專題03 函數的圖像與性質1(2016課標全國乙)函數y2x2e|x|在2,2的圖象大致為()答案D解析f(2)8e2>82.82>0，排除A；f(2)8e2<82.72<1，排除B；當x>0時，f(x)2x2ex，f(x)4xex，當x時，f(x)<4e00，因此f(x)在上單調遞減，排除C，故選D.2(2016山東)已知函數f(x)的定義域為R，當x<0時，f(x)x31；當1x1時，f(x)f(x)；當x>時，ff，則f(6)等于()A2B1C0D2答案D3(2016上海)設f(x)，g(x)，h(x)是定義域為R的三個函數，對于命題：若f(x)g(x)，f(x)h(x)，g(x)h(x)均為增函數，則f(x)，g(x)，h(x)中至少有一個為增函數；若f(x)g(x)，f(x)h(x)，g(x)h(x)均是以T為周期的函數，則f(x)，g(x)，h(x)均是以T為周期的函數，下列判斷正確的是()A和均為真命題B和均為假命題C為真命題，為假命題D為假命題，為真命題答案D解析不成立，可舉反例，f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)f(xT)g(xT)，f(x)h(x)f(xT)h(xT)，g(x)h(x)g(xT)h(xT)，前兩式作差，可得g(x)h(x)g(xT)h(xT)，結合第三式，可得g(x)g(xT)，h(x)h(xT)，也有f(x)f(xT)正確故選D.4(2016北京)設函數f(x)(1)若a0，則f(x)的最大值為_；(2)若f(x)無最大值，則實數a的取值范圍是_答案(1)2(2)(，1) (2)f(x)的兩個函數在無限制條件時圖象如圖由(1)知，當a1時，f(x)取得最大值2.當a1時，y2x在xa時無最大值，且2a2.所以a1.5已知a>0，且a1，函數yax與yloga(x)的圖象只能是圖中的()答案B6定義在R上的函數f(x)滿足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1,0)時，f(x)2x，則f(log220)等于()A1B.C1D答案C解析由f(x2)f(x2)f(x)f(x4)，因為4<log220<5，所以0<log2204<1，1<4log220<0.又因為f(x)f(x)，所以f(log220)f(log2204)f(4log220)f1.故選C.7已知函數f(x)，則yf(x)的圖象大致為()答案B解析方法一由題意得，解得f(x)的定義域為x|x>1，且x0令g(x)ln(x1)x，則g(x)1，當1<x<0時，g(x)>0；當x>0時，g(x)<0.f(x)在區(qū)間(1,0)內為減函數，在區(qū)間(0，)內為增函數，對照各選項，只有B符合方法二本題也可取特值，用排除法求解：f(2)<0，排除A.f<0，排除C，D，選B.8已知函數h(x)(x0)為偶函數，且當x>0時，h(x)若h(t)>h(2)，則實數t的取值范圍為_答案(2,0)(0,2)易錯起源1、函數的性質及應用例1、(1)已知函數f(x)為奇函數，且在0,2上單調遞增，若f(log2m)<f(log4(m2)成立，則實數m的取值范圍是()A.m<2B.m2C2<m4D2m4(2)設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區(qū)間1,1)上，f(x)其中aR.若ff，則f(5a)的值是_答案(1)A(2)解析(1)因為函數f(x)是奇函數，且在0,2上單調遞增，所以函數f(x)在2,2上單調遞增故由f(log2m)<f(log4(m2)，可得解2log2m2，得m4；解2log4(m2)2，得m216，即m14.由log2m<log4(m2)，得log4m2<log4(m2)，故有解得1<m<2，且m0.綜上可知，m的取值范圍是m<2，故選A.(2)由已知fffa，fff.又ff，則a，a，f(5a)f(3)f(34)f(1)1.【變式探究】(1)(2016四川)已知函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0<x<1時，f(x)4x，則ff(1)_.(2)設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區(qū)間1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，則a3b的值為_答案(1)2(2)10解析(1)因為f(x)是周期為2的函數，所以f(x)f(x2)而f(x)是奇函數，所以f(x)f(x)所以f(1)f(1)，f(1)f(1)，即f(1)0，又fff，故f2，從而ff(1)2.