第1講集合與常用邏輯用語1(2016課標(biāo)全國乙)設(shè)集合Ax|x24x3<0，Bx|2x3>0，則AB等于()A. B.C. D.答案D解析由Ax|x24x3<0x|1<x<3，Bx|2x3>0，得AB，故選D.2(2016北京)設(shè)a，b是向量，則“|a|b|”是“|ab|ab|”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案D解析若|a|b|成立，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形為菱形，ab，ab表示該菱形的對角線，而菱形的對角線不一定相等，所以|ab|ab|不一定成立；反之，若|ab|ab|成立，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形為矩形，而矩形的鄰邊不一定相等，所以|a|b|不一定成立，所以“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要條件3(2016浙江)命題“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx2答案D解析原命題是全稱命題，條件為xR，結(jié)論為nN*，使得nx2，其否定形式為特稱命題，條件中改量詞，并否定結(jié)論，只有D選項(xiàng)符合1.集合是高考必考知識點(diǎn)，經(jīng)常以不等式解集、函數(shù)的定義域、值域?yàn)楸尘翱疾榧系倪\(yùn)算，近幾年有時(shí)也會出現(xiàn)一些集合的新定義問題.2.高考中考查命題的真假判斷或命題的否定，考查充要條件的判斷.熱點(diǎn)一集合的關(guān)系及運(yùn)算1集合的運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)AAA，AA，ABBA.(2)AAA，A，ABBA.(3)A(UA)，A(UA)U.(4)ABAAB，ABABA.2集合運(yùn)算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；(2)若已知的集合是點(diǎn)集，用數(shù)形結(jié)合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解例1(1)已知集合Ax|<0，By|ysin ，nZ，則AB等于()Ax|1<x<1 B1,0,1C1,0 D0,1(2)若X是一個(gè)集合，是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合，且滿足：X屬于，空集屬于；中任意多個(gè)元素的并集屬于；中任意多個(gè)元素的交集屬于.則稱是集合X上的一個(gè)拓?fù)湟阎蟈a，b，c，對于下面給出的四個(gè)集合：，a，c，a，b，c；，b，c，b，c，a，b，c；，a，a，b，a，c；，a，c，b，c，c，a，b，c其中是集合X上的一個(gè)拓?fù)涞募系乃行蛱柺莀答案(1)C(2)解析(1)因?yàn)锳x|<0x|2<x<1，By|ysin ，nZ0，1,1，所以AB1,0(2)，a，c，a，b，c，但是aca，c，所以錯(cuò)；都滿足集合X上的一個(gè)拓?fù)涞募系娜齻€(gè)條件所以正確；a，ba，ca，b，c，故錯(cuò)所以答案為.思維升華(1)關(guān)于集合的關(guān)系及運(yùn)算問題，要先對集合進(jìn)行化簡，然后再借助Venn圖或數(shù)軸求解(2)對集合的新定義問題，要緊扣新定義集合的性質(zhì)探究集合中元素的特征，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識進(jìn)行求解，也可利用特殊值法進(jìn)行驗(yàn)證跟蹤演練1(1)已知集合Ay|ysin x，xR，集合Bx|ylg x，則(RA)B為()A(，1)(1，) B1,1C(1，) D1，)(2)設(shè)集合Mx|mxm，Nx|nxn，且M，N都是集合x|0x1的子集，如果把ba叫做集合x|axb的“長度”，那么集合MN的“長度”的最小值是()A. B.C. D.答案(1)C(2)C解析(1)因?yàn)锳y|ysin x，xR1,1，Bx|ylg x(0，)所以(RA)B(1，)故答案為C.(2)由已知，可得即0m，即n1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M，N.所以MN.此時(shí)集合MN的“長度”的最小值為.故選C.