(*)式，得k2>2m22，又k0，所以k2>0，解得1<m<或<m<1，綜上，所求m的取值范圍為.點(diǎn)評(píng)利用判別式法研究圓錐曲線中的范圍問題的步驟第一步：聯(lián)立方程第二步：求解判別式.第三步：代換利用題設(shè)條件和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，得到所求目標(biāo)參數(shù)和判別式不等式中的參數(shù)的一個(gè)等量關(guān)系，將其代換第四步：下結(jié)論將上述等量代換式代入>0或0中，即可求出目標(biāo)參數(shù)的取值范圍第五步：回顧反思在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí)，無(wú)論題目中有沒有涉及求參數(shù)的取值范圍，都不能忽視了判別式對(duì)某些量的制約，這是求解這類問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)變式訓(xùn)練4已知點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且c2，則此橢圓離心率的取值范圍是_答案解析設(shè)P(x，y)，則(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，將y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.高考題型精練1關(guān)于x的方程3xa22a，在(，1上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A2，1)(0,1B3，2)0,1C3，2)(0,1D2，1)0,1答案C解析當(dāng)x(，1時(shí)，3x(0,3，要使3xa22a有解，a22a的值域必須為(0,3，即0<a22a3，解不等式可得3a2或0a1，故選C.2設(shè)函數(shù)f(x)ex(x33x3)aexx，若不等式f(x)0有解，則實(shí)數(shù)a的最小值為()A.1 B2C12e2D1答案D解析因?yàn)閒(x)0有解，所以f(x)ex(x33x3)aexx0，ax33x3F(x)，F(xiàn)(x)3x23(x1)(3x3ex)，令G(x)3x3ex，G(x)3ex,3ex0，xln 3，G(x)最小值G(ln 3)63ln 3>0，F(xiàn)(x)在(，1)上遞減，在(1，)上遞增，F(xiàn)(x)的最小值為F(1)1，所以a1，故選D.3已知f(x)x24x4，f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，fn(x)f(fn1(x)，函數(shù)yfn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)記為an，則an等于()A2nB2n1C2n1D2n或2n1答案B解析f1(x)x24x4(x2)2，有1個(gè)零點(diǎn)2，由f2(x)0可得f1(x)2，則x2或x2，即yf2(x)有2個(gè)零點(diǎn)，由f3(x)0可得f2(x)2或2，則(x2)22或(x2)22，即yf3(x)有4個(gè)零點(diǎn)，以此類推可知，yfn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)an2n1.故選B.4已知函數(shù)f(x)ln xx1，g(x)x22bx4，若對(duì)任意x1(0,2)，x21,2，不等式f(x1)g(x2)恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_答案解析問題等價(jià)于f(x)ming(x)max.f(x)ln xx1，所以f(x)，令f(x)>0得x24x3<0，解得1<x<3，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)和(3，)，故在區(qū)間(0,2)上，x1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值點(diǎn)是唯一的，故也是最小值點(diǎn)，所以f(x)minf(1).由于函數(shù)g(x)x22bx4，x1,2當(dāng)b<1時(shí)，g(x)maxg(1)2b5；當(dāng)1b2時(shí)；g(x)maxg(b)b24；當(dāng)b>2時(shí)，g(x)maxg(2)4b8.故問題等價(jià)于或或解第一個(gè)不等式組得b<1，解第二個(gè)不等式組得1b，第三個(gè)不等式組無(wú)解綜上所述，b的取值范圍是.5滿足條件AB2，ACBC的三角形ABC的面積的最大值是_答案2解析可設(shè)BCx，則ACx，根據(jù)面積公式得SABCx，由余弦定理計(jì)算得cos B，代入上式得SABCx.由得22<x<22.故當(dāng)x2時(shí)，SABC有最大值2.6已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點(diǎn)若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_答案1，)解析以AB為直徑的圓的方程為x2(ya)2a，由得y2(12a)ya2a0.即(ya)y(a1)0，則由題意得解得a1.7設(shè)函數(shù)f(x)ln x(a為常數(shù))(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線與x軸平行，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)在(e，)內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1，)，由f(x)ln x得f(x)，由于曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線與x軸平行，所以f(2)0，即0，所以a.(2)因?yàn)閒(x)，若函數(shù)f(x)在(e，)內(nèi)有極值，則函數(shù)yf(x)在(e，)內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn)，令(x)x2(2a)x1.設(shè)x2(2a)x1(x)(x)，可知1，不妨設(shè)>，則(0,1)，(1，)，若函數(shù)yf(x)在(e，)內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn)，即y(x)在(e，)內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn)，所以>e，又(0)1>0，所以(e)e2(2a)e1<0，解得a>e2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e2，)8已知f(x)exax1.(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍解(1)f(x)exax1(xR)，f(x)exa.令f(x)0，得exa，當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0在R上恒成立；當(dāng)a>0時(shí)，有xln a.綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(ln a，)(2)由(1)知f(x)exa.f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)exa0恒成立，即aex在R上恒成立當(dāng)xR時(shí)，ex>0，a0，即a的取值范圍是(，09已知橢圓C：1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求k的值解(1)由題意得解得b.所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2，x1x2.所以|MN|.又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線yk(x1)的距離d，所以AMN的面積為S|MN|d.由，解得k1.所以k的值為1或1.10已知等比數(shù)列an滿足2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)若bnanlog2，Snb1b2bn，求使Sn2n147<0成立的正整數(shù)n的最小值解(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，依題意，有即由得q23q20，解得q1或q2.當(dāng)q1時(shí)，不合題意舍去；當(dāng)q2時(shí)，代入得a12，所以an22n12n.(2)bnanlog22nlog22nn.所以Sn212222332nn(222232n)(123n)2n12nn2.因?yàn)镾n2n147<0，所以2n12nn22n147<0，即n2n90>0，解得n>9或n<10.因?yàn)閚N*，故使Sn2n147<0成立的正整數(shù)n的最小值為10.