【名師點睛】(1)可以根據函數的奇偶性和周期性，將所求函數值轉化為給出解析式的范圍內的函數值(2)利用函數的單調性解不等式的關鍵是化成f(x1)<f(x2)的形式【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】1單調性：單調性是函數在其定義域上的局部性質利用定義證明函數的單調性時，規(guī)范步驟為取值、作差、判斷符號、下結論復合函數的單調性遵循“同增異減”的原則2奇偶性(1)奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相反(填“相同”或“相反”)(2)在公共定義域內：兩個奇函數的和函數是奇函數，兩個奇函數的積函數是偶函數；兩個偶函數的和函數、積函數是偶函數；一個奇函數、一個偶函數的積函數是奇函數(3)若f(x)是奇函數且在x0處有定義，則f(0)0.(4)若f(x)是偶函數，則f(x)f(x)f(|x|)(5)圖象的對稱性質：一個函數是奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數是偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱3周期性定義：周期性是函數在定義域上的整體性質若函數在其定義域上滿足f(ax)f(x)(a0)，則其一個周期T|a|.常見結論：(1)f(xa)f(x)函數f(x)的最小正周期為2|a|.(a0)(2)f(xa)函數f(x)的最小正周期為2|a|.(a0)(3)f(ax)f(bx)，則函數f(x)的圖象關于x對稱易錯起源2、函數圖象及應用例2、(1)函數y的圖象大致為()(2)已知函數f(x)，g(x)a2x32ax2xa(aR)在同一直角坐標系中，函數f(x)與g(x)的圖象不可能的是()答案(1)A(2)B解析(1)首先根據函數表達式可知y為(，)上的奇函數，且f(0)0，排除C，D；當x時，顯然排除B，故選A.(2)因為f(x)，所以f(x)ax2x，若a0，則選項D是正確的，故排除D.若a<0，選項B中的二次函數的判別式14a12a2<0，所以a2>，又a<0，所以a<.二次函數f(x)的圖象的對稱軸為x；三次函數g(x)a2x32ax2xa，所以g(x)3a2x24ax13a2，令g(x)>0，得x<或x>，令g(x)<0，得<x<，所以函數g(x)a2x32ax2xa的極大值點為x，極小值點為x；由B中的圖象知<.但a<，所以>，所以選項B的圖象是錯誤的，故選B.【變式探究】(1)函數f(x)cosx (x且x0)的圖象可能為()(2)已知三次函數f(x)2ax36ax2bx的導函數為f(x)，則函數f(x)與f(x)的圖象可能是()答案(1)D(2)B【名師點睛】 (1)根據函數的解析式判斷函數的圖象，要從定義域、值域、單調性、奇偶性等方面入手，結合給出的函數圖象進行全面分析，有時也可結合特殊的函數值進行輔助推斷，這是解決函數圖象判斷此類試題的基本方法(2)判斷復雜函數的圖象，常借助導數這一工具，先對原函數進行求導，再利用導數判斷函數的單調性、極值或最值，從而對選項進行篩選要注意函數求導之后，導函數發(fā)生了變化，故導函數和原函數定義域會有所不同，我們必須在原函數的定義域內研究函數的極值和最值【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】1作函數圖象有兩種基本方法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換2利用函數圖象可以判斷函數的單調性、奇偶性，作圖時要準確畫出圖象的特點易錯起源3、基本初等函數的圖象和性質例3、(1)設a0.60.6，b0.61.5，c1.50. 6，則a，b，c的大小關系是()AabcBacbCbacDbca(2)若函數若f(a)>f(a)，則實數a的取值范圍是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)答案(1)C(2)C解析(1)根據指數函數y0.6x在R上單調遞減可得0.61.50.60.60.601，根據指數函數y1.5x在R上單調遞增可得1.50.61.501，bac.(2)方法一由題意作出yf(x)的圖象如圖顯然當a>1或1<a<0時，滿足f(a)>f(a)故選C.方法二對a分類討論：當a>0時，a>1.當a<0時，0<a<1，1<a<0，故選C.【變式探究】(1)在同一直角坐標系中，函數f(x)xa(x0)，g(x)logax的圖象可能是()(2)已知函數yf(x)是定義在R上的函數，其圖象關于坐標原點對稱，且當x(，0)時，不等式f(x)xf(x)<0恒成立，若a20.2f(20.2)，bln2f(ln2)，c2f(2)，則a，b，c的大小關系是()Aa>b>cBc>b>aCc>a>bDa>c>b答案(1)D(2)C解析(1)方法一分a>1,0<a<1兩種情形討論當a>1時，yxa與ylogax均為增函數，但yxa遞增較快，排除C；當0<a<1時，yxa為增函數，ylogax為減函數，排除A.由于yxa遞增較慢，所以選D.