熱點(diǎn)二四種命題與充要條件1四種命題中原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假2若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，則p，q互為充要條件例2(1)下列命題：已知m，n表示兩條不同的直線，表示兩個(gè)不同的平面，并且m，n，則“”是“mn”的必要不充分條件；不存在x(0,1)，使不等式log2x<log3x成立；“若am2<bm2，則a<b”的逆命題為真命題其中正確的命題序號是_(2)已知服從正態(tài)分布N(1，2)，aR，則“P(>a)0.5”是“關(guān)于x的二項(xiàng)式3的展開式的常數(shù)項(xiàng)為3”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C既不充分又不必要條件D充要條件答案(1)(2)A解析(1)當(dāng)時(shí)，n可以是平面內(nèi)任意一直線，所以得不到mn，當(dāng)mn時(shí)，m，所以n，從而，故“”是“mn”的必要不充分條件所以正確log2x，log3x，因?yàn)閘g 2<lg 3，所以>，當(dāng)x(0,1)時(shí)，<，即log2x<log3x恒成立，所以錯(cuò)誤中原命題的逆命題為：若a<b，則am2<bm2，顯然當(dāng)m20時(shí)不正確，所以錯(cuò)誤所以答案應(yīng)填.(2)由P(>a)0.5，知a1.二項(xiàng)式3展開式的通項(xiàng)公式為Tk1C(ax)3kka3kCx33k，令33k0，得k1，其常數(shù)項(xiàng)為a2C3a23，解得a1，“P(>a)0.5”是“關(guān)于x的二項(xiàng)式3的展開式的常數(shù)項(xiàng)為3”的充分不必要條件，故選A.思維升華充分條件與必要條件的三種判定方法(1)定義法：正、反方向推理，若pq，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若pq，且qp，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)(2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系例如，若AB，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若AB，則A是B的充要條件(3)等價(jià)法：將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)便于判斷真假的命題跟蹤演練2(1)下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()“x2x2>0”是“x>1”的充分不必要條件；命題：“xR，sin x1”的否定是“x0R，sin x0>1”；“若x，則tan x1”的逆命題為真命題；若f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(log32)f(log23)0.A1 B2 C3 D4(2)已知“x>k”是“<1”的充分不必要條件，則k的取值范圍是()A2，) B1，)C(2，) D(，1答案(1)A(2)A解析(1)對于，x2x2>0x>1或x<2，故“x2x2>0”是“x>1”的必要不充分條件，所以錯(cuò)誤；對于，“若x，則tan x1”的逆命題為“若tan x1，則x”，tan x1推出的是xk，kZ.所以錯(cuò)誤對于，log32log23，所以錯(cuò)誤正確故選A.(2)由<1，可得1<0，所以x<1或x>2，因?yàn)椤皒>k”是“<1”的充分不必要條件，所以k2.熱點(diǎn)三邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞1命題pq，只要p，q有一真，即為真；命題pq，只有p，q均為真，才為真；綈p和p為真假對立的命題2命題pq的否定是(綈p)(綈q)；命題pq的否定是(綈p)(綈q)3“xM，p(x)”的否定為“x0M，綈p(x0)”；“x0M，p(x0)”的否定為“xM，綈p(x)”例3(1)已知命題p：在ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要條件；命題q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要條件，則下列選項(xiàng)中正確的是()Ap真q假 Bp假q真C“pq”為假 D“pq”為真(2)已知命題p：“x1,2，x2a0”，命題q：“x0R，x2ax02a0”若命題“(綈p)q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa2或a1 Ba2或1a2Ca>1 D2a1答案(1)C(2)C解析(1)ABC中，C>Bc>b2Rsin C>2Rsin B(R為ABC外接圓半徑)，所以C>Bsin C>sin B.