第2講空間中的平行與垂直1(2016課標全國甲)，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號)答案解析當mn，m，n時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故錯誤，經(jīng)判斷知均正確，故正確答案為.2(2016江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA-1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.證明(1)由已知，DE為ABC的中位線，DEAC，又由三棱柱的性質(zhì)可得ACA1C1，DEA1C1，且DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1B1A1C1，且A1B1AA1A1，A1C1平面ABB1A1，B1D平面ABB1A1，A1C1B1D，又A1FB1D，且A1FA1C1A1，B1D平面A1C1F，又B1D平面B1DE，平面B1DE平面A1C1F.1.以填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題的真假進行判斷，屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進行考查，難度中等.熱點一空間線面位置關(guān)系的判定空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷來解決問題；(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進行判斷例1(1)已知l是直線，、是兩個不同的平面，下列命題中的真命題是_(填所有真命題的序號) 若l，l，則；若，l，則l；若l，則l；若l，l，則 .(2)關(guān)于空間兩條直線a、b和平面，給出以下四個命題，其中正確的是_若ab，b，則a；若a，b，則ab；若a，b，則ab；若a，b，則ab.答案(1)(2)解析(1)若l，l，則l可平行兩平面的交線，所以為假命題；若，l，則l可平行兩平面的交線，所以為假命題；若l，則l可在平面內(nèi)，所以為假命題；若l，l，則l必平行平面內(nèi)一直線m，所以m，因而為真命題(2)線面平行的判定定理中的條件要求a，故錯；對于線面平行，這條直線與面內(nèi)的直線的位置關(guān)系可以平行，也可以異面，故錯；平行于同一個平面的兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面都有可能，故錯；垂直于同一個平面的兩條直線是平行的，故正確思維升華解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中跟蹤演練1設m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：若mn，m，則n；若m，m，則；若mn，m，則n；若m，m，則.其中真命題的個數(shù)為_答案解析因為“如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面”，所以正確；當m平行于兩個相交平面，的交線l時，也有m，m，所以錯誤；若mn，m，則n或n，所以錯誤；平面，與直線m的關(guān)系如圖所示，必有，故正確熱點二空間平行、垂直關(guān)系的證明空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化面面平行的判定例2如圖，已知PAO所在的平面，AB是O的直徑，AB2，點C是O上一點，且ACBC，PCA45，點E是PC的中點，點F是PB的中點，點G為線段PA上(除點P外)的一個動點(1)求證：BC平面GEF；(2)求證：BCGE；(3)求三棱錐BPAC的體積(1)證明點E是PC的中點，點F是PB的中點，EFCB.EF平面GEF，點G不與點P重合，CB平面GEF，BC平面GEF.(2)證明PAO所在的平面，BCO所在的平面，BCPA.又AB是O的直徑，BCAC.PAACA，AC面PAC，PA面PAC，BC平面PAC.GE平面PAC，BCGE.(3)解在RtABC中，AB2，ACBC，ACBC，SABC1.PA平面ABC，AC平面ABC，PAAC.PCA45，PA.VBPACVPABCSABCPA.思維升華垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下：(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)換(2)證明線線垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；勾股定理；線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l，ala.跟蹤演練2如圖，在四棱錐PABCD中，ADBC，且BC2AD，ADCD，PBCD，點E在棱PD上，且PE2ED.(1)求證：平面PCD平面PBC；(2)求證：PB平面AEC.證明(1)因為ADCD，ADBC，所以CDBC，又PBCD，PBBCB，PB平面PBC，BC平面PBC，所以CD平面PBC，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PBC.(2)連結(jié)BD交AC于點O，連結(jié)OE.因為ADBC，所以ADOCBO，所以DOOBADBC12，又PE2ED，所以OEPB，又OE平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.熱點三平面圖形的折疊問題平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化、有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵一般地，在翻折后還在一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值，這是化解翻折問題的主要方法例3如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，DAB60，點E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點，ACEFO，沿EF將CEF翻折到PEF，連結(jié)PA，PB，PD，得到如圖的五棱錐PABFED，且PB.(1)求證：BDPA；(2)求四棱錐PBFED的體積(1)證明點E，F(xiàn)分別是邊CD，CE的中點，BDEF.菱形ABCD的對角線互相垂直，BDAC.EFAC.EFAO，EFPO，AO平面POA，PO平面POA，AOPOO，EF平面POA，BD平面POA，又PA平面POA，BDPA.