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高考小題分項(xiàng)練6　平面向量 1．已知平面向量a，b滿(mǎn)足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，則|a＋b|等于(　　) A．0 B. C．2 D. 答案　D 解析　∵a⊥(a－2b)，∴a(a－2b)＝0， ∴ab＝a2＝， ∴|a＋b|＝＝ ＝ ＝. 2．已知向量a，b，其中a＝(－1，)，且a⊥(a－3b)，則b在a上的投影為(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　由a＝(－1，)，且a⊥(a－3b)， 得a(a－3b)＝0＝a2－3ab＝4－3ab，ab＝， 所以b在a上的投影為＝＝，故選C. 3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，B分別是x軸，y軸上的一點(diǎn)，且|AB|＝1，若點(diǎn)P(1，)，則|＋＋|的取值范圍是(　　) A．[5,6] B．[6,7] C．[6,9] D．[5,7] 答案　D 解析　設(shè)A(cos θ，0)，B(0，sin θ)， 則＋＋＝(3－cos θ，3－sin θ)， |＋＋|2＝(3－cos θ)2＋(3－sin θ)2 ＝37－6(cos θ＋sin θ)＝37－12sin(θ＋)， 即可求得范圍是[5,7]． 4．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b與b垂直，則|a|等于(　　) A. B. C．2 D．4 答案　C 解析　a＝(1，x)，b＝(－1，x)， ∴2a－b＝2(1，x)－(－1，x)＝(3，x)， 由(2a－b)⊥b?3(－1)＋x2＝0， 解得x＝－或x＝， ∴a＝(1，－)或a＝(1，)， ∴|a|＝＝2或|a|＝＝2. 故選C. 5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，點(diǎn)F在邊CD上，若＝3，則的值為(　　) A．4 B. C．0 D．－4 答案　D 解析　如圖所示，＝2?BE＝BC＝， ＝3?AFcos∠BAF＝1?DF＝1， 以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，AD所在直線(xiàn)為x軸，AB所在直線(xiàn)為y軸，則B(0,3)，F(xiàn)(，1)，E(，3)， 因此＝(，－2)，＝－23＝2－6＝－4. 6．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若＝m＋n (m，n∈R)，則等于(　　) A．－3 B．－ C. D．3 答案　A 解析　如圖，作AE∥DC，交BC于點(diǎn)E，則ADCE為平行四邊形，＝＝m＋n， 又＝＋＝－， 所以故＝－3. 7．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝，則的取值范圍為(　　) A．[3,6] B．[4,6] C．[2，] D．[2,4] 答案　B 解析　以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線(xiàn)為x軸，CB所在直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系， 則A(3,0)，B(0,3)， ∴AB所在直線(xiàn)的方程為：＋＝1， 則y＝3－x. 設(shè)N(a,3－a)，M(b,3－b)， 且0≤a≤3,0≤b≤3，不妨設(shè)a>b， ∵M(jìn)N＝，∴(a－b)2＋(b－a)2＝2， ∴a－b＝1，∴a＝b＋1，∴0≤b≤2， ∴＝(b,3－b)(a,3－a) ＝2ab－3(a＋b)＋9＝2(b2－2b＋3) ＝2(b－1)2＋4,0≤b≤2， ∴當(dāng)b＝0或b＝2時(shí)有最大值6； 當(dāng)b＝1時(shí)有最小值4. ∴的取值范圍為[4,6]，故選B. 8．△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別是a，b，c，設(shè)向量n＝(a＋c，sin B－sin A)，m＝(a＋b，sin C)，若m∥n，則角B的大小為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　若m∥n，則(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(a＋c)＝0， 由正弦定理可得：(a＋b)(b－a)－c(a＋c)＝0， 化為a2＋c2－b2＝－ac， ∴cos B＝＝－. ∵B∈(0，π)，∴B＝，故選B. 9．如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，＝3，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，則等于(　　) A.－ B.－ C．－＋ D．－＋ 答案　C 解析　如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接DG，CG，則DG∥BC， ∴＝＝－＝－， ＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋， 于是＝－＝－ ＝(＋)－ ＝－＋， 故選C. 10．設(shè)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且＝2，則△PAB與△PBC的面積之比是(　　) A．1∶3 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶4 答案　B 解析　依題意，得CP＝2PA，設(shè)點(diǎn)B到AC之間的距離為h， 則△PAB與△PBC的面積之比為＝＝. 11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，m＝(a，b)，n＝(sin B，cos A)，m⊥n，b＝2，a＝，則△ABC的面積為(　　) A. B. C. D．2 答案　C 解析　∵在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c， m＝(a，b)，n＝(sin B，cos A)，m⊥n，b＝2，a＝， ∴mn＝asin B＋bcos A＝sin B＋2cos A＝0， ∴sin B＝－， 由正弦定理得＝， 整理得sin A＝－cos A， ∴sin2A＋cos2A＝4cos2A＝1，cos A<0， ∴cos A＝－.∵00)，如果在直線(xiàn)3x＋4y＋25＝0上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90，則m的取值范圍是________． 答案　[5，＋∞) 解析　∵點(diǎn)P在直線(xiàn)3x＋4y＋25＝0上， 設(shè)點(diǎn)P(x，)， ∴＝(x＋m，)，＝(x－m，)． 又∠APB＝90， ∴＝(x＋m)(x－m)＋()2＝0， 即25x2＋150x＋625－16m2＝0. 由Δ≥0，即1502－425(625－16m2)≥0， 解得m≥5或m≤－5. 又m>0，∴m的取值范圍是[5，＋∞)． 15．設(shè)向量＝(－1，－3)，＝(2sin θ，2)，若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則cos 2θ＝________. 答案　 解析　向量＝(－1，－3)，＝(2sin θ，2)， ∵A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，∴－6sin θ＝－2，∴sin θ＝， ∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝. 16．在△ABC中，AB＝，cos B＝，點(diǎn)D在邊AC上，BD＝，且＝λ(＋) (λ>0)，則sin A的值為_(kāi)_______． 答案　 解析　如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，取AC中點(diǎn)F，連接BF，則＝λ(＋) (λ>0) ＝λ(＋)＝， ∴和共線(xiàn)，∴點(diǎn)D和點(diǎn)F重合， ∴D是AC的中點(diǎn)． ∵＝(＋)， ∴||2＝(||2＋||2＋2) ＝＋||＋＝5. 又AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B， 即AC2＝＋BC2－BC， 解方程可得BC＝2，AC＝， 由正弦定理＝， 且sin B＝＝＝， 可得sin A＝＝＝.