專(zhuān)題09 等差數(shù)列與等比數(shù)列1已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a108，則a100等于()A100B99C98D97答案C解析由等差數(shù)列性質(zhì)，知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98，故選C.2設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，a3a10>0，a6a7<0，則滿(mǎn)足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為()A6B7C12D13答案C解析a1>0，a6a7<0，a6>0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3a10a1a12>0，a1a132a7<0，S12>0，S13<0，滿(mǎn)足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.3已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an滿(mǎn)足a42a3a80，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b2b12等于()A1B2C4D8答案C解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍42a3a80，所以a73d2a3(a7d)0，即a2a7，解得a70(舍去)或a72，所以b7a72.因?yàn)閿?shù)列bn是等比數(shù)列，所以b2b12b4.4已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an滿(mǎn)足a7a62a5，存在兩項(xiàng)am，an使得4a1，則的最小值為()A.B.C.D.答案A5定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱(chēng)f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為()ABCD答案C解析等比數(shù)列性質(zhì)，anan2a，f(an)f(an2)aa(a)2f2(an1)；f(an)f(an2)f2(an1)；f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f2(an1)故選C.6已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若a16，a3a50，則S6_.答案6解析a3a52a40，a40.又a16，a4a13d0，d2.S666(2)6.7已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a1a3，S510，則a9的值是_答案20解析設(shè)等差數(shù)列an公差為d，由題意可得：解得則a9a18d48320.8設(shè)等比數(shù)列an滿(mǎn)足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_(kāi)答案64解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，解得a1a2an(3)(2)(n4)nN*，當(dāng)n3或4時(shí)，取到最小值6，此時(shí)取到最大值2664，a1a2an的最大值為64.9若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則lna1lna2lna20_.答案50解析數(shù)列an為等比數(shù)列，且a10a11a9a122e5，a10a11a9a122a10a112e5，a10a11e5，lna1lna2lna20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10lne5050.10已知數(shù)列an，bn滿(mǎn)足a1，anbn1，bn1 (nN*)，則b2015_.答案解析anbn1，且bn1，bn1，a1，且a1b11，b1，bn1，1.又b1，2.數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，n1，bn.則b2015.易錯(cuò)起源1、等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算例1、(1)已知數(shù)列an中，a3，a7，且是等差數(shù)列，則a5等于()A.B.C.D.(2)已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1a79，a42，則S8等于()A15(1) B15C15D15(1)或15(1)答案(1)B(2)D解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則4d，4d，解得d2.2d10，解得a5.(2)由a42，得a1a7a8，故a1，a7是方程x29x80的兩根，所以或因?yàn)榈缺葦?shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以公比q>0.當(dāng)時(shí)q，所以S815(1)；當(dāng)時(shí)，q，所以S815.故選D.【變式探究】(1)已知an是等差數(shù)列，公差d不為零若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1a21，則a1_，d_.(2)已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1a21，a3a42，則log2_.答案(1)1(2)1006【名師點(diǎn)睛】在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí)，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】1通項(xiàng)公式等差數(shù)列：ana1(n1)d；等比數(shù)列：ana1qn1.2求和公式等差數(shù)列：Snna1d；等比數(shù)列：Sn(q1)3性質(zhì)若mnpq，在等差數(shù)列中amanapaq；在等比數(shù)列中amanapaq.易錯(cuò)起源2、等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明例2、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn (nN*)，且滿(mǎn)足anSn2n1.(1)求證：數(shù)列an2是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：<. (2)，()()()<.【變式探究】(1)已知數(shù)列an中，a11，an12an3，則an_.(2)已知數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若數(shù)列bn滿(mǎn)足各項(xiàng)均為正項(xiàng)，并且以(bn，Tn) (nN*)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ayx2xb (a為非零常數(shù))上運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)數(shù)列bn為“拋物數(shù)列”已知數(shù)列bn為“拋物數(shù)列”，則()Abn一定為等比數(shù)列Bbn一定為等差數(shù)列Cbn只從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列Dbn只從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列答案(1)2n13(2)B解析(1)由已知可得an132(an3)，又a134，故an3是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an342n1，an2n13.