專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第三講 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用適考素能特訓(xùn) 理一、選擇題12016鄭州質(zhì)檢函數(shù)f(x)excosx的圖象在點(0，f(0)處的切線方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案C解析依題意，f(0)e0cos01，因為f(x)excosxexsinx，所以f(0)1，所以切線方程為y1x0，即xy10，故選C.22016南寧適應(yīng)性測試(二)設(shè)拋物線C：yx2與直線l：y1圍成的封閉圖形為P，則圖形P的面積S等于()A1 B.C. D.答案D解析由得x1.由對稱性與圖形可知，S2(11x2dx)2，選D.32016廣西質(zhì)檢若函數(shù)f(x)(x2cx5)ex在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)c的取值范圍是()A(，2 B(，4C(，8 D2,4答案B解析f(x)x2(2c)xc5ex，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，等價于x2(2c)xc50對任意x恒成立，即(x1)cx22x5，c對任意x恒成立，x，(x1)4，當(dāng)且僅當(dāng)x1時等號成立，c4.42016沈陽質(zhì)檢已知函數(shù)yx2的圖象在點(x0，x)處的切線為l，若l也與函數(shù)yln x，x(0,1)的圖象相切，則x0必滿足()A0<x0< B.<x0<1C.<x0< D.<x0<答案D解析由題令f(x)x2，f(x)2x，f(x0)x，所以直線l的方程為y2x0(xx0)x2x0xx，因為l也與函數(shù)yln x(x(0,1)的圖象相切，令切點坐標為(x1，ln x1)，y，所以l的方程為yxln x11，這樣有所以1ln 2x0x，x0(1，)，令g(x)x2ln 2x1，x(1，)，所以該函數(shù)的零點就是x0，又因為g(x)2x，所以g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，又g(1)ln 2 <0，g()1ln 2 <0，g()2ln 2>0，從而<x0<，選D.5已知函數(shù)f(x)x3ax2xc(xR)，則下列結(jié)論錯誤的是()A函數(shù)f(x)一定存在極大值和極小值B若函數(shù)f(x)在(，x1)，(x2，)上是增函數(shù)，則x2x1C函數(shù)f(x)的圖象是中心對稱圖形D函數(shù)f(x)的圖象在點(x0，f(x0)(x0R)處的切線與f(x)的圖象必有兩個不同的公共點答案D解析對于選項A，f(x)3x22ax1，方程3x22ax10的根的判別式4a212>0恒成立，故f(x)0必有兩個不等實根，不妨設(shè)為x1，x2，且x1<x2，令f(x)>0，得x<x1或x>x2，令f(x)<0，得x1<x<x2，所以函數(shù)f(x)在(x1，x2)上單調(diào)遞減，在(，x1)和(x2，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xx1時，函數(shù)f(x)取得極大值，當(dāng)xx2時，函數(shù)f(x)取得極小值，故A選項的結(jié)論正確；對于選項B，令f(x)3x22ax10，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2，x1x2，易知x1<x2，所以x2x1，故B選項的結(jié)論正確；對于選項C，易知兩極值點的中點坐標為，又fxx3f，fxx3f，所以ff2f，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點成中心對稱，故C選項的結(jié)論正確；對于D選項，令ac0得f(x)x3x，f(x)在(0,0)處切線方程為yx，且有唯一實數(shù)解，即f(x)在(0,0)處切線與f(x)圖象有唯一公共點，所以D不正確，選D.6已知函數(shù)f(x)(a2)xax3在區(qū)間1,1上的最大值為2，則a的取值范圍是()A2,10 B1,8C2,2 D0,9答案B解析f(x)3ax2a2.(1)當(dāng)a0時，f(x)2<0，f(x)在1,1上為減函數(shù)，所以f(x)maxf(1)2，符合題意(2)當(dāng)0<a2時，f(x)0恒成立，所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以f(x)maxf(1)2，符合題意(3)當(dāng)a<0或a>2時，由f(x)0，解得x .當(dāng) 1，即 1，即1a<0時，函數(shù)f(x)在1,1上單調(diào)遞減，所以此時函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值為f(1)2，滿足條件；當(dāng) >1，即 <1，即a<1或a>2時，若a<1，函數(shù)f(x)在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以此時函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值為f(1)2或f，而f>f(1)2，不滿足條件，若a>2，函數(shù)f(x)在與上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以此時函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值為f(1)2或f，則必有f2，即(a2) a32，整理并因式分解得(a8)(a1)20，所以由a>2可得2<a8.綜上可得1a8，故選B.二、填空題72016九江一模已知直線yx1是函數(shù)f(x)ex圖象的切線，則實數(shù)a_.答案e2解析設(shè)切點為(x0，y0)，則f(x0)e x01，e x0a，又e x0x01，x02，ae2.82015天津高考曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_答案解析由題意可得封閉圖形的面積為(xx2)dx.92016石家莊一模設(shè)過曲線f(x)exx(e為自然對數(shù)的底數(shù))上任意一點處的切線為l1，總存在過曲線g(x)ax2cosx上一點處的切線l2，使得l1l2，則實數(shù)a的取值范圍為_答案1a2解析函數(shù)f(x)exx的導(dǎo)數(shù)為f(x)ex1，設(shè)曲線f(x)exx上的切點為(x1，f(x1)，則l1的斜率k1ex11.