第2練　用好邏輯用語，突破充要條件 [題型分析高考展望]　邏輯用語是高考?？純?nèi)容，充分、必要條件是重點考查內(nèi)容，題型基本都是選擇題、填空題，題目難度以低、中檔為主，在二輪復(fù)習(xí)中，本部分應(yīng)該重點掌握四種命題的真假判斷、否命題與命題的否定的區(qū)別、含有量詞的命題的否定的求法、充分必要條件的判定與應(yīng)用，這些知識被考查的概率都較高，特別是充分、必要條件幾乎每年都有考查． 體驗高考 1．(2015山東)若m∈R, 命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是(　　) A．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0 答案　D 解析　原命題為“若p，則q”， 則其逆否命題為“若綈q，則綈p”． ∴所求命題為“若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0”． 2．(2016山東)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若直線a和直線b相交， 則平面α和平面β相交； 若平面α和平面β相交， 那么直線a和直線b可能平行或異面或相交， 故選A. 3．(2015重慶)“x＞1”是“(x＋2)＜0”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　(x＋2)＜0?x＋2＞1?x＞－1， 因此選B. 4．(2015四川)設(shè)a，b為正實數(shù)，則“a＞b＞1”是“l(fā)og2a＞log2b＞0”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若a＞b＞1，那么log2a＞log2b＞0；若log2a＞log2b＞0，那么a＞b＞1，故選A. 5．(2016浙江)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　) A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 答案　D 解析　全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，n≥x2的否定是n＜x2，故選D. 高考必會題型 題型一　命題及其真假判斷 常用結(jié)論： (1)原命題與逆否命題等價，同一個命題的逆命題、否命題等價；(2)四個命題中，真命題的個數(shù)為偶數(shù)；(3)只有p、q都假，p∨q假，否則為真，只有p、q都真，p∧q真，否則為假；(4)全稱命題的否定為特稱命題，特稱命題的否定為全稱命題，一個命題與其否定不會同真假． 例1　(1)(2015安徽)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 (2)命題p：若sin x＞sin y，則x＞y；命題q：x2＋y2≥2xy.下列命題為假命題的是(　　) A．p或q B．p且q C．q D．綈p 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)對于A，α，β垂直于同一平面，α，β關(guān)系不確定，故A錯；對于B，m，n平行于同一平面，m，n關(guān)系不確定，可平行、相交、異面，故B錯；對于C，α，β不平行，但α內(nèi)能找出平行于β的直線，如α中平行于α，β交線的直線平行于β，故C錯；對于D，若假設(shè)m，n垂直于同一平面，則m∥n，其逆否命題即為D選項，故D正確． (2)取x＝，y＝，可知命題p不正確；由(x－y)2≥0恒成立，可知命題q正確，故綈p為真命題，p或q是真命題，p且q是假命題． 點評　利用等價命題判斷命題的真假，是判斷命題真假快捷有效的方法．在解答時要有意識地去練習(xí)． 變式訓(xùn)練1　已知命題p：?x∈R，x2＞0，命題q：?α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β，則下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．p∨(綈q) C．(綈p)∧q D．p∧(綈q) 答案　C 解析　因為?x∈R，x2≥0，所以命題p是假命題，因為當(dāng)α＝－β時，tan(α＋β)＝tan α＋tan β，所以命題q是真命題，所以p∧q是假命題，p∨(綈q)是假命題，(綈p)∧q是真命題，p∧(綈q)是假命題． 題型二　充分條件與必要條件 例2　(1)(2015北京)設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α.則“m∥β”是“α∥β”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　m?α，m∥β?/ α∥β，但m?α，α∥β?m∥β， 所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件． (2)已知(x＋1)(2－x)≥0的解為條件p，關(guān)于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1＜0(m＞－)的解為條件q. ①若p是q的充分不必要條件時，求實數(shù)m的取值范圍； ②若綈p是綈q的充分不必要條件時，求實數(shù)m的取值范圍． 