第18練解三角形問題題型分析高考展望正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形問題是高考每年必考的熱點(diǎn)問題之一命題的重點(diǎn)主要有三個(gè)方面：一是以斜三角形為背景求三角形的基本量、求三角形的面積、周長(zhǎng)、判斷三角形形狀等；二是以實(shí)際生活為背景，考查解三角形問題；三是與其他知識(shí)的交匯性問題，此類試題一直是命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)體驗(yàn)高考1(2016天津)在ABC中，若AB，BC3，C120，則AC等于()A1 B2 C3 D4答案A解析由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化簡(jiǎn)得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)故選A.2(2016課標(biāo)全國(guó)丙)在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則cos A等于()A. B. C D答案C解析設(shè)BC邊上的高線AD交BC于點(diǎn)D，由題意B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan A3，所以cos A.3(2015天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為3，bc2，cos A，則a的值為_答案8解析cos A，0A，sin A.SABCbcsin Abc3，bc24.又bc2，b22bcc24，b2c252.由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222464，a8.4(2015廣東)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_.答案1解析因?yàn)閟in B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.5(2016北京)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大小；(2)求cos Acos C的最大值解(1)由a2c2b2ac得a2c2b2ac.由余弦定理得cos B.又0B，所以B.(2)ACB，所以CA,0A.所以cos Acos Ccos Acoscos Acoscos Asin sin Acos Acos Asin Asin Acos Asin.因?yàn)?A，所以A，故當(dāng)A，即A時(shí)，cos Acos C取得最大值1.高考必會(huì)題型題型一活用正弦、余弦定理求解三角形問題例1(1)(2015廣東)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a2，c2，cos A且b<c，則b等于()A3 B2 C2 D.答案C解析由余弦定理a2b2c22bccos A，得4b2122b2，即b26b80，b4或b2，又b<c，b2.(2)(2016課標(biāo)全國(guó)乙)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.求C；若c，ABC的面積為，求ABC的周長(zhǎng)解由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C,2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C可得cos C，所以C.由已知，得absin C，又C，所以ab6，由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長(zhǎng)為5.點(diǎn)評(píng)在根據(jù)正弦、余弦定理解三角形問題中，要結(jié)合大邊對(duì)大角進(jìn)行判斷一般地，斜三角形中，用正弦定理求角時(shí)，若已知小角求大角，有兩解；已知大角求小角有一解在解三角形問題中，三角形內(nèi)角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據(jù)這個(gè)定理確定角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號(hào)，防止增解等擴(kuò)大范圍的現(xiàn)象發(fā)生變式訓(xùn)練1設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大??；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值解(1)bsin Aacos B，由正弦定理得sin Bsin Asin Acos B.在ABC中，sin A0，即得tan B.B(0，)，B.(2)sin C2sin A，由正弦定理得c2a，由余弦定理b2a2c22accos B，即9a24a22a2acos ，解得a，c2a2.題型二正弦、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例2某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由解(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則S.故當(dāng)t時(shí)，Smin10，v30.即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇則v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0<v30，900900，即0，解得t.又t時(shí)，v30，故v30時(shí)，t取得最小值，且最小值等于.此時(shí)，在OAB中，有OAOBAB20.故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30，航行速度為30海里/小時(shí)點(diǎn)評(píng)解三角形中的實(shí)際問題四步驟(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；(3)將所求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解；(4)檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案變式訓(xùn)練2為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60，再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10米到位置D，測(cè)得BDC45，則塔AB的高是_米答案10解析由題意可得，BCD9015105，CD10，BDC45，CBD30.