(2)解設AOBDH.連結(jié)BO，DAB60，ABD為等邊三角形，BD4，BH2，HA2，HOPO，在RtBHO中，BO，在PBO中，BO2PO210PB2，POBO.POEF，EFBOO，EF平面BFED，BO平面BFED，PO平面BFED，梯形BFED的面積S(EFBD)HO3，四棱錐PBFED的體積VSPO33.思維升華(1)折疊問題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口；(2)存在探索性問題可先假設存在，然后在此前提下進行邏輯推理，得出矛盾或肯定結(jié)論跟蹤演練3如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折痕EFDC.其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MFCF.(1)證明：CF平面MDF；(2)求三棱錐MCDE的體積(1)證明因為PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因為ABCD是矩形，CDAD，PD與CD交于點D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.(2)解因為PDDC，BC2，CD1，PCD60，所以PD，由(1)知FDCF，在直角三角形DCF中，CFCD.過點F作FGCD交CD于點G，得FGFCsin 60，所以DEFG，故MEPE，所以MD .SCDEDEDC1.故VMCDEMDSCDE.1不重合的兩條直線m，n分別在不重合的兩個平面，內(nèi)，給出以下四個命題，其中正確的是_mnm mnm mn押題依據(jù)空間兩條直線、兩個平面之間的平行與垂直的判定是立體幾何的重點內(nèi)容，也是高考命題的熱點此類題常與命題的真假性、充分條件和必要條件等知識相交匯，意在考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力答案解析構(gòu)造長方體，如圖所示因為A1C1AA1，A1C1平面AA1C1C，AA1平面AA1B1B，但A1C1與平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C與平面AA1B1B不垂直所以，都是假命題CC1AA1，但平面AA1C1C與平面AA1B1B相交而不平行，所以為假命題“若兩平面平行，則一個平面內(nèi)任何一條直線必平行于另一個平面”是真命題2如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求證：D1CAC1；(2)問在棱CD上是否存在點E，使D1E平面A1BD.若存在，確定點E位置；若不存在，請說明理由押題依據(jù)空間直線和平面的平行、垂直關(guān)系是立體幾何的重點內(nèi)容，也是高考解答題的熱點，結(jié)合探索性問題考查考生的空間想象能力、推理論證能力，是命題的常見形式(1)證明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連結(jié)C1D，DCDD1，四邊形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，ADD1C.AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1，又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解假設存在點E，使D1E平面A1BD.連結(jié)AD1，AE，D1E，設AD1A1DM，BDAEN，連結(jié)MN，平面AD1E平面A1BDMN，要使D1E平面A1BD，可使MND1E，又M是AD1的中點，則N是AE的中點又易知ABNEDN，ABDE.即E是DC的中點綜上所述，當E是DC的中點時，可使D1E平面A1BD.A組專題通關(guān)1如圖是正方形的平面展開圖，在這個正方體中：BM與DE平行；CN與BE是異面直線；BM與CN成60角；DM與BN是異面直線以上四個命題中，正確命題的序號是_答案解析展開圖復原的正方體如圖，不難看出：BM與ED平行；錯誤的，是異面直線；CN與BE是異面直線，錯誤，是平行線；CN與BM成60角；正確；DM與BN是異面直線正確判斷正確的答案為.2設a，b是平面內(nèi)兩條不同的直線，l是平面外的一條直線，則“l(fā)a，lb”是“l(fā)”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析若a，b是平面內(nèi)兩條不同的直線，l是平面外的一條直線，la，lb，ab，則l可以與平面斜交，推不出l.若l，a，b是平面內(nèi)兩條不同的直線，l是平面外的一條直線，則la，lb.“l(fā)a，lb”是“l(fā)”的必要不充分條件3已知，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同直線，l，m.給出下列命題：lm；lm；ml；lm.其中正確的命題是_. (填寫所有正確命題的序號)答案解析，lllm，命題正確；，ll、m可平行，可相交，可異面，命題錯誤；m，llml與可平行，l可在內(nèi)，l可與相交，命題錯誤； l、lm，命題正確4已知立方體ABCDABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AD，BB，BC，DD的中點，從中任取兩點確定的直線中，與平面ABD平行的有_條答案6解析連結(jié)EG，EH，F(xiàn)G，EH綊FG，EFGH四點共面，由EGAB，EHAD，EGEHE，ABADA，可得平面EFGH與平面ABD平行，符合條件的共6條5在正方體上任意選擇4個頂點，由這4個頂點可能構(gòu)成如下幾何體：有三個面為全等的等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；每個面都是等邊三角形的四面體；每個面都是直角三角形的四面體；有三個面為不全等的直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體以上結(jié)論其中正確的是_(寫出所有正確結(jié)論的編號)答案解析在正方體上任意選擇4個頂點，由這4個頂點可能構(gòu)成如下幾何體：有三個面為全等的等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體，去掉4個角的正四面體即可，正確；每個面都是等邊三角形的四面體，去掉4個角的正四面體即可，正確；每個面都是直角三角形的四面體，側(cè)棱垂直底面直角三角形的銳角的四面體即可，正確；有三個面為不全等的直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體，如圖中ABCD即可，正確故答案為.6如圖，在空間四邊形ABCD中，點MAB，點NAD，若，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是_答案平行解析由，得MNBD.