第2講四種策略搞定填空題題型分析高考展望填空題的基本特點是：(1)題目小巧靈活，結(jié)構(gòu)簡單；(2)答案簡短明確，不反映過程，只要結(jié)果；(3)填空題根據(jù)填寫內(nèi)容，可分為定量型(填寫數(shù)值，數(shù)集或數(shù)量關(guān)系)和定性型(填寫某種性質(zhì)或是有某種性質(zhì)的對象)根據(jù)填空題的特點，在解答時要做到四個字“快”“穩(wěn)”“全”“細”快運算要快，力戒小題大做；穩(wěn)變形要穩(wěn)，不可操之過急；全答案要全，力避殘缺不齊；細審題要細，不能粗心大意高考必會題型方法一直接法根據(jù)題目中給出的條件，通過數(shù)學計算找出正確答案解決此類問題需要直接從題設條件出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論等，通過巧妙變化，簡化計算過程解題過程要靈活地運用相關(guān)的運算規(guī)律和技巧，合理轉(zhuǎn)化、巧妙處理已知條件例1在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且，則角B的值為_答案解析方法一由正弦定理，即2R，得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入，得，即2sin Acos Bsin Ccos Bcos Csin B0，所以2sin Acos Bsin(BC)0.在ABC中，sin(BC)sin A，所以2sin Acos Bsin A0，又sin A0，所以cos B.又角B為ABC的內(nèi)角，所以B.方法二由余弦定理，即cos B，cos C，代入，得，整理，得a2c2b2ac，所以cos B，又角B為ABC的內(nèi)角，所以B.點評直接法是解決計算型填空題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化從而得到結(jié)果，這是快速準確地求解填空題的關(guān)鍵變式訓練1已知數(shù)列an滿足a11，an1an2n，則S2 016_.答案321 0083解析由題意得anan12n，an2an12n12，因此a1，a3，a5，構(gòu)成一個以1為首項，2為公比的等比數(shù)列；a2，a4，a6，構(gòu)成一個以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；從而S2 016(a1a3a2 015)(a2a4a2 016)23(21 0081)方法二特例法當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當特殊值(特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等)進行處理，從而得出探求的結(jié)論為保證答案的正確性，在利用此方法時，一般應多取幾個特例例2(1)若函數(shù)f(x)sin 2xacos 2x的圖象關(guān)于直線x對稱，則a_.(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是_答案(1)1(2)解析(1)由題意，對任意的xR，有f(x)f(x)，令x，得f(0)f()，得a1.(2)方法一ABC為等邊三角形時滿足條件，則SABC.方法二c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.點評求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解變式訓練2(1)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函數(shù)，則a_.(2)如圖，在ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若m，n，則mn的值為_答案(1)(2)2解析(1)由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為R，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以f()f()0，即ln(e11)ln(e1)0，ln e1a0，解得a，將a代入原函數(shù)，檢驗知f(x)是偶函數(shù)，故a.(2)用特殊值法，可設ABACBM1，因為m，所以m，過點C引AM的平行線，并延長MN，兩線相交于點E，則AEBC2OC，易得ANAC，因為n，所以n，可知mn2.方法三數(shù)形結(jié)合法對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率或截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準確、規(guī)范地作出相應的圖形例3(1)已知點P(x，y)的坐標x，y滿足則x2y26x9的取值范圍是_(2)已知函數(shù)f(x)x|x2|，則不等式f(x)f(1)的解集為_答案(1)2,16(2)1，)解析(1)畫出可行域如圖，所求的x2y26x9(x3)2y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線xy10(x0)的距離d的平方，d2()22.最大值為點Q到點A的距離的平方，d16.取值范圍是2,16(2)函數(shù)yf(x)的圖象如圖，由不等式f(x)f(1)知，x1，從而得到不等式f(x)f(1)的解集為1，)點評數(shù)形結(jié)合在解答填空題中的應用，就是利用圖形的直觀性并結(jié)合所學知識便可直接得到相應的結(jié)論，這也是高考命題的熱點準確運用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對應關(guān)系，利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果變式訓練3已知函數(shù)f(x)且關(guān)于x的方程f(x)xa0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(1，)解析方程f(x)xa0的實根也就是函數(shù)yf(x)與yax的圖象交點的橫坐標，如圖所示，作出兩個函數(shù)的圖象，顯然當a1時，兩個函數(shù)圖象有兩個交點，當a>1時，兩個函數(shù)圖象的交點只有一個所以實數(shù)a的取值范圍是(1，)方法四構(gòu)造法構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維，是綜合運用各種知識和方法，依據(jù)問題給出的條件和結(jié)論給出的信息，把問題作適當?shù)募庸ぬ幚?，?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學模型，揭示問題的本質(zhì)，從而溝通解題思路的方法例4(1)若aln ，bln ，cln ，則a，b，c的大小關(guān)系為_(2)如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E、F分別是邊AB、BC的中點，AED、EBF、FCD分別沿著DE、EF、FD折起，使A、B、C三點重合于點A，若四面體AEFD的四個頂點在同一個球面上，則該球的半徑為_答案(1)a<b<c(2)解析(1)令f(x)ln xx(0<x<1)，則f(x)1，0<x<1，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)又<<，a<b<c.(2)由題意知DF，AEAF1，AD2，以AE、AF、AD為棱，建立一個長方體，則體對角線長為2R(R為球的半徑)，R.