在BCD中，由正弦定理，得，解得BC10米，在RtABC中，塔AB的高是10米題型三解三角形與其他知識(shí)的交匯例3(2016奉賢區(qū)高三上學(xué)期期末)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足cos，AA3.(1)求ABC的面積；(2)求a的最小值解(1)因?yàn)閏os，所以cos A2cos21，sin A，又因?yàn)锳A3，得bccos A3bc5SABCbcsin A2.(2)bc5，a2b2c22bccos Ab2c225，a2b2c26，a2b2c26b2c26a22bc10.amin2.當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，a有最小值2.點(diǎn)評(píng)解三角形問題與三角函數(shù)性質(zhì)、向量、不等式、立體幾何、數(shù)列等知識(shí)結(jié)合交匯，是近年來(lái)高考的新題型，對(duì)于這種問題要細(xì)心讀題，弄清問題實(shí)質(zhì)，一般都以其他知識(shí)為載體，主體還是利用正弦、余弦定理解三角形，所以將問題轉(zhuǎn)化為解三角形是關(guān)鍵變式訓(xùn)練3(2015陜西)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.向量m(a，b)與n(cos A，sin B)平行(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面積解(1)因?yàn)閙n，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，從而tan A.由于0A，所以A.(2)方法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而由a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因?yàn)閏0，所以c3，故ABC的面積為Sbcsin A.方法二由正弦定理，得，從而sin B.又由ab，知AB，所以cos B，故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面積為Sabsin C.高考題型精練1(2015北京改編)在ABC中，a4，b5，c6，則等于()A.B2C1 D.答案C解析由余弦定理，得cos A，sin A，cos C，sin C，1.2(2015重慶改編)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，則c等于()A2 B3C.D4答案D解析由3sin A2sin B，得3a2b，ba23，在ABC中，由余弦定理，得c2a2b22abcos C223222316，解得c4.3在三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且abc，a2b2c2，則角A的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析因?yàn)閍2b2c2，所以cos A0，所以A為銳角，又因?yàn)閍bc，所以A為最大角，所以角A的取值范圍是.4在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若asin Absin Bcsin C，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定答案C解析根據(jù)正弦定理可得a2b2c2.由余弦定理得cos C0，故C是鈍角5在ABC中，|3，則ABC的面積的最大值為()A.B.C.D3答案B解析設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，|3，又cos A11，cos A，0sin A，ABC的面積Sbcsin Atan A，故ABC面積的最大值為.6已知銳角A是ABC的一個(gè)內(nèi)角，a，b，c是三角形中各角的對(duì)應(yīng)邊，若sin2Acos2A，則下列各式正確的是()Abc2aBbc2aCbc2aDbc2a答案C解析sin2Acos2A，cos 2A.0A，02A，2A，A.由余弦定理得，a2b2c2bc(bc)23bc(bc)2(bc)2，4a2(bc)2，2abc.7(2016課標(biāo)全國(guó)甲)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.答案解析在ABC中由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.8(2015重慶)在ABC中，B120，AB，A的角平分線AD，則AC_.答案解析在ABD中，由正弦定理得，即，解得sinADB，ADB45，從而BAD15DAC，所以C1801203030，AC2ABcos 30.9在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知bca,2sin B3sin C，則cos A的值為_答案解析由2sin B3sin C及正弦定理得2b3c，即bc.又bca，ca，即a2c.由余弦定理得cos A.10設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A，a，則b2c2的取值范圍為_答案(3,6解析由正弦定理，得2，b2sin B，c2sin C，所以b2c24(sin2Bsin2C)2(1cos 2B1cos 2C)42cos 2B2cos 2(B)4sin 2Bcos 2B42sin(2B)又0B，所以2B，所以12sin(2B)2.所以3b2c26.11(2016山東)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2(tan Atan B).(1)證明：ab2c；(2)求cos C的最小值(1)證明由題意知，2.化簡(jiǎn)得2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即2sin(AB)sin Asin B，因?yàn)锳BC，所以sin(AB)sin(C)sin C，從而sin Asin B2sin C，由正弦定理得ab2c.(2)解由(1)知c，所以cos C，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，故cos C的最小值為.12(2016四川)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且.(1)證明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，求tan B.(1)證明根據(jù)正弦定理，可設(shè)k(k>0)，則aksin A，bksin B，cksin C.代入中，有，變形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C.所以sin Asin Bsin C.(2)解由已知，b2c2a2bc，根據(jù)余弦定理，有cos A.所以sin A.由(1)，知sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B，故tan B4.