故“C>B”是“sin C>sin B”的充要條件，命題p是假命題若c0，當(dāng)a>b時(shí)，則ac20bc2，故a>bac2>bc2，若ac2>bc2，則必有c0，則c2>0，則有a>b，所以ac2>bc2a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件，故命題q也是假命題，故選C.(2)命題p為真時(shí)a1；“x0R，x2ax02a0”為真，即方程x22ax2a0有實(shí)根，故4a24(2a)0，解得a1或a2.(綈p)q為真命題，即(綈p)真且q真，即a>1.思維升華(1)命題的否定和否命題是兩個(gè)不同的概念：命題的否定只否定命題的結(jié)論，真假與原命題相對立；(2)判斷命題的真假要先明確命題的構(gòu)成由命題的真假求某個(gè)參數(shù)的取值范圍，還可以考慮從集合的角度來思考，將問題轉(zhuǎn)化為集合間的運(yùn)算跟蹤演練3(1)已知命題p：x0R，使sin x0；命題q：x，x>sin x，則下列判斷正確的是()Ap為真 B綈q為假Cpq為真 Dpq為假(2)若“x，mtan x1”為真命題，則實(shí)數(shù)m的最大值為_答案(1)B(2)0解析(1)由于三角函數(shù)ysin x的有界性：1sin x01，所以p假；對于q，構(gòu)造函數(shù)yxsin x，求導(dǎo)得y1cos x，又x，所以y>0，y為單調(diào)遞增函數(shù)，有y>0恒成立，即x，x>sin x，所以q真判斷可知，B正確(2)令f(x)tan x1，則函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，故f(x)的最小值為f0，x，mtan x1，故m(tan x1)min，m0，故實(shí)數(shù)m的最大值為0.1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镸，g(x)ln(1x)的定義域?yàn)镹，則M(RN)等于()Ax|1x<1 Bx|x>1Cx|x<1 Dx|x1押題依據(jù)集合的運(yùn)算在歷年高考中的地位都很重要，已成為送分必考試題集合的運(yùn)算常與不等式(特別是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域等知識相交匯答案C解析Mx|1x2>0x|1<x<1，Nx|1x>0x|x>1，RNx|x1，M(RN)x|1<x<1x|x1x|x<1，故選C.2已知集合M(x，y)|yf(x)，若對于任意(x1，y1)M，存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，則稱集合M是“集合”給出下列4個(gè)集合：M(x，y)|y；M(x，y)|yex2；M(x，y)|ycos x；M(x，y)|yln x其中是“集合”的所有序號為()A BC D押題依據(jù)以新定義為背景，考查元素與集合的關(guān)系，是近幾年高考的熱點(diǎn)，解題時(shí)可從集合的性質(zhì)(元素的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì))作為突破口答案A解析對于，若x1x2y1y20，則x1x20，即(x1x2)21，可知錯(cuò)誤；對于，取(1,0)M，且存在(x2，y2)M，則x1x2y1y21x20y2x2>0，可知錯(cuò)誤同理，可證得和都是正確的故選A.3設(shè)R，則“0”是“f(x)cos(x)(xR)為偶函數(shù)”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件押題依據(jù)充分、必要條件的判定一直是高考考查的重點(diǎn)，該類問題必須以其他知識為載體，綜合考查數(shù)學(xué)概念答案A解析當(dāng)0時(shí)，f(x)cos(x)cos x為偶函數(shù)成立；但當(dāng)f(x)cos(x)為偶函數(shù)時(shí)，k，kZ，所以0時(shí)，必要條件不成立故選A.4給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題有()函數(shù)ysin 2xcos 