點評構(gòu)造法實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題本題巧妙地構(gòu)造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對角線，問題很容易得到解決變式訓練4(1)若x，y，aR，且滿足方程x3sin x2a0和4y3sin ycos ya0，則cos(x2y)_.(2)如圖，已知球O的面上有四點A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，則球O的體積等于_答案(1)1(2)解析(1)對第二個等式進行變形可得：(2y)3sin 2y2a0，對照兩等式和所求的結(jié)論思考，可以找到x和2y的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)f(x)x3sin x，則兩個條件分別變?yōu)閒(x)2a和f(2y)2a，即f(x)f(2y)，因為函數(shù)f(x)x3sin x是奇函數(shù)，所以有f(x)f(2y)，又因為當x，y，時，f(x)是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以有x2y，即x2y0，因此cos(x2y)1.(2)如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以CD2R，所以R，故球O的體積V.高考題型精練1設ln 3a，ln 7b，則eaeb_(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))答案10解析ea3，eb7，eaeb10.2.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP3，則_.答案18解析把平行四邊形ABCD看成正方形，則P點為對角線的交點，AC6，則18.3已知(0，)，且sin()，則tan 2_.答案解析由sin()得，(sin cos )，sin cos ，解方程組得或因為(0，)，所以sin >0，所以不合題意，舍去，所以tan ，所以tan 2.4一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個面上分別刻著1點至6點，甲、乙二人各擲骰子一次，則甲擲得的向上的點數(shù)比乙大的概率為_答案解析一共有36種情況，其中甲擲得的向上的點數(shù)比乙大的有：(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(3,1)、(3,2)、(2,1)，共15種，所以所求概率為.5已知兩個單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b，若bc0，則t_.答案2解析方法一如圖所示，在OAB中，|1，AOB60，延長BA到C使BOC90，則A為BC的中點，c2ab，則t2.方法二由已知bc0，即tab(1t)b20，t(1t)0，因此t2.6在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則_.答案解析令a3，b4，c5，則ABC為直角三角形，且cos A，cos C0，代入所求式子，得.7直線ykx3與圓(x2)2(y3)24相交于M、N兩點，若|MN|2，則k的取值范圍是_答案解析由題意，得圓心到直線的距離d，若|MN|2，則4d2()2，解得k.8設函數(shù)f(x)若f(f(a)2，則實數(shù)a的取值范圍是_答案，解析f(x)的圖象如圖，由圖象知，滿足f(f(a)2時，得f(a)2，而滿足f(a)2時，得a.9已知平行四邊形ABCD，點P為四邊形內(nèi)部或者邊界上任意一點，向量xy，則0x，0y的概率是_答案解析由平面向量基本定理及點P為ABCD內(nèi)部或邊界上任意一點，可知0x1且0y1，又滿足條件的x，y滿足0x，0y，所以P(A).10某程序框圖如圖所示，若a3，則該程序運行后，輸出的x值為_答案31解析第一次循環(huán)，x2317，n2；第二次循環(huán)，x27115，n3；第三次循環(huán)，x215131，n4，程序結(jié)束，故輸出x31.11.，(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的大小關(guān)系是_答案<<解析由于，故可構(gòu)造函數(shù)f(x)，于是f(4)，f(5)，f(6).而f(x)()，令f(x)>0得x<0或x>2，即函數(shù)f(x)在(2，)上單調(diào)遞增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即<<.12設變量x，y滿足約束條件則的最小值是_答案1解析作出變量x，y滿足的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，表示的幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的一點與點P(1,0)連線的斜率，結(jié)合圖形可知，PA的斜率最小，所以的最小值為1.13已知橢圓1的左焦點F，直線xm與橢圓相交于點A，B，當FAB的周長最大時，F(xiàn)AB的面積是_答案3解析不妨設A(2cos ，sin )，(0，)，F(xiàn)AB的周長為2(|AF|sin )2(2cos sin )44sin()當，即A(1，)時，F(xiàn)AB的周長最大所以FAB的面積為S233.14三棱錐PABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐DABE的體積為V1，PABC的體積為V2，則_.答案解析如圖，設SABDS1，SPABS2，E到平面ABD的距離為h1，C到平面PAB的距離為h2，則S22S1，h22h1，V1S1h1，V2S2h2，所以.15已知函數(shù)f(x)2xa，g(x)xex，若對任意x10,1，存在x21,1，使f(x1)g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍為_答案2e，解析f(x)2xa為增函數(shù)，x10,1，f(x1)的范圍是a,2a，易知g(x)也為增函數(shù)，當x21,1時，g(x2)的范圍是，e，由題意得2ea.16若數(shù)列an，bn的通項公式分別是an(1)n2 016a，bn2，且an<bn，對任意nN*恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案2，)解析由題意，當n為偶數(shù)時，a<2恒成立，可得a<；當n為奇數(shù)時，a<2恒成立，可得a2，故2a.17已知數(shù)列an中，a11，anna2n，a2n1an1，則a1a2a3a99_.答案1 275解析anna2n，ana2n11，a2n1a2nn1，a1a2a3a99a1(a2a3)(a4a5)(a98a99)123501 275.18設M，N分別是曲線f(x)x3x2(x<)與g(x)aln x(x)上一點，MON是以O為直角頂點的直角三角形(其中O為坐標原點)，且斜邊的中點恰好在y軸上，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(0，解析MON是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點恰好在y軸上，M，N兩點的橫坐標互為相反數(shù)，設M(t，t3t2)，N(t，aln t)(t)，由題意知0，有t2(t2t3)aln t0，整理得(t1)ln t(t)，令h(x)(x1)ln x(x)，則h(x)ln x10，h(x)在，)上是增函數(shù)，h(t)h()，解得0a.