第4練用好基本不等式題型分析高考展望基本不等式是解決函數(shù)值域、最值、不等式證明、參數(shù)范圍問(wèn)題的有效工具，在高考中經(jīng)?？疾?，有時(shí)也會(huì)對(duì)其單獨(dú)考查題目難度為中等偏上應(yīng)用時(shí)，要注意“拆、拼、湊”等技巧，特別要注意應(yīng)用條件，只有具備公式應(yīng)用的三個(gè)條件時(shí)，才可應(yīng)用，否則可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤體驗(yàn)高考1(2015四川)如果函數(shù)f(x)(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為()A16 B18 C25 D.答案B解析當(dāng)m2時(shí)，f(x)在，2上單調(diào)遞減，0n8，mn2n16.m2時(shí)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x.據(jù)題意得，當(dāng)m2時(shí)，2，即2mn12，6，mn18，由2mn且2mn12得m3，n6.當(dāng)m2時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，據(jù)題意得，即m2n18，9，mn，由2nm且m2n18得m92，故應(yīng)舍去要使得mn取得最大值，應(yīng)有m2n18(m2，n8)mn(182n)n(1828)816，綜上所述，mn的最大值為18，故選B.2(2015陜西)設(shè)f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()Aqrp BqrpCprq Dprq答案C解析0ab，又f(x)ln x在(0，)上為增函數(shù)，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln aln bln(ab)f()p.故prq.選C.3(2015天津)已知a0，b0，ab8，則當(dāng)a的值為_(kāi)時(shí)，log2alog2(2b)取得最大值答案4解析log2alog2(2b)log2a(1log2b)2224，當(dāng)且僅當(dāng)log2a1log2b，即a2b時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)a4，b2.4(2016江蘇)在銳角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是_答案8解析在ABC中，ABC，sin Asin(BC)sin(BC)，由已知，sin A2sin Bsin C，sin(BC)2sin Bsin C.sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，A，B，C全為銳角，兩邊同時(shí)除以cos Bcos C得：tan Btan C2tan Btan C.又tan Atan(BC).tan A(tan Btan C1)tan Btan C.則tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，tan Atan Btan Ctan Atan Btan Ctan A2tan Btan C2，2，tan Atan Btan C8.5(2016上海)設(shè)a0，b0.若關(guān)于x，y的方程組無(wú)解，則ab的取值范圍是_答案(2，)解析由已知，ab1，且ab，ab22.高考必會(huì)題型題型一利用基本不等式求最大值、最小值1利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)(1)在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，必須保證“一正，二定，三相等”，湊出定值是關(guān)鍵(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號(hào)的取得條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)2結(jié)構(gòu)調(diào)整與應(yīng)用基本不等式基本不等式在解題時(shí)一般不能直接應(yīng)用，而是需要根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點(diǎn)”，即把研究對(duì)象化成適用基本不等式的形式常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法有：(1)xxaa(x>a)(2)若1，則mxny(mxny)1(mxny)manb2(字母均為正數(shù))例1(1)已知正常數(shù)a，b滿足3，則(a1)(b2)的最小值是_答案解析由3，得b2a3ab，(a1)(b2)2abab24ab2，又a0，b0，2，ab(當(dāng)且僅當(dāng)b2a時(shí)取等號(hào))，(a1)(b2)的最小值為42.(2)求函數(shù)y(x1)的最小值解設(shè)x1t，則xt1(t0)，yt52 59.當(dāng)且僅當(dāng)t，即t2，且此時(shí)x1時(shí)，取等號(hào)，ymin9.點(diǎn)評(píng)求條件最值問(wèn)題一般有兩種思路：一是利用函數(shù)單調(diào)性求最值；二是利用基本不等式在利用基本不等式時(shí)往往都需要變形，變形的原則是在已知條件下通過(guò)變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即“和”或“積”為定值等號(hào)能夠取得變式訓(xùn)練1已知x0，y0，且2x5y20，(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，即xy10，當(dāng)且僅當(dāng)2x5y時(shí)等號(hào)成立因此有解得此時(shí)xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.當(dāng)x5，y2時(shí)，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立由解得的最小值為.題型二基本不等式的綜合應(yīng)用例2(1)某車(chē)間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A60件 B80件 C100件 D120件答案B解析平均每件產(chǎn)品的費(fèi)用為y2 20，當(dāng)且僅當(dāng)，即x80時(shí)取等號(hào)，所以每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品80件，才能使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小(2)某單位決定投資3 200元建一倉(cāng)庫(kù)(長(zhǎng)方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢(qián)，正面用鐵柵，每米長(zhǎng)造價(jià)40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長(zhǎng)造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元，求：倉(cāng)庫(kù)面積S的最大允許值是多少？為使S達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過(guò)預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？解設(shè)鐵柵長(zhǎng)為x米，一側(cè)磚墻長(zhǎng)為y米，則頂部面積Sxy，依題設(shè)，得40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 2002 20xy120 20xy120 20S，則S61600，即(10)(16)0，故010，從而0S100，所以S的最大允許值是100平方米，取得此最大值的條件是40x90y且xy100，解得x15，即鐵柵的長(zhǎng)應(yīng)設(shè)計(jì)為15米點(diǎn)評(píng)基本不等式及不等式性質(zhì)應(yīng)用十分廣泛，在最優(yōu)化實(shí)際問(wèn)題，平面幾何問(wèn)題，代數(shù)式最值等方面都要用到基本不等式，應(yīng)用時(shí)一定要注意檢驗(yàn)“三個(gè)條件”是否具備變式訓(xùn)練2(1)已知直線axby60(a0，b0)被圓x2y22x4y0截得的弦長(zhǎng)為2，則ab的最大值是_答案解析圓的方程變形為(x1)2(y2)25，由已知可得直線axby60過(guò)圓心O(1,2)，a2b6(a0，b0)，6a2b2，ab(當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)等號(hào)成立)，故ab的最大值為.