2x在x上的單調(diào)遞增區(qū)間是；a1，a2，b1，b2均為非零實(shí)數(shù)，集合Ax|a1xb1>0，Bx|a2xb2>0，則“”是“AB”的必要不充分條件；若pq為真命題，則pq也為真命題；命題x0R，xx01<0的否定為xR，x2x1<0.A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)押題依據(jù)常用邏輯用語中命題真假的判斷、充要條件、全稱量詞、存在量詞及邏輯聯(lián)結(jié)詞是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要工具，也是高考考查的熱點(diǎn)問題答案C解析ysin 2xcos 2xsin，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，又x，因此遞增區(qū)間是；充分性不成立，如a11，b11，a21b2，滿足，但Ax|x1>0(1，)，Bx|x1>0(，1)，AB；必要性成立：ABa1a2>0；pq為真命題時(shí)，p，q不一定全真，因此pq不一定為真命題；命題x0R，xx01<0的否定應(yīng)為xR，x2x10.所以為真，選C.A組專題通關(guān)1已知集合Ax|x1>0，B2，1,0,1，則(RA)B等于()A2，1 B2C1,0,1 D0,1答案A解析Ax|x>1，所以RAx|x1，所以有(RA)B2，1，故選A.2已知集合Mx|log2x<3，Nx|x2n1，nN，則MN等于()A(0,8) B3,5,7C0,1,3,5,7 D1,3,5,7答案D解析由M中不等式變形得：log2x<3log28，即0<x<8，Mx|0<x<8，Nx|x2n1，nN，MN1,3,5,7，故選D.3已知集合A1,2,3,4,5，B5,6,7，C(x，y)|xA，yA，xyB，則C中所含元素的個(gè)數(shù)為()A5 B6C12 D13答案D解析若x5A，y1A，則xy516B，即點(diǎn)(5,1)C；同理，(5,2)C，(4,1)C，(4,2)C，(4,3)C，(3,2)C，(3,3)C，(3,4)C，(2,3)C，(2,4)C，(2,5)C，(1,4)C，(1,5)C.所以C中所含元素的個(gè)數(shù)為13，應(yīng)選D.4已知集合Mx|ylg，Ny|yx22x3，則(RM)N等于()Ax|0<x<1 Bx|x>1Cx|x2 Dx|1<x<2答案C解析由>0得0<x<1，故Mx|0<x<1，RMx|x0或x1，y(x1)222，故Ny|y2，則(RM)Nx|x25設(shè)命題甲：ax22ax1>0的解集是實(shí)數(shù)集R；命題乙：0<a<1，則命題甲是命題乙成立的()A充分不必要條件 B充要條件C必要不充分條件 D既非充分又非必要條件答案C解析由命題甲ax22ax1>0的解集是實(shí)數(shù)集R，可知a0時(shí)，原式1>0恒成立，當(dāng)a0時(shí)，解得0<a<1，所以0a<1，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命題甲是命題乙成立的必要不充分條件，故選C.6設(shè)命題p：函數(shù)ysin 2x的最小正周期為；命題q：函數(shù)ycos x的圖象關(guān)于直線x對稱則下列判斷正確的是()Ap為真 B綈q為假Cpq為假 Dpq為真答案C解析p是假命題，q是假命題，因此只有C正確7已知命題p：<1，命題q：(xa)(x3)>0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(3，1 B3，1C(，1 D(，3答案C解析由p：<1，得<0，1<x<1，而p是q的充分不必要條件，即pq，qp，所以a1，a1.故選C.8命題“若x23x20，則x1”的逆否命題為：“若x1，則x23x20”；“x1”是“x24x30”的充要條件；若pq為假命題，則p、q均為假命題；對于命題p：x0R，x2x020，則綈p：xR，x22x2>0.上面四個(gè)命題中正確的是()A BC D答案C解析對于命題：若p，則q，其逆否命題是若綈q，則綈p，故對；答案從A，C中選；x1時(shí)x24x30成立，所以“x1”是“x24x30”的充分條件，當(dāng)x24x30時(shí)x1或x3，所以“x1”不是“x24x30”的必要條件；所以“x1”是“x24x30”的充分不必要條件故錯(cuò)，故選C.9已知集合Mx|x2<4，Nx|x22x3<0，則集合MN_.答案(1,2)解析由不等式的解法，可得Mx|x2<4x|2<x<2，Nx|x22x3<0x|1<x<3，由交集的計(jì)算方法可得，MNx|1<x<210已知集合Ax|1<x5，Bx|m5<x2m3，且AB，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案1,4解析解得1m4.