專題七 概率與統(tǒng)計 第三講 概率、隨機變量及分布列適考素能特訓 理一、選擇題12016合肥質檢某企業(yè)的4名職工參加職業(yè)技能考核，每名職工均可從4個備選考核項目中任意抽取一個參加考核，則恰有一個項目未被抽中的概率為()A. B.C. D.答案A解析由題意得，所有的基本事件總數為44256，若恰有一個項目未被抽中，則說明4名職工總共抽取了3個項目，符合題意的基本事件數為CCCA144，故所求概率P，故選A.22016武昌調研 在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(1,1)的密度曲線)的點的個數的估計值為()A1193 B1359C2718 D3413附：若XN(，2)，則P(<X)0.6826，P(2<X2)0.9544答案B解析由題意知1，1，因為P(0<x1)P(12<X12)P(11<X11)(0.95440.6826)0.1359，所以落入陰影部分的個數為0.1359100001359，故選B.32016貴陽質檢在4,4上隨機取一個實數m，能使函數f(x)x3mx23x在R上單調遞增的概率為()A. B.C. D.答案D解析由題意，得f(x)3x22mx3，要使函數f(x)在R上單調遞增，則3x22mx30在R上恒成立，即4m2360，解得3m3，所以所求概率為，故選D.42016湖北二聯先后擲一枚質地均勻的骰子(骰子的六個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點)兩次，落在水平桌面后，記正面朝上的點數分別為x，y，設事件A為“xy為偶數”，事件B為“x，y中有偶數且xy”，則概率P(B|A)等于()A. B.C. D.答案A解析本題考查條件概率由題意可得P(A)，P(AB)，則P(B|A)，故選A.52016石家莊質檢小明準備參加電工資格證考試，先后進行理論考試和操作考試兩個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)各有2次考試機會在理論考試環(huán)節(jié)，若第1次考試通過，則直接進入操作考試；若第1次未通過，則進行第2次考試，第2次通過后進入操作考試環(huán)節(jié)，第2次未通過則直接被淘汰在操作考試環(huán)節(jié)，若第1次考試通過，則直接獲得證書；若第1次未通過，則進行第2次考試，第2次通過后獲得證書，第2次未通過則被淘汰若小明每次理論考試通過的概率為，每次操作考試通過的概率為，并且每次考試相互獨立，則小明本次電工考試中，共參加3次考試的概率是()A. B.C. D.答案B解析本題考查概率的計算由題意得參加3次考試包括第一次理論考試通過且第一次操作考試不通過和第一次理論考試不通過且第二次理論考試通過且第一次操作考試通過兩種情況，所以所求概率為，故選B.二、填空題62014浙江高考隨機變量的取值為0,1,2.若P(0)，E()1，則D()_.答案解析設P(1)p，則P(2)p，從而由E()01p21，得p.故D()(01)2(11)2(21)2.72015貴州七校聯考在我校2015屆高三11月月考中理科數學成績N(90，2)(>0)，統(tǒng)計結果顯示P(60120)0.8，假設我校參加此次考試有780人，那么試估計此次考試中，我校成績高于120分的有_人答案78解析因為成績N(90，2)，所以其正態(tài)曲線關于直線x90對稱又P(60120)0.8，由對稱性知成績在120分以上的人數約為總人數的(10.8)0.1，所以估計成績高于120分的有0.178078人82016河南信陽一模 如圖所示，A，B兩點由5條連線并聯，它們在單位時間內能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現記從中任取三條線且在單位時間內都通過的最大信息總量為，則P(8)_.答案解析解法一(直接法)：由已知得，的可能取值為7,8,9,10，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，的概率分布列為：78910PP(8)P(8)P(9)P(10).解法二(間接法)：由已知得，的可能取值為7,8,9,10，故P(8)與P(7)是對立事件，所以P(8)1P(7)1.三、解答題92016云南統(tǒng)檢某市教育與環(huán)保部門聯合組織該市中學參加市中學生環(huán)保知識團體競賽，根據比賽規(guī)則，某中學選拔出8名同學組成參賽隊，其中初中學部選出的3名同學有2名女生；高中學部選出的5名同學有3名女生，競賽組委會將從這8名同學中隨機選出4人參加比賽(1)設“選出的4人中恰有2名女生，而且這2名女生來自同一個學部”為事件A，求事件A的概率P(A)；(2)設X為選出的4人中女生的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望解(1)由已知，得P(A).所以事件A的概率為.(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.