專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用適考素能特訓(xùn) 理一、選擇題12016山東萊蕪模擬已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為()A.，0 B2,0C. D0答案D解析當(dāng)x1時(shí)，由f(x)2x10，解得x0；當(dāng)x>1時(shí)，由f(x)1log2x0，解得x，又因?yàn)閤>1，所以此時(shí)方程無(wú)解綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0.22016北京昌平三模已知函數(shù)f(x)ln x，則函數(shù)g(x)f(x)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，所以g(x)f(x)f(x)ln x.因?yàn)間(1)ln 111<0，g(2)ln 2>0，所以函數(shù)g(x)f(x)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)，故選B.32016鄭州質(zhì)檢已知函數(shù)f(x)xcosx，則f(x)在0,2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4答案C解析作出g(x)x與h(x)cosx的圖象，可以看到其在0,2上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在0,2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故選C.4已知函數(shù)yf(x)的周期為2，當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)x2，那么函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)y|lg x|的圖象的交點(diǎn)共有()A10個(gè) B9個(gè) C8個(gè) D1個(gè)答案A解析在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出yf(x)和y|lg x|的圖象，如圖又lg 101，由圖象知選A.52015北京高考汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況下列敘述中正確的是()A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)相同條件下， 在該市用丙車比用乙車更省油答案D解析對(duì)于A選項(xiàng)，從圖中可以看出當(dāng)乙車的行駛速度大于40 km/h時(shí)的燃油效率大于5 km/L，故乙車消耗1升汽油的行駛路程可大于5千米，所以A錯(cuò)誤對(duì)于B選項(xiàng)，由圖可知甲車消耗汽油最少對(duì)于C選項(xiàng)，甲車以80 km/h的速度行駛時(shí)的燃油效率為10 km/L，故行駛1小時(shí)的路程為80千米，消耗8 L汽油，所以C錯(cuò)誤對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)最高限速為80 km/h且速度相同時(shí)丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，故用丙車比用乙車更省油，所以D正確62015鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)(一)設(shè)函數(shù)f(x)ex2x4，g(x)ln x2x25，若實(shí)數(shù)a，b分別是f(x)，g(x)的零點(diǎn)，則()Ag(a)<0<f(b) Bf(b)<0<g(a)C0<g(a)<f(b) Df(b)<g(a)<0答案A解析依題意，f(0)3<0，f(1)e2>0，且函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因此函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，即0<a<1.g(1)3<0，g(2)ln 23>0，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，即1<b<2，于是有f(b)>f(1)>0.又函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)，因此有g(shù)(a)<g(1)<0，g(a)<0<f(b)，選A.72016湖北宜昌模擬某種新藥服用x小時(shí)后血液中的殘留量為y毫克，如圖所示為函數(shù)yf(x)的圖象，當(dāng)血液中藥物殘留量不小于240毫克時(shí)，治療有效設(shè)某人上午8：00第一次服藥，為保證療效，則第二次服藥最遲的時(shí)間應(yīng)為()A上午10：00 B中午12：00C下午4：00 D下午6：00答案C解析當(dāng)x0,4時(shí)，設(shè)yk1x，把(4,320)代入，得k180，y80x.當(dāng)x4,20時(shí)，設(shè)yk2xb.把(4,320)，(20,0)代入得解得y40020x.yf(x)由y240，得或解得3x4或4<x8，3x8.故第二次服藥最遲應(yīng)在當(dāng)日下午4：00，故選C.二、填空題82016云南昆明模擬已知函數(shù)f(x)axxb的零點(diǎn)x0(n，n1)(nZ)，其中常數(shù)a，b滿足2a3,3b2，則n_.答案1解析alog23>1,0<blog32<1，令f(x)0，得axxb.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)yax和yxb的圖象，如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)的圖象在區(qū)間(1,0)內(nèi)有交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,0)內(nèi)有零點(diǎn)，所以n1.92016河北唐山模擬已知f(x)且函數(shù)yf(x)ax恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解析當(dāng)x<0時(shí)，f(x)(x1)2，把函數(shù)f(x)在1,0)上的圖象向右平移一個(gè)單位，即得函數(shù)yf(x)在0,1)上的圖象，繼續(xù)右移可得函數(shù)f(x)在0，)上的圖象如果函數(shù)yf(x)ax恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即函數(shù)yf(x)，yax的圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足a<，即a>或<a<，即<a<.102015四川高考已知函數(shù)f(x)2x，g(x)x2ax(其中aR)對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，設(shè)m，n.現(xiàn)有如下命題：對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有m>0；對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有n>0；對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得mn；對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得mn.其中的真命題有_(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))答案解析因?yàn)閒(x)2x在R上是單調(diào)遞增的，所以對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，m>0恒成立，正確；因?yàn)間(x)x2ax，所以nx1x2a，正負(fù)不定，錯(cuò)誤；由mn，整理得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令函數(shù)p(x)f(x)g(x)2xx2ax，則p(x)2xln 22xa，令t(x)p(x)，則t(x)2x(ln 2)22，又t(1)2(ln 2)22<0，t(3)8(ln 2)22>0，從而存在x0(1,3)，使得t(x0)2x0(ln 2)220，于是p(x)有極小值p(x0)2x0ln 22x0a2log2a，所以存在a2log2，使得p(x0)>0，此時(shí)p(x)在R上單調(diào)遞增，故不存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，不滿足題意，錯(cuò)誤；由mn，得f(x)g(x)，即a2xln 22x.設(shè)h(x)2xln 22x，則h(x)2x(ln 2)22>0，所以h(x)在R上是單調(diào)遞增的，且當(dāng)x時(shí)，h(x)；當(dāng)x時(shí)，h(x)，所以對(duì)于任意的a，ya與yh(x)的圖象一定有交點(diǎn)，正確三、解答題112016湖南瀏陽(yáng)一中段考已知二次函數(shù)f(x)的最小值為4，且關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為x|1x3，xR(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)4ln x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解(1)f(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為x|1x3，xR，設(shè)f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a>0.a>0，f(x)a(x1)244，又f(1)4a，f(x)min4a4，a1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x22x3.(2)g(x)4lnxx4ln x2(x>0)，g(x)1.x，g(x)，g(x)的取值變化情況如下：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當(dāng)0<x3時(shí)，g(x)g(1)4<0，g(x)在(3，)上單調(diào)遞增，g(3)4ln 3<0，取xe5>3，g(e5)e5202>251229>0.故函數(shù)g(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)x0(3，e5)122016山東菏澤期中已知一家公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬(wàn)元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬(wàn)元，且R(x)(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大？(注：年利潤(rùn)年銷售收入年總成本)解(1)當(dāng)0<x10時(shí)，WxR(x)(102.7x)8.1x10；當(dāng)x>10時(shí)，WxR(x)(102.7x)982.7x.W(2)當(dāng)0<x10時(shí)，令W8.10，得x9，可知當(dāng)x(0,9)時(shí)，W>0，當(dāng)x(9,10時(shí)，W<0，當(dāng)x9時(shí)，W取極大值，即最大值，且Wmax8.19931038.6.當(dāng)x>10時(shí)，W9898238，當(dāng)且僅當(dāng)2.7x，即x時(shí)，W38，故當(dāng)x時(shí)，W取最大值38(當(dāng)1000x取整數(shù)時(shí)，W一定小于38)綜合知，當(dāng)x9時(shí)，W取最大值，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大