故應(yīng)填1,411“a>1”是“函數(shù)f(x)axcos x在R上單調(diào)遞增”的_(空格處請?zhí)顚憽俺浞植槐匾獥l件”、“必要不充分條件”、“充要條件”或“既不充分也不必要條件”)答案充分不必要條件解析f(x)axcos x在R上單調(diào)遞增f(x)asin x0在R上恒成立a(sin x)max1，所以“a>1”是“函數(shù)f(x)axcos x在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件12給出下列四個(gè)命題：命題“若，則cos cos ”的逆否命題；“x0R，使得xx0>0”的否定是：“xR，均有x2x<0”；命題“x24”是“x2”的充分不必要條件；p：aa，b，c，q：aa，b，c，p且q為真命題其中真命題的序號是_答案解析對，因命題“若，則cos cos ”為真命題，所以其逆否命題亦為真命題，正確；對，命題“x0R，使得xx0>0”的否定應(yīng)是：“xR，均有x2x0”，故錯(cuò)；對，因?yàn)橛伞皒24”得x2，所以“x24”是“x2”的必要不充分條件，故錯(cuò)；對，p，q均為真命題，由真值表判定p且q為真命題，故正確B組能力提高13下列說法中，不正確的是()A已知a，b，mR，命題“若am2<bm2，則a<b”為真命題B命題“x0R，xx02>0”的否定是：“xR，x2x20”C命題“p或q”為真命題，則命題p和命題q均為真命題D“x>3”是“x>2”的充分不必要條件答案C解析A正確，因?yàn)榇藭r(shí)m2>0；B正確，特稱命題的否定就是全稱命題；C不正確，因?yàn)槊}“p或q”為真命題，那么p，q有一個(gè)真，p或q就是真命題；D項(xiàng)，小集合是大集合的充分不必要條件故選C.14已知p：x0R，mx20，q：xR，x22mx1>0，若pq為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A1，) B(，1C(，2 D1,1答案A解析pq為假命題，p和q都是假命題由p：x0R，mx20為假命題，得綈p：xR，mx22>0為真命題，m0.由q：xR，x22mx1>0為假命題，得綈q：x0R，x2mx010為真命題，(2m)240m21m1或m1.由和得m1.故選A.15下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()A命題“若x1，則x23x20”的逆否命題是“若x23x20，則x1”B“x>2”是“x23x2>0”的充分不必要條件C若“命題p：xR，x2x10”，則“綈p：x0R，xx010”D若“pq”為真命題，則p，q均為真命題答案D解析對于若“pq”為真命題，則p、q中至少有一個(gè)為真命題，D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選D.16已知集合M，若3M,5M，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(9,25解析集合M，得(ax5)(x2a)<0，當(dāng)a0時(shí)，顯然不成立，當(dāng)a>0時(shí)，原不等式可化為(x)<0，若<，只需滿足解得1a<；若>，只需滿足解得9<a25，當(dāng)a<0時(shí)，不符合條件，綜上，答案為(9,2517已知集合M為點(diǎn)集，記性質(zhì)P為“對(x，y)M，k(0,1)，均有(kx，ky)M”給出下列集合：(x，y)|x2y，(x，y)|2x2y2<1，(x，y)|x2y2x2y0，(x，y)|x3y3x2y0，其中具有性質(zhì)P的點(diǎn)集序號是_答案解析對于：取k，點(diǎn)(1,1)(x，y)|x2y，但(，)(x，y)|x2y，故是不具有性質(zhì)P的點(diǎn)集對于：(x，y)(x，y)|2x2y2<1，則點(diǎn)(x，y)在橢圓2x2y21內(nèi)部，所以對0<k<1，點(diǎn)(kx，ky)也在橢圓2x2y21的內(nèi)部，即(kx，ky)(x，y)|2x2y2<1，故是具有性質(zhì)P的點(diǎn)集對于：(x)2(y1)2，點(diǎn)(，)在此圓上，但點(diǎn)(，)不在此圓上，故是不具有性質(zhì)P的點(diǎn)集對于：(x，y)(x，y)|x3y3x2y0，對于k(0,1)，因?yàn)?kx)3(ky)3(kx)2(ky)0x3y3x2y0，所以(kx，ky)(x，y)|x3y3x2y0，故是具有性質(zhì)P的點(diǎn)集綜上，具有性質(zhì)P的點(diǎn)集是.