函數(shù)g(x)ax2cosx的導(dǎo)數(shù)為g(x)a2sinx，設(shè)曲線g(x)ax2cosx上的切點為(x2，g(x2)，則l2的斜率k2a2sinx2.由題設(shè)可知k1k21，從而有(ex11)(a2sinx2)1，a2sinx2，對x1，x2使得等式成立，則有y1的值域是y2a2sinx2值域的子集，即(0,1)a2，a2，1a2.三、解答題102016石景山區(qū)高三統(tǒng)測已知函數(shù)f(x)xaln x，g(x)(a>0)(1)若a1，求函數(shù)f(x)的極值；(2)設(shè)函數(shù)h(x)f(x)g(x)，求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在x01，e，使得f(x0)<g(x0)成立，求a的取值范圍解(1)f(x)xaln x的定義域為(0，)當(dāng)a1時，f(x).由f(x)0，解得x1.當(dāng)0<x<1時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；所以當(dāng)x1時，函數(shù)f(x)取得極小值，極小值為f(1)1ln 11；(2)h(x)f(x)g(x)xaln x，其定義域為(0，)又h(x).由a>0可得1a>0，在x(0,1a)上h(x)<0，在x(1a，)上h(x)>0，所以h(x)的遞減區(qū)間為(0,1a)；遞增區(qū)間為(1a，)(3)若在1，e上存在一點x0，使得f(x0)<g(x0)成立，即在1，e上存在一點x0，使得h(x0)<0.即h(x)在1，e上的最小值小于零當(dāng)1ae，即ae1時，由(2)可知h(x)在1，e上單調(diào)遞減故h(x)在1，e上的最小值為h(e)，由h(e)ea<0，可得a>.因為>e1，所以a>；當(dāng)1<1a<e，即0<a<e1時，由(2)可知h(x)在(1,1a)上單調(diào)遞減，在(1a，e)上單調(diào)遞增h(x)在1，e上最小值為h(1a)2aaln (1a)因為0<ln (1a)<1，所以0<aln (1a)<a.2aaln (1a)>2，即h(1a)>2不滿足題意，舍去綜上所述：a.112016貴陽監(jiān)測設(shè)函數(shù)f(x)xln (ax)(a>0)(1)設(shè)F(x)f(1)x2f(x)，討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性；(2)過兩點A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)(x1<x2)的直線的斜率為k，求證：<k<.解(1)f(x)ln (ax)1，所以F(x)(ln a)x2ln (ax)1，函數(shù)F(x)的定義域為(0，)，F(xiàn)(x)(ln a)x.當(dāng)ln a0，即a1時，恒有F(x)>0，函數(shù)F(x)在(0，)上是增函數(shù)；當(dāng)ln a<0，即0<a<1時，令F(x)>0，得( ln a)x21>0, 解得0<x< ；令F(x)<0，得(ln a)x21<0，解得x> .所以函數(shù)F(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)(2)證明：因為k，x2x1>0，要證<k<，即證<ln <，令t，則t>1，則只要證1<ln t<t1即可，設(shè)g(t)t1ln t，則g(t)1>0(t>1)，故g(t)在(1，)上是增函數(shù)所以當(dāng)t>1時，g(t)t1ln t>g(1)0，即t1>ln t成立要證1<ln t，由于t>1，即證t1<tln t，設(shè)h(t)tln t(t1)，則h(t)ln t>0(t>1)，故函數(shù)h(t)在(1，)上是增函數(shù)，所以當(dāng)t>1時，h(t)tln t(t1)>h(1)0，即t1<tln t成立故由知<k<成立，得證122016廣西質(zhì)檢已知函數(shù)f(x)aln x(a0，aR)(1)若a1，求函數(shù)f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間(0，e上至少存在一點x0，使得f(x0)<0成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時，f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定義域為(0，)，由f(x)<0得0<x<1，由f(x)>0得x>1，所以當(dāng)x1時，f(x)有極小值1.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)(2)f(x)，且a0，令f(x)0，得到x，若在區(qū)間(0，e上存在一點x0，使得f(x0)<0成立，即f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值小于0.當(dāng)<0，即a<0時，f(x)<0在(0，e上恒成立，即f(x)在區(qū)間(0，e上單調(diào)遞減，故f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為f(e)aln ea，由a<0，得a<，即a.當(dāng)>0，即a>0時，若e，則f(x)0對x(0，e成立，所以f(x)在區(qū)間(0，e上單調(diào)遞減，則f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為f(e)aln ea>0，顯然，f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值小于0不成立若0<<e，即a>時，則有xf(x)0f(x)極小值所以f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為faaln，由faalna(1ln a)<0，得1ln a<0，解得a>e，即a(e，)綜上，由可知：a(e，)符合題意