專題二 函數(shù)與導數(shù) 第四講 導數(shù)的綜合應用適考素能特訓 理一、選擇題12015陜西高考設f(x)xsinx，則f(x)()A既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C是有零點的減函數(shù)D是沒有零點的奇函數(shù)答案B解析f(x)xsin(x)(xsinx)f(x)，f(x)為奇函數(shù)又f(x)1cosx0，f(x)單調遞增，選B.22016河南洛陽質檢對于R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足0，則必有()Af(0)f(2)>2f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)<2f(1) Df(0)f(2)2f(1)答案A解析當x<1時，f(x)<0，此時函數(shù)f(x)遞減；當x>1時，f(x)>0，此時函數(shù)f(x)遞增，即當x1時，函數(shù)f(x)取得極小值同時也取得最小值f(1)，所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，則f(0)f(2)>2f(1)，故選A.32016河北石家莊模擬若不等式2xln xx2ax3對x(0，)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)答案B解析2xln xx2ax3，則a2ln xx.設h(x)2ln xx(x>0)，則h(x).當x(0,1)時，h(x)<0，函數(shù)h(x)單調遞減；當x(1，)時，h(x)>0，函數(shù)h(x)單調遞增，所以h(x)minh(1)4，所以ah(x)min4，故a的取值范圍是(，442016河北衡水中學調研已知函數(shù)f(x)的兩個極值點分別為x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，點P(m，n)表示的平面區(qū)域為D，若函數(shù)yloga(x4)(a>1)的圖象上存在區(qū)域D內的點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)答案A解析f(x)x2mx0的兩根為x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，則即作出區(qū)域D，如圖陰影部分，可得loga(14)>1，所以1<a<3.52016江西八校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)x(ln xax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)答案B解析f(x)x(ln xax)，f(x)ln x2ax1，故f(x)在(0，)上有兩個不同的零點，令f(x)0，則2a，設g(x)，則g(x)，g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減，又當x0時，g(x)，當x時，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需0<2a<10<a<.62015河北秦皇島二模已知函數(shù)yf(x)是R上的可導函數(shù)，當x0時，有f(x)>0，則函數(shù)F(x)xf(x)的零點個數(shù)是()A0 B1C2 D3答案B解析x0時，f(x)>0，>0，即>0.當x>0時，由式知(xf(x)>0，U(x)xf(x)在(0，)上為增函數(shù)，且U(0)0f(0)0，U(x)xf(x)>0在(0，)上恒成立又>0，F(xiàn)(x)>0在(0，)上恒成立，F(xiàn)(x)在(0，)上無零點當x<0時，(xf(x)<0，U(x)xf(x)在(，0)上為減函數(shù)，且U(0)0f(0)0，U(x)xf(x)>0在(，0)上恒成立，F(xiàn)(x)xf(x)在(，0)上為減函數(shù)當x0時，xf(x)0，F(xiàn)(x)<0，當x時，0，F(xiàn)(x)xf(x)>0，F(xiàn)(x)在(，0)上有唯一零點綜上所述，F(xiàn)(x)在(，0)(0，)上有唯一零點，故選B.二、填空題72015山西四校聯(lián)考函數(shù)f(x)若方程f(x)mx恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是_答案解析在平面直角坐標系中作出函數(shù)yf(x)的圖象，如圖，而函數(shù)ymx恒過定點，設過點與函數(shù)yln x的圖象相切的直線為l1，切點坐標為(x0，ln x0)因為yln x的導函數(shù)y，所以圖中yln x的切線l1的斜率為k，則，解得x0，所以k.又圖中l(wèi)2的斜率為，故當方程f(x)mx恰有四個不相等的實數(shù)根時，實數(shù)m的取值范圍是.82015河南鄭州質檢三設函數(shù)f(x)是定義在(，0)上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f(x)，且有2f(x)xf(x)>x2，則不等式(x2014)2f(x2014)4f(2)>0的解集為_答案(，2016)解析由2f(x)xf(x)>x2，x<0得2xf(x)x2f(x)<x3，x2f(x)<x3<0.令F(x)x2f(x)(x<0)，則F(x)<0(x<0)，即F(x)在(，0)上是減函數(shù)，因為F(x2014)(x2014)2f(x2014)，F(xiàn)(2)4f(2)，所以不等式(x2014)2f(x2014)4f(2)>0即為F(x2014)F(2)>0，即F(x2014)>F(2)，又因為F(x)在(，0)上是減函數(shù)，所以x2014<2，x<2016.9已知偶函數(shù)yf(x)對于任意的x滿足f(x)cosxf(x)sinx>0(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，則下列不等式中成立的有_(1)f<f(2)f>f(3)f(0)<f(4)f<f答案(2)(3)(4)解析因為偶函數(shù)yf(x)對于任意的x滿足f(x)cosxf(x)sinx>0，且f(x)cosxf(x)sinxf(x)cosxf(x)(cosx)，所以可構造函數(shù)g(x)，則g(x)>0，所以g(x)為偶函數(shù)且在上單調遞增，所以有gg2f，ggf，gf.