(2)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C(x)x210x(萬(wàn)元)當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，C(x)51x1 450(萬(wàn)元)每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完寫(xiě)出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？解當(dāng)0x80時(shí)，L(x)1 000x0.05(x210x)250x240x250.當(dāng)x80時(shí)，L(x)1 000x0.05(51x1 450)2501 200(x)L(x)當(dāng)0x80時(shí)，L(x)x240x250.對(duì)稱(chēng)軸為x60，即當(dāng)x60時(shí)，L(x)最大950(萬(wàn)元)當(dāng)x80時(shí)，L(x)1 200(x)1 2002 1 000(萬(wàn)元)，當(dāng)且僅當(dāng)x100時(shí)，L(x)最大1 000(萬(wàn)元)，綜上所述，當(dāng)x100時(shí)，年獲利最大高考題型精練1已知x1，y1，且ln x，ln y成等比數(shù)列，則xy()A有最大值e B有最大值C有最小值e D有最小值答案C解析x1，y1，且ln x，ln y成等比數(shù)列，ln xln y2，ln xln yln xy1xye.2若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A. B.C5 D6答案C解析方法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)()5(當(dāng)且僅當(dāng)，即x1，y時(shí)，等號(hào)成立)，3x4y的最小值是5.方法二由x3y5xy得x，x0，y0，y，3x4y4y42 5，當(dāng)且僅當(dāng)y時(shí)等號(hào)成立，3x4y的最小值是5.3若正數(shù)a，b滿足1，則的最小值是()A1 B6C9 D16答案B解析正數(shù)a，b滿足1，b0，解得a1.同理可得b1，9(a1)2 6，當(dāng)且僅當(dāng)9(a1)，即a時(shí)等號(hào)成立，最小值為6.故選B.4已知a0，b0，若不等式0恒成立，則m的最大值為()A4 B16 C9 D3答案B解析因?yàn)閍0，b0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立因?yàn)?6，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，所以1016，所以m16，即m的最大值為16，故選B.5已知x，y(0，)，2x3()y，若(m0)的最小值為3，則m等于()A2 B2 C3 D4答案D解析由2x3()y得xy3，(xy)()(1m)(1m2)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))(1m2)3，解得m4，故選D.6已知直線axbyc10(b，c0)經(jīng)過(guò)圓x2y22y50的圓心，則的最小值是()A9 B8 C4 D2答案A解析圓x2y22y50化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得x2(y1)26，所以圓心為C(0,1)，因?yàn)橹本€axbyc10經(jīng)過(guò)圓心C，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)()5.因?yàn)閎，c0，所以24.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立由此可得b2c，且bc1，即b，c時(shí)，取得最小值9.7已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_(kāi)答案6解析由已知得x.方法一(消元法)x0，y0，0y3，x3y3y3(y1)6266，當(dāng)且僅當(dāng)3(y1)，即y1，x3時(shí)，(x3y)min6.方法二x0，y0,9(x3y)xyx(3y)2，當(dāng)且僅當(dāng)x3y時(shí)等號(hào)成立設(shè)x3yt0，則t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故當(dāng)x3，y1時(shí)，(x3y)min6.8已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則的最小值為_(kāi)答案解析由條件可知a0，b0，c0，且b2ac，即b，故2，令t，則t2，所以yt在2，)上單調(diào)遞增，故其最小值為2.9已知x，yR且滿足x22xy4y26，則zx24y2的取值范圍為_(kāi)答案4,12解析2xy6(x24y2)，而2xy，6(x24y2)，x24y24(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào))，又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào))，綜上可知4x24y212.10當(dāng)x(0,1)時(shí)，不等式m恒成立，則m的最大值為_(kāi)答案9解析方法一(函數(shù)法)由已知不等式可得m，設(shè)f(x)，x(0,1)令t3x1，則x，t(1,4)，則函數(shù)f(x)可轉(zhuǎn)化為g(t)，因?yàn)閠(1,4)，所以5t4，0(t)51，9，即g(t)9，)，故m的最大值為9.方法二(基本不等式法)由已知不等式可得m，因?yàn)閤(0,1)，則1x(0,1)，設(shè)y1x(0,1)，顯然xy1.故5()529，當(dāng)且僅當(dāng)，即y，x時(shí)等號(hào)成立所以要使不等式m恒成立，m的最大值為9.11運(yùn)貨卡車(chē)以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50x100(單位：千米/時(shí))假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車(chē)每小時(shí)耗油升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元(1)求這次行車(chē)總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車(chē)的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值解(1)設(shè)所用時(shí)間為t(小時(shí))，y214，x50,100所以，這次行車(chē)總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是yx，x50,100(2)yx26，當(dāng)且僅當(dāng)，即x18時(shí)等號(hào)成立故當(dāng)x18千米/時(shí)，這次行車(chē)的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為26元12某種商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷(xiāo)售8萬(wàn)件(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷(xiāo)售量公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷(xiāo)策略改革，并提高定價(jià)到x元公司擬投入(x2600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入x萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用試問(wèn)：當(dāng)該商品明年的銷(xiāo)售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)解(1)設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意，有t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元(2)依題意，x25時(shí)，不等式ax25850(x2600)x有解，等價(jià)于x25時(shí)，ax有解，x210(當(dāng)且僅當(dāng)x30時(shí)，等號(hào)成立)，a10.2，當(dāng)該商品明年的銷(xiāo)售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元