方法二冪函數f(x)xa的圖象不過(0,1)點，排除A；B項中由對數函數f(x)logax的圖象知0<a<1，而此時冪函數f(x)xa的圖象應是增長越來越慢的變化趨勢，故B錯，D正確；C項中由對數函數f(x)logax的圖象知a>1，而此時冪函數f(x)xa的圖象應是增長越來越快的變化趨勢，故C錯(2)構造函數g(x)xf(x)，則g(x)f(x)xf(x)，當x(，0)時，g(x)<0，所以函數yg(x)在(，0)上單調遞減因為函數yf(x)的圖象關于坐標原點對稱，所以yf(x)是奇函數，由此可知函數yg(x)是偶函數根據偶函數的性質，可知函數yg(x)在(0，)上單調遞增又ag(20.2)，bg(ln2)，cg(2)g(2)，由于ln2<20.2<2，所以c>a>b.【名師點睛】(1)指數函數、對數函數、冪函數是高考的必考內容之一，重點考查圖象、性質及其應用，同時考查分類討論、等價轉化等數學思想方法及其運算能力(2)比較代數式大小問題，往往利用函數圖象或者函數的單調性【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】1指數函數yax(a>0，a1)與對數函數ylogax(a>0，a1)的圖象和性質，分0<a<1，a>1兩種情況，著重關注兩函數圖象中的兩種情況的公共性質2冪函數yx的圖象和性質，主要掌握1,2,3，1五種情況1下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是()AyByxCy2xDyxex答案D解析令f(x)xex，則f(1)1e，f(1)1e1，即f(1)f(1)，f(1)f(1)，所以yxex既不是奇函數也不是偶函數，而A、B、C依次是偶函數、奇函數、偶函數，故選D.2下列函數中，滿足“f(xy)f(x)f(y)”的單調遞增函數是()Af(x)xBf(x)x3Cf(x)()xDf(x)3x答案D3函數f(x)xcosx的大致圖象是()答案B解析f(x)xcosx，f(x)xcosx，f(x)f(x)，且f(x)f(x)，故函數f(x)是非奇非偶函數，排除A、C；當x時，xcosxx，即f(x)的圖象與直線yx的交點中有一個點的橫坐標為，排除D.故選B.4已知函數f(x)的值域為R，那么a的取值范圍是()A(，1 B.C.D.答案C解析要使函數f(x)的值域為R，需使所以所以1a<，故選C.5設f(x)是定義在實數集R上的函數，滿足條件yf(x1)是偶函數，且當x1時，f(x)x1，則f，f，f的大小關系是()Af>f>fBf>f>fCf>f>fDf>f>f答案A解析函數yf(x1)是偶函數，所以f(x1)f(x1)，即函數關于x1對稱所以ff，ff，當x1時，f(x)x1單調遞減，所以由<<，可得f>f>f.即f>f>f，故選A.6已知符號函數sgnxf(x)是R上的增函數，g(x)f(x)f(ax)(a>1)，則()Asgng(x)sgn xBsgng(x)sgn xCsgng(x)sgnf(x)Dsgng(x)sgnf(x)答案B解析因為a>1，所以當x>0時，x<ax，因為f(x)是R上的增函數，所以f(x)<f(ax)，所以g(x)f(x)f(ax)<0，sgng(x)1sgnx；同理可得當x<0時，g(x)f(x)f(ax)>0，sgng(x)1sgnx；當x0時，g(x)0，sgng(x)0sgnx也成立故B正確7設函數f(x)x|xa|，若對x1，x23，)，x1x2，不等式>0恒成立，則實數a的取值范圍是()A(，3 B3,0)C(，3 D(0,3答案C8.如圖所示的圖形是由一個半徑為2的圓和兩個半徑為1的半圓組成的，它們的圓心分別是O，O1，O2，動點P從A點出發(fā)沿著圓弧按AOBCADB的路線運動(其中A，O，O1，O2，B五點共線)，記點P運動的路程為x，設y|O1P|2，y與x的函數關系為yf(x)，則yf(x)的大致圖象是()答案A解析當x0，時，y1.當x(，2)時，設與的夾角為，|1，|2，所以x，所以y|2()254cos54cosx，x(，2)，所以函數yf(x)的圖象是曲線，且單調遞增，排除C，D.當x2，4)時，因為，設，的夾角為，|2，|1，所以2x，所以y|2()254cos54cosx，x2，4)，所以函數yf(x)的圖象是曲線，且單調遞減，排除B.故選A.9給出下列四個函數：y2x；ylog2x；yx2；y.當0<x1<x2<1時，使f>恒成立的函數的序號是_答案解析由題意知，滿足條件的函數圖象形狀為：故符合圖象形狀的函數為ylog2x，y.10已知f(x)在(，)上是增函數，那么實數a的取值范圍是_答案解析由題意得解得a<3.11能夠把圓O：x2y216的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數稱為圓O的“和諧函數”，下列函數是圓O的“和諧函數”的是_f(x)exex；f(x)ln；f(x)tan；f(x)4x3x.答案12已知二次函數f(x)ax2bx1(a>0)，F(xiàn)(x)若f(1)0，且對任意實數x均有f(x)0成立(1)求F(x)的表達式；(2)當x2,2時，g(x)f(x)kx是單調函數，求k的取值范圍解(1)f(1)0，ab10，ba1，f(x)ax2(a1)x1.f(x)0恒成立，即a1，從而b2，f(x)x22x1，F(xiàn)(x)(2)由(1)知，g(x)x22x1kxx2(2k)x1.g(x)在2,2上是單調函數，2或2，解得k2或k6.k的取值范圍是(，26，)