第38練數(shù)形結(jié)合思想思想方法解讀數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍數(shù)學(xué)中的知識，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的體驗(yàn)高考1(2015北京)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2答案C解析令g(x)ylog2(x1)，作出函數(shù)g(x)的圖象如圖. 由得結(jié)合圖象知不等式f(x)log2(x1)的解集為x|1<x12已知f(x)2x1，g(x)1x2，規(guī)定：當(dāng)|f(x)|g(x)時(shí)，h(x)|f(x)|；當(dāng)|f(x)|<g(x)時(shí)，h(x)g(x)，則h(x)()A有最小值1，最大值1B有最大值1，無最小值C有最小值1，無最大值D有最大值1，無最小值答案C解析由題意得，利用平移變化的知識畫出函數(shù)|f(x)|，g(x)的圖象如圖，而h(x)，故h(x)有最小值1，無最大值3(2015重慶)若函數(shù)f(x)|x1|2|xa|的最小值為5，則實(shí)數(shù)a_.答案4或6解析由于f(x)|x1|2|xa|，當(dāng)a>1時(shí)，f(x)作出f(x)的大致圖象如圖所示，由函數(shù)f(x)的圖象可知f(a)5，即a15，a4.同理，當(dāng)a1時(shí)，a15，a6.高考必會題型題型一數(shù)形結(jié)合在方程根的個(gè)數(shù)中的應(yīng)用例1方程sin x的解的個(gè)數(shù)是()A5 B6 C7 D8答案C解析在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y1sin x和y2的圖象，如下圖：觀察圖象可知y1sin x和y2的圖象在第一象限有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對稱性可知，在第三象限也有3個(gè)交點(diǎn)，在加上原點(diǎn)，共7個(gè)交點(diǎn)，所以方程sin x有7個(gè)解點(diǎn)評利用數(shù)形結(jié)合求方程解應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性，否則會得到錯解(2)正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結(jié)合變式訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(4,0) B(，0C(4,0 D(，0)答案B解析當(dāng)x>0時(shí)，f(x)lnx與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)有一個(gè)零點(diǎn)依題意，顯然當(dāng)x0時(shí)，f(x)kx2也有一個(gè)零點(diǎn)，即方程kx20只能有一個(gè)解令h(x)，g(x)kx2，則兩函數(shù)圖象在x0時(shí)只能有一個(gè)交點(diǎn)若k>0，顯然函數(shù)h(x)與g(x)kx2在x0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即點(diǎn)A與原點(diǎn)O(如圖所示)顯然k>0不符合題意若k<0，顯然函數(shù)h(x)與g(x)kx2在x0時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，即原點(diǎn)O(如圖所示)若k0，顯然函數(shù)h(x)與g(x)kx2在x0時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，即原點(diǎn)O.綜上，所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(，0故選B.題型二利用數(shù)形結(jié)合解決不等式函數(shù)問題例2已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案(0,1)解析當(dāng)x2時(shí)，f(x)，此時(shí)f(x)在2，)上單調(diào)遞減，且0<f(x)1.當(dāng)x<2時(shí)，f(x)(x1)3，此時(shí)f(x)過點(diǎn)(1,0)，(0，1)，且在(，2)上單調(diào)遞增當(dāng)x2時(shí)，f(x)1.如圖所示作出函數(shù)yf(x)的圖象，由圖可得f(x)在(，2)上單調(diào)遞增且f(x)<1，f(x)在2，)上單調(diào)遞減且0<f(x)1，故當(dāng)且僅當(dāng)0<k<1時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)k有兩個(gè)不等的實(shí)根，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,1)點(diǎn)評利用數(shù)形結(jié)合解不等式或求參數(shù)的方法求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決問題，往往可以避免煩瑣的運(yùn)算，獲得簡捷的解答變式訓(xùn)練2若存在正數(shù)x使2x(xa)<1成立，則a的取值范圍是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)答案D解析因?yàn)?x>0，所以由2x(xa)<1得xa<2x，在直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)xa，g(x)2x在x>0時(shí)的圖象，如圖當(dāng)x>0時(shí)，g(x)2x<1，所以如果存在x>0，使2x(xa)<1，則有f(0)<1，即a<1，即a>1，所以選D.題型三利用數(shù)形結(jié)合求最值例3已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)(bc)0，則|c|的最大值是()A1 B2C.D.答案C解析如圖，設(shè)Oa，Ob，Oc，則Cac，Cbc.由題意知CC，O、A、C、B四點(diǎn)共圓當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，|c|最大，此時(shí)，|O|.