專題三 三角函數(shù)與解三角形 第二講 三角恒等變換與解三角形適考素能特訓(xùn) 理一、選擇題12016合肥質(zhì)檢sin18sin78cos162cos78()A BC. D.答案D解析sin18sin78cos162cos78sin18sin78cos18cos78cos(7818)cos60，故選D.22016廣西質(zhì)檢已知<<，3sin22cos，則cos()等于()A. B.C. D.答案C解析由3sin22cos得sin.因為<<，所以cos()cos .32016鄭州質(zhì)檢在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則cosB()A B.C D.答案B解析由正弦定理知1，即tanB，所以B，所以cosBcos，故選B.42016武漢調(diào)研據(jù)氣象部門預(yù)報，在距離某碼頭正西方向400 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向東北方向移動，距風(fēng)暴中心300 km以內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，則該碼頭處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A9 h B10 hC11 h D12 h答案B解析記碼頭為點O，熱帶風(fēng)暴中心的位置為點A，t小時后熱帶風(fēng)暴到達(dá)B點位置，在OAB中，OA400，AB20t，OAB45，根據(jù)余弦定理得4002400t2220t4003002，即t220t1750，解得105t105，所以所求時間為10510510(h)，故選B.52016云南統(tǒng)測已知ABC的內(nèi)角A、B、C對的邊分別為a、b、c，sinAsinB2sinC，b3，當(dāng)內(nèi)角C最大時，ABC的面積等于()A. B.C. D.答案A解析根據(jù)正弦定理及sinAsinB2sinC得ab2c，c，cosC2，當(dāng)且僅當(dāng)，即a時，等號成立，此時sinC，SABCabsinC3.62016鄭州質(zhì)量預(yù)測在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知sin(BA)sin(BA)3sin2A，且c，C，則ABC的面積是()A. B.C. D.或答案D解析sin(BA)sinBcosAcosBsinA，sin(BA)sinBcosAcosBsinA，sin2A2sinAcosA，sin(BA)sin(BA)3sin2A，即2sinBcosA6sinAcosA.當(dāng)cosA0時，A，B，又c，得b.由三角形面積公式知Sbc；當(dāng)cosA0時，由2sinBcosA6sinAcosA可得sinB3sinA，根據(jù)正弦定理可知b3a，再由余弦定理可知cosCcos，可得a1，b3，所以此時三角形的面積為SabsinC.綜上可得三角形的面積為或，所以選D.二、填空題7已知tan，tan是lg (6x25x2)0的兩個實根，則tan()_.答案1解析lg (6x25x2)06x25x10，tantan，tantan，tan()1.82016貴陽監(jiān)測在ABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊分別是a、b、c，若sin2，則ABC的形狀一定是_答案直角三角形解析由題意，得，即cosB，又由余弦定理，得，整理，得a2b2c2，所以ABC為直角三角形92016西安質(zhì)檢已知ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，且abc753，若ABC的面積為45，則ABC外接圓的半徑為_答案14解析因為abc753，所以可設(shè)a7k，b5k，c3k(k>0)，由余弦定理得，cosA.因為A是ABC的內(nèi)角，所以sinA ，因為ABC的面積為45，所以bcsinA45，即5k3k45，解得k2.由正弦定理2R(R為ABC外接圓的半徑)，即2R，解得R14，所以ABC外接圓半徑為14.三、解答題102016重慶測試在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2sin2A1.(1)求A；(2)設(shè)a22，ABC的面積為2，求bc的值解(1)由2cos2sin2A1可得，22sinAcosA1，所以1cos(A)2sinAcosA1，故2sinAcosAcosA0.因為ABC為銳角三角形，所以cosA0，故sinA，從而A.(2)因為ABC的面積為bcsinAbc2，所以bc8.因為A，故cosA，由余弦定理可知，b2c2a22bccosAbc.又a22，所以(bc)2b2c22bc(2)bca28(2)(22)232.故bc4.112016武漢調(diào)研在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2BcosB1cosAcosC.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若b2，求ABC的面積的最大值解(1)證明：在ABC中，cosBcos(AC)由已知，得(1sin2B)cos(AC)1cosAcosC，sin2B(cosAcosCsinAsinC)cosAcosC，化簡，得sin2BsinAsinC.由正弦定理，得b2ac，a，b，c成等比數(shù)列(2)由(1)及題設(shè)條件，得ac4.則cosB，當(dāng)且僅當(dāng)ac時，等號成立0<B<，sinB .SABCacsinB4.ABC的面積的最大值為.122016濟(jì)寧模擬已知向量m，n，記f(x)mn.(1)若f(x)1，求cos的值；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2ac)cosBbcosC，求f(2A)的取值范圍解(1)f(x)mnsincoscos2sincossin，因為f(x)1，所以sin，所以cos12sin2.(2)因為(2ac)cosBbcosC，由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC，所以2sinAcosBsinCcosBsinBcosC，所以2sinAcosBsin(BC)因為ABC，所以sin(BC)sinA，且sinA0，所以cosB，又0<B<，所以B.則AC，AC，又0<C<，則<A<，得<A<，所以<sin1又因為f(2A)sin，故函數(shù)f(2A)的取值范圍是.典題例證2016天津高考已知函數(shù)f(x)4tanxsincos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性.審題過程確定函數(shù)的定義域，運(yùn)用輔助角公式化為yAsin(x)的形式確定最小正周期利用ysinx的單調(diào)性進(jìn)行求解，注意將x視為一個整體.(1)f(x)的定義域為.f(x)4tanxcosxcos4sinxcos4sinx2sinxcosx2sin2xsin2x(1cos2x)sin2xcos2x2sin.所以，f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，函數(shù)y2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.設(shè)A，Bkx.易知AB.所以，當(dāng)x時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.模型歸納利用ysinx(ycosx)的圖象及性質(zhì)解決三角函數(shù)性質(zhì)的模型示意圖如下：典題例證ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosBbcosA)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長.審題過程利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化；由SABC得出ab，再由余弦定理聯(lián)立方程.(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，2cosCsin(AB)sinC，故2sinCcosCsinC.可得cosC，所以C.(2)由已知，absinC.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcosC7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長為5.模型歸納利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意圖如下：