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高考小題分項練5 三角函數(shù)與解三角形
1.若點(diǎn)(sin ,cos )在角α的終邊上,則sin α=________.
答案?。?
解析 根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義,
得sin α==-.
2.若tan α=,tan(α-β)=-,則tan(β-2α)=________.
答案?。?
解析 tan(β-2α)=tan(β-α-α)
===-.
3.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分圖象如圖所示,若AB=5,則ω的值為________.
答案
解析 AB=5= ,
解得T=6=,ω=.
4.將函數(shù)y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象沿x軸向左平移個單位,得到函數(shù)y=f(x)的圖象,若函數(shù)y=f(x)的圖象過原點(diǎn),則φ=________.
答案
解析 由題設(shè)可知f(x)=sin[2(x+)+φ],
由題意f(0)=0,即sin(+φ)=0,
注意到0<φ<π,所以φ=.
5.如果滿足∠ABC=60,AC=12,BC=k的銳角△ABC有且只有一個,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________.
答案 (4,12]
解析 當(dāng)AC=BCsin∠ABC,即ksin 60=12,k=8時,三角形為直角三角形,不合題意.當(dāng)0
==4,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是40,ω>0,0<φ<π)的圖象的一部分如圖所示,則此函數(shù)的解析式為________________.
答案 y=3sin(x+)
解析 由圖象知A=3,=5-1=4,所以T=8.
因為T==8,所以ω=,所以f(x)=3sin(x+φ).
因為函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(1,3),所以3sin(+φ)=3,
即sin(+φ)=1.因為+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z,又因為0<φ<π,所以φ=,所以函數(shù)f(x)的解析式是f(x)=3sin(x+).
7.已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx-) (ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的圖象的對稱軸完全相同,若x∈[0,],則f(x)的取值范圍是__________.
答案 [-,3]
解析 由題意可得ω=2.∵x∈[0,],
∴ωx-=2x-∈[-,],
由三角函數(shù)圖象知:f(x)的最小值為3sin(-)=-,最大值為3sin =3,
∴f(x)的取值范圍是[-,3].
8.在△ABC中,設(shè)a,b,c分別為角A,B,C的對邊,若a=5,A=,cos B=,則邊c=________.
答案 7
解析 由cos B=,得sin B=,
由=,得b=4,
由cos B=,得c2-6c-7=0,c=7或c=-1(舍).
9.設(shè)a,b,c為△ABC的三邊長,a≠1,b0)的最小正周期為π,則f(x)在區(qū)間[0,]上的值域為__________.
答案 [0,]
解析 f(x)=sin2ωx+sin ωxsin(ωx+)
=sin2ωx+sin ωxcos ωx
=+sin 2ωx
=sin 2ωx-cos 2ωx+
=sin(2ωx-)+.
因為T===π,
所以ω=1,即f(x)=sin(2x-)+.
當(dāng)x∈[0,]時,2x-∈[-,],
所以sin(2x-)∈[-,1],
所以f(x)的值域為[0,].
11.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S表示△ABC的面積,若acos B+bcos A=csin C,S=(b2+c2-a2),則B=________.
答案 45
解析 由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=sin2C,
sin(A+B)=sin2C,sin C=sin2C,
于是sin C=1,C=90.
從而S=ab=(b2+c2-a2)=(b2+b2),
解得a=b,因此B=45.
12.如果若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合,則稱這些函數(shù)為“互為生成”函數(shù),給出下列函數(shù):
①f1(x)=sin x+cos x;②f2(x)=2sin x+;③f3(x)=(sin x+cos x);④f4(x)=sin x;⑤f5(x)=2cos (sin +cos ),其中“互為生成”函數(shù)的有________.(請?zhí)顚懶蛱?
答案?、佗冖?
解析 f1(x)=sin(x+),f3(x)=2sin(x+),
f5(x)=sin x+cos x+1=sin(x+)+1,
其中①②⑤都可以由y=sin x平移得到,它們是“互為生成”函數(shù),③④不能由y=sin x平移得到,相互也不能平移得到,故填①②⑤.
13.已知α∈(0,),且tan(α+)=3,則lg(8sin α+6cos α)-lg(4sin α-cos α)=________.
答案 1
解析 ∵α∈(0,),且tan(α+)=3,
∴=3,∴tan α=,
∴l(xiāng)g(8sin α+6cos α)-lg(4sin α-cos α)
=lg=lg=lg 10=1.
14.函數(shù)y=tan ωx(ω>0)與直線y=a相交于A,B兩點(diǎn),且AB最小值為π,則函數(shù)f(x)=sin ωx-cos ωx的單調(diào)增區(qū)間為________________.
答案 [2kπ-,2kπ+](k∈Z)
解析 由函數(shù)y=tan ωx (ω>0)的圖象可知,函數(shù)的最小正周期為π,則ω=1,故f(x)=2sin(x-).
由2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).
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