(2)由已知條件可知，若數(shù)列bn為“拋物數(shù)列”，設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則數(shù)列bn滿(mǎn)足各項(xiàng)均為正項(xiàng)，并且以(bn，Tn)(nN*)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ayx2xb (a為非零常數(shù))上運(yùn)動(dòng)，即aTnbbnb，當(dāng)n1時(shí)，aT1bb1bab1bb1bbb1b0abab12b0，即b1；當(dāng)n2時(shí)，由aTnbbnb，及aTn1bbn1b，兩式相減得abn(bb)(bnbn1)(bb)(bnbn1)0，由各項(xiàng)均為正項(xiàng)，可得bnbn11(n2)，由等差數(shù)列的定義可知bn一定為等差數(shù)列【名師點(diǎn)睛】 (1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，但不能作為證明方法(2)q和aan1an1(n2)都是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)；利用中項(xiàng)性質(zhì)，即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明(nN*)為一常數(shù)；利用等比中項(xiàng)，即證明aan1an1(n2)易錯(cuò)起源3、等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題例3、已知等差數(shù)列an的公差為1，且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn；(2)將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來(lái)順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，記bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若存在mN*，使對(duì)任意nN*，總有Sn<Tm恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)由a2a7a126得a72，a14，an5n，從而Sn.(2)由題意知b14，b22，b31，設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q，Tm81()m，()m隨m增加而遞減，Tm為遞增數(shù)列，得4Tm<8.又Sn(n29n)(n)2，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使對(duì)任意nN*總有Sn<Tm，則10<4，得>6.即實(shí)數(shù)的取值范圍為(6，)【變式探究】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn13(an1)，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿(mǎn)足若bnt對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍【名師點(diǎn)睛】(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問(wèn)題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便(2)數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問(wèn)題(3)數(shù)列中的恒成立問(wèn)題可以通過(guò)分離參數(shù)，通過(guò)求數(shù)列的值域求解【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，要從兩個(gè)數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系；數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問(wèn)題，可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解1在等差數(shù)列an中，若a4a6a8a10a12120，則2a10a12的值為()A20B22C24D28答案C解析由a4a6a8a10a12(a4a12)(a6a10)a85a8120，解得a824，a8a122a10，2a10a12a824.2已知在等差數(shù)列an中，a1120，d4，若Snan (n2)，則n的最小值為()A60B62C70D72答案B解析由題意可知，Snna1d2n2122n，ana1(n1)d1244n，由Snan得2n2126n124，解得n1或n62，又n2，n62，故選B.3在等比數(shù)列an中，a14，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列Sn2也是等比數(shù)列，則q等于()A2B2C3D3答案C解析由題意可得q1，由數(shù)列Sn2是等比數(shù)列，可得S12，S22，S32成等比數(shù)列，所以(S22)2(S12)(S32)，所以(64q)224(1qq2)12，q3(q0舍去)故選C.4某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù)： lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)()A2018年B2019年C2020年D2021年答案B解析設(shè)x年后該公司全年投入的研發(fā)資金為200萬(wàn)元，由題可知，130(112%)x200，解得xlog1.123.80，因資金需超過(guò)200萬(wàn)，則x取4，即2019年故選B.5函數(shù)f(x)若數(shù)列an滿(mǎn)足anf(n) (nN*)，且an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.B.C(2,3) D(1,3)答案C解析因?yàn)閍nf(n) (nN*)，an是遞增數(shù)列，所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)需滿(mǎn)足三個(gè)條件解不等式組得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3)，故選C.6若數(shù)列n(n4)n中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k_.答案4解析設(shè)最大項(xiàng)為第k項(xiàng)，則有故k4.7數(shù)列an中，a12，a23，an (nN*，n3)，則a2017_.答案2解析因?yàn)閍12，a23，所以a3，a4，a5，a6，a72，a83，所以數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)列，所以a2017a33661a12.8已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a12，且an1(a1a2an) (nN*)，記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則Sn_，an_.答案2n19已知數(shù)列an是等比數(shù)列，并且a1，a21，a3是公差為3的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bna2n，記Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，證明：Sn<.(1)解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍1，a21，a3是公差為3的等差數(shù)列，所以即解得a18，q.所以ana1qn18()n124n.(2)證明因?yàn)椋詳?shù)列bn是以b1a24為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以Sn1()n<.10設(shè)數(shù)列an(n1,2,3，)的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求使得|Tn1|成立的n的最小值 (2)由(1)可得，所以Tn1.由|Tn1|，得，即2n1000，因?yàn)?951210001024210，所以n10，于是，使|Tn1|成立的n的最小值為10.