由已知得P(Xk)(k1,2,3,4)P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以隨機變量X的分布列為：X1234P隨機變量X的數學期望E(X)1234.102016鄭州質檢某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘由于下雨會影響藥材品質，基地收益如下表所示：周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元7.5萬元若基地額外聘請工人，可在周一當天完成全部采摘任務無雨時收益為20萬元；有雨時收益為10萬元額外聘請工人的成本為a萬元已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36.(1)若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預期收益；(2)該基地是否應該外聘工人，請說明理由解(1)設下周一無雨的概率為p，由題意，p20.36，p0.6，基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5，則P(X20)0.36，P(X15)0.24，P(X10)0.24，P(X7.5)0.16，所以基地收益X的分布列為：X2015107.5P0.360.240.240.16基地的預期收益E(X)200.36150.24100.247.50.1614.4，所以，基地的預期收益為14.4萬元(2)設基地額外聘請工人時的收益為Y萬元，收益P可能取值為20a,10a，P(Y20a)0.6，P(Y10a)0.4，則其預期收益E(Y)200.6100.4a16a(萬元)，E(Y)E(X)1.6a，綜上，當額外聘請工人的成本高于1.6萬元時，不外聘工人；成本低于1.6萬元時，外聘工人；成本恰為1.6萬元時，是否外聘工人均可以112015安徽安慶六校聯考前不久，省社科院發(fā)布了2014年度“安徽城市居民幸福排行榜”，蕪湖市成為本年度安徽最“幸福城市”隨后，師大附中學生會組織部分同學，用“10分制”隨機調查“陽光”社區(qū)人們的幸福度現從調查人群中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉)：(1)指出這組數據的眾數和中位數；(2)若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”，求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕剩?3)以這16人的樣本數據來估計整個社區(qū)的總體數據，若從該社區(qū)(人數很多)任選3人，記表示抽到“極幸?！钡娜藬?，求的分布列及數學期望解(1)眾數：8.6；中位數：8.75.(2)設Ai表示所取3人中有i個人是“極幸?！?，至多有1人是“極幸?！庇洖槭录嗀，則P(A)P(A0)P(A1).(3)的可能取值為0,1,2,3.P(0)3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)3.則的分布列為：0123PB所以E()30.75.122016沈陽質檢某中學根據20022014年期間學生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“攝影”“棋類”“國學”三個社團，據資料統(tǒng)計新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立.2015年某新生入學，假設他通過考核選拔進入該校的“攝影”“棋類”“國學”三個社團的概率依次為m、n，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且m>n.(1)求m與n的值；(2)該校根據三個社團活動安排情況，對進入“攝影”社的同學增加校本選修學分1分，對進入“棋類”社的同學增加校本選修學分2分，對進入“國學”社的同學增加校本選修學分3分求該新同學在社團方面獲得校本選修課學分分數的分布列及期望解(1)依題，解得(2)令該新同學在社團方面獲得校本選修課學分的分數為隨機變量X，則X的值可以為0,1,2,3,4,5,6.而P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5)；P(X6).X的分布列為：X0123456P于是，E(X)0123456.典題例證2016全國卷某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n19與n20之中選其一，應選用哪個？審題過程由柱狀圖得頻率，分別求出隨機變量每個取值所對應的概率，進而可得分布列由(1)可求出n的最小值；分別求出n19，n20的期望值，再比較選取哪一個較好.(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，1臺機器在三年內需更換的易損零件數為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2，從而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)當n19時，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044040.當n20時，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044080.可知當n19時所需費用的期望值小于當n20時所需費用的期望值，故應選n19.模型歸納求離散型隨機變量的分布列與均值的模型示意圖如下：