點(diǎn)評利用數(shù)形結(jié)合求最值的方法步驟第一步：分析數(shù)理特征，確定目標(biāo)問題的幾何意義一般從圖形結(jié)構(gòu)、圖形的幾何意義分析代數(shù)式是否具有幾何意義第二步：轉(zhuǎn)化為幾何問題第三步：解決幾何問題第四步：回歸代數(shù)問題第五步：回顧反思應(yīng)用幾何意義數(shù)形結(jié)合法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：(1)比值可考慮直線的斜率；(2)二元一次式可考慮直線的截距；(3)根式分式可考慮點(diǎn)到直線的距離；(4)根式可考慮兩點(diǎn)間的距離變式訓(xùn)練3已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點(diǎn)A(m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90，則m的最大值為()A7 B6C5 D4答案B解析根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r1，且|AB|2m.因?yàn)锳PB90，連接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離因?yàn)閨OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值為6.高考題型精練1若過點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x2)2y21有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()A， B(，)C， D(，)答案C解析設(shè)直線方程為yk(x4)，即kxy4k0，直線l與曲線(x2)2y21有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離小于等于半徑，即d1，得4k2k21，k2.所以k.2已知f(x)|xex|，又g(x)f2(x)tf(x)(tR)，若滿足g(x)1的x有四個(gè)，則t的取值范圍為()A(，) B(，)C(，2) D(2，)答案B解析依題意g(x)f2(x)tf(x)1，即tf(x)2，可排除A，C，D.也可以畫出函數(shù)f(x)圖象如下圖所示，要有四個(gè)交點(diǎn)，則選B.3已知函數(shù)f(x)滿足下列關(guān)系：f(x1)f(x1)；當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)x2，則方程f(x)lgx解的個(gè)數(shù)是()A5 B7 C9 D10答案C解析由題意可知，f(x)是以2為周期，值域?yàn)?,1的函數(shù)又f(x)lgx，則x(0,10，畫出兩函數(shù)圖象，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù)由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn)4設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意xR，都有f(x)f(x4)，且當(dāng)x2,0時(shí)，f(x)()x1，若在區(qū)間(2,6內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)loga(x2)0(a>1)恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是()A(，2) B(，2)C，2) D(，2答案B解析作出f(x)在區(qū)間(2,6上的圖象，可知loga(22)<3，loga(62)>3<a<2，選B.5若方程xk有且只有一個(gè)解，則k的取值范圍是()A1,1) BkC1,1Dk或k1,1)答案D解析令y1xk，y2，則x2y1(y0)作出圖象如圖，在y1xk中，k是直線的縱截距，由圖知：方程有一個(gè)解直線與上述半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)k或1k<1.6已知函數(shù)f(x)|4xx2|a，當(dāng)函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則a的取值范圍是_答案(0,4)解析函數(shù)f(x)|4xx2|a有4個(gè)零點(diǎn)，方程|4xx2|a有4個(gè)不同的解令g(x)|4xx2|作出g(x)的圖象，如圖，由圖象可以看出，當(dāng)h(x)a與g(x)有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0<a<4，a的取值范圍為(0,4)7設(shè)f(x)|lg(x1)|，若0<a<b，且f(a)f(b)，則ab的取值范圍是_答案(4，)解析由于函數(shù)f(x)|lg(x1)|的圖象如圖所示由f(a)f(b)可得lg(a1)lg(b1)，解得abab>2(由于a<b)，所以ab>4.8已知函數(shù)y的圖象與函數(shù)ykx2的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案(0,1)(1,4)解析根據(jù)絕對值的意義，y在直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)的圖象，如圖中實(shí)線所示根據(jù)圖象可知，當(dāng)0<k<1或1<k<4時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)9已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最大值為_答案2解析畫出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域(含邊界)為圖中的四邊形ABCD，表示平面區(qū)域上的點(diǎn)P(x，y)與原點(diǎn)的連線的斜率，顯然OA的斜率最大10給出下列命題：在區(qū)間(0，)上，函數(shù)yx1，yx，y(x1)2，yx3中有三個(gè)是增函數(shù)；若logm3<logn3<0，則0<n<m<1；若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(x1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱；若函數(shù)f(x)3x2x3，則方程f(x)0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中正確的命題是_答案解析對于，在區(qū)間(0，)上，只有yx，yx3是增函數(shù)，所以錯誤對于，由logm3<logn3<0，可得<<0，即log3n<log3m<0，所以0<n<m<1，所以正確易知正確對于，方程f(x)0即為3x2x30，變形得3x2x3，令y13x，y22x3，在同一坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以正確