而BD平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC.7正方體ABCDA1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個動點，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號)ACBE；B1E平面ABCD；三棱錐EABC的體積為定值；直線B1E直線BC1.答案解析因AC平面BDD1B1，故正確；因B1D1平面ABCD，故正確；記正方體的體積為V，則VEABCV，為定值，故正確；B1E與BC1不垂直，故錯誤8.如圖所示，ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP，過P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ_.答案a解析平面ABCD平面A1B1C1D1，MNPQ.M、N分別是A1B1、B1C1的中點，AP，CQ，從而DPDQ，PQa.9如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M，N，P分別為棱AB，BC，C1D1的中點求證：(1)AP平面C1MN；(2)平面B1BDD1平面C1MN.證明(1)在正方體ABCDA1B1C1D1中，因為點M，P分別為棱AB，C1D1的中點，所以AMPC1.又AMCD，PC1CD，故AMPC1，所以四邊形AMC1P為平行四邊形從而APC1M，又AP平面C1MN，C1M平面C1MN，所以AP平面C1MN.(2)連結(jié)AC，在正方形ABCD中，ACBD.又點M，N分別為棱AB，BC的中點，故MNAC.所以MNBD.在正方體ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，又MN平面ABCD，所以DD1MN，而DD1DBD，DD1，DB平面B1BDD1，所以MN平面B1BDD1，又MN平面C1MN，所以平面B1BDD1平面C1MN.10.如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，BB1C1C為菱形，B1C的中點為O，且AO平面BB1C1C.(1)證明：B1CAB；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高(1)證明如圖，連結(jié)BC1，則O為B1C與BC1的交點因為四邊形BB1C1C為菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，又AOBC1O，故B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)解如圖，在平面BB1C1C內(nèi)作ODBC，垂足為D，連結(jié)AD.在平面AOD內(nèi)作OHAD，垂足為H.由于BCAO，BCOD，AOODD，故BC平面AOD，又OH平面AOD，所以OHBC.又OHAD，ADBCD，所以OH平面ABC.因為CBB160，所以CBB1為等邊三角形又BC1，可得OD.由于ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD，得OH.又O為B1C的中點，所以點B1到平面ABC的距離為，故三棱柱ABCA1B1C1的高為.B組能力提高11，是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知EF，AB于B，CD于D，若增加一個條件，就能得出BDEF，現(xiàn)有下列條件：AC；AC與CD在內(nèi)的射影在同一條直線上；ACEF.其中能成為增加條件的序號是_答案解析由題意得，ABCD，A，B，C，D四點共面，：AC，EF，ACEF，又AB，EF，ABEF，ABACA，EF面ABCD，又BD面ABCD，BDEF，故正確；：由AC與CD在內(nèi)的射影在同一條直線上可知面EFAC，由可知正確；錯誤，故填：.12.如圖，在棱長為1的正四面體ABCD中，平面與棱AB，AD，CD，BC分別交于點E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH周長的最小值為_答案2解析把面ADC沿著AD翻折到與面ADB共面上來，此時C的位置為C1，G的位置為G1，再把面DCB沿著BC翻折到面ABC中，再把這個面沿著AB翻折到面ADB中來(其實就是得到四面體的展開圖)，這樣，EFGH的周長為圖中線段的和，然后根據(jù)三角形的邊長關(guān)系得到最小值為2.13.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，底面是以ABC為直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，點D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF_時，CF平面B1DF.答案a或2a解析由題意易知，B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可令CFDF，設AFx，則A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.14如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBCBB1，點D，E分別為BC，CC1的中點(1)求證：B1D平面ABE；(2)若點P是線段B1D上一點且滿足，求證：A1P平面ADE.證明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，AB平面ABC，所以BB1AB，因為ABC90，所以BCAB，又BCBB1B，所以AB平面BCC1B1，因為DB1平面BCC1B1，所以ABDB1，因為在平面BCC1B1中，BCBB1，所以四邊形BCC1B1為正方形，因為點D，E分別為BC，CC1的中點，所以BCEB1BD，所以CBEBB1D，所以CBEB1DB90，即B1DBE，又因為BABEB，所以B1D面ABE.(2)連結(jié)PC交DE于點F，連結(jié)A1C交AE于點G，連結(jié)FG，在正方形BCC1B1中利用及平面幾何知識可得2，在正方形ACC1A1中利用CEAA1且CEAA1可得2，所以在CA1P中，2，所以A1PGF，又A1P平面ADE，GF平面ADE，所以A1P平面ADE.