由函數(shù)單調性可知g<g<g，即f<f<2f，所以(2)(4)正確，(1)錯對于(3)，ggf>g(0)f(0)，所以(3)正確三、解答題102016珠海模擬某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的產值函數(shù)為R(x)3700x45x210x3(單位：萬元)，成本函數(shù)為C(x)460x5000(單位：萬元)，又在經濟學中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；(提示：利潤產值成本)(2)問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？(3)求邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調遞減區(qū)間，并說明單調遞減在本題中的實際意義是什么？解(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23240x5000(xN*，且1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30x260x3275(xN*，且1x19)(2)P(x)30x290x324030(x12)(x9)，因為x>0，所以P(x)0時，x12，當0<x<12時，P(x)>0，當x>12時，P(x)<0，所以x12時，P(x)有極大值，也是最大值即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大(3)MP(x)30x260x327530(x1)23305.所以，當x1時，MP(x)單調遞減，所以單調減區(qū)間為1,19，且xN*.MP(x)是減函數(shù)的實際意義是：隨著產量的增加，每艘利潤與前一艘比較，利潤在減少11已知函數(shù)f(x)xaln x1.(1)當aR時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)若f(x)0對于任意x1，)恒成立，求a的取值范圍解(1)由f(x)xaln x1，得f(x)1，當a0時，f(x)>0，f(x)在(0，)上為增函數(shù)，當a<0時，當0<x<a時，f(x)<0，當x>a時，f(x)>0，所以f(x)在(0，a)上為減函數(shù)，f(x)在(a，)上為增函數(shù)(2)由題意知xaln x10在x1，)恒成立，設g(x)xaln x1，x1，)，則g(x)1，x1，)，設h(x)2x22ax1ln x，則h(x)4x2a，當a0時，4x為增函數(shù)，所以h(x)a>0，所以g(x)在1，)上單調遞增，g(x)g(1)0，當a<0時，h(x)a0，所以g(x)在1，)上單調遞增，g(x)g(1)0，當a<時，當x時，2a1<2x，由(1)知，當a1時，xln x10，ln xx1，ln x1，h(x)2x22axln x12x22ax2x22axx2x2(2a1)x<0，此時g(x)<0，所以g(x)在上單調遞減，在上，g(x)<g(1)0，不符合題意綜上所述a.122016濟寧模擬已知函數(shù)f(x)exaxa(其中aR，e是自然對數(shù)的底數(shù)，e2.71828)(1)當ae時，求函數(shù)f(x)的極值；(2)當0a1時，求證f(x)0；(3)求證：對任意正整數(shù)n，都有<e.解(1)當ae時，f(x)exexe，f(x)exe，當x<1時，f(x)<0；當x>1時，f(x)>0.所以函數(shù)f(x)在(，1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增，所以函數(shù)f(x)在x1處取得極小值f(1)e，函數(shù)f(x)無極大值(2)證明：由f(x)exaxa，得f(x)exa，當a0時，f(x)ex>0恒成立，滿足條件當0<a1時，由f(x)0，得xln a，則當x(，ln a)時，f(x)<0；當x(ln a，)時，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(，ln a)上單調遞減，在(ln a，)上單調遞增，所以函數(shù)f(x)在xln a處取得極小值即為最小值f(x)minf(ln a)eln aaln aaaln a因為0<a1，所以ln a0，所以aln a0所以f(x)min0，所以當0a1時，f(x)0；(3)證明：由(2)知，當a1時，f(x)0恒成立，所以f(x)exx10恒成立，即exx1，所以ln (x1)x，令x(nN*)，得ln ，所以ln ln ln 1n<1.所以<e.典題例證2016全國卷(1)討論函數(shù)f(x)ex的單調性，并證明當x>0時，(x2)exx2>0；(2)證明：當a0,1)時，函數(shù)g(x)(x>0)有最小值設g(x)的最小值為h(a)，求函數(shù)h(a)的值域.審題過程先求f(x)，再確定f(x)的單調性，從而證明不等式求出函數(shù)g(x)的最小值h(a)，再結合導數(shù)求h(a)的值域.(1)f(x)的定義域為(，2)(2，)f(x)0，且僅當x0時，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上單調遞增因此當x(0，)時，f(x)>f(0)1.所以(x2)ex>(x2)，(x2)exx2>0.(2)證明：g(x)(f(x)a)由(1)知，f(x)a單調遞增對任意的a0,1)，f(0)aa1<0，f(2)aa0.因此，存在唯一xa(0,2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.當0<x<xa時，f(x)a<0，g(x)<0，g(x)單調遞減；當x>xa時，f(x)a>0，g(x)>0，g(x)單調遞增因此g(x)在xxa處取得最小值，最小值為g(xa).于是h(a)，由>0，得單調遞增所以，由xa(0,2，得<h(a).因為單調遞增，對任意的，存在唯一的xa(0,2，af(xa)0,1)，使得h(a)，所以h(a)的值域是.綜上，當a0,1)時，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.模型歸納利用導數(shù)證明不等式的模型示意圖如下：