解　①設(shè)條件p的解集為集合A， 則A＝{x|－1≤x≤2}， 設(shè)條件q的解集為集合B， 則B＝{x|－2m－1＜x＜m＋1}， 若p是q的充分不必要條件， 則A是B的真子集解得m＞1. ②若綈p是綈q的充分不必要條件， 則B是A的真子集解得－＜m≤0. 點評　判斷充分、必要條件時應(yīng)注意的問題 (1)先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A. (2)舉出反例：如果從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行時，可以通過舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明． (3)準確轉(zhuǎn)化：若綈p是綈q的必要不充分條件，則p是q的充分不必要條件；若綈p是綈q的充要條件，那么p是q的充要條件． 變式訓(xùn)練2　(2015湖北)設(shè)a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比數(shù)列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，則(　　) A．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 C．p是q的充分必要條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 答案　B 解析　若p成立，設(shè)a1，a2，…，an的公比為q，則(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝a(1＋q2＋…＋q2n－4)a(1＋q2＋…＋q2n－4)＝aa(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，故q成立，故p是q的充分條件．取a1＝a2＝…＝an＝0，則q成立，而p不成立，故p不是q的必要條件，故選B. 題型三　與命題有關(guān)的綜合問題 例3　下列敘述正確的是(　　) A．命題：?x0∈R，使x＋sin x0＋2<0的否定為：?x∈R，均有x3＋sin x＋2<0 B．命題：“若x2＝1，則x＝1或x＝－1”的逆否命題為：若x≠1或x≠－1，則x2≠1 C．已知n∈N，則冪函數(shù)y＝x3n－7為偶函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞減的充分必要條件為n＝1 D．函數(shù)y＝log2的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱的充分必要條件為m＝1 答案　C 解析　A：命題：?x0∈R，使x＋sin x0＋2<0的否定為：?x∈R，均有x3＋sin x＋2≥0，故A錯誤； B：命題：若x2＝1，則x＝1或x＝－1的逆否命題為：若x≠1且x≠－1，則x2≠1，故B錯誤； C：因為冪函數(shù)y＝x3n－7在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 所以3n－7<0，解得n<，又n∈N， 所以n＝0,1或2；又y＝x3n－7為偶函數(shù)， 所以，n＝1，即冪函數(shù)y＝x3n－7為偶函數(shù)， 且在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞減的充分必要條件為n＝1， C正確； D：令y＝f(x)＝log2， 由其圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱，得f(x)＋f(2－x)＝0， 即log2＋log2 ＝log2＝0， ＝1. 整理得：m2＋2m－3＝0， 解得m＝1或m＝－3， 當(dāng)m＝－3時，＝－1<0， y＝log2無意義， 故m＝1. 所以，函數(shù)y＝log2圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱的充分必要條件為m＝1，故D錯誤． 點評　解決此類問題需要對每一個命題逐一作出判斷，需要有扎實的基礎(chǔ)知識，這是破解此類問題的前提條件．若需證明某命題為真，需要根據(jù)有關(guān)知識作出邏輯證明，但若需要證明某命題為假，只要舉出一個反例即可，因此，“找反例”是破解此類問題的重要方法之一． 變式訓(xùn)練3　下列命題： ①若ac2＞bc2，則a＞b； ②若sin α＝sin β，則α＝β； ③“實數(shù)a＝0”是“直線x－2ay＝1和直線2x－2ay＝1平行”的充要條件； ④若f(x)＝log2x，則f(|x|)是偶函數(shù)．其中正確命題的序號是________． 答案　①③④ 解析　對于①，ac2＞bc2，c2＞0，∴a＞b正確； 對于②，sin 30＝sin 150D?30＝150，∴②錯誤； 對于③，l1∥l2?A1B2＝A2B1， 即－2a＝－4a?a＝0且A1C2≠A2C1，∴③正確； ④顯然正確． 高考題型精練 1．已知復(fù)數(shù)z＝(a∈R，i為虛數(shù)單位)，則“a＞0”是“z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　z＝＝－(a＋3i)i＝3－ai，若z位于第四象限，則a＞0，反之也成立，所以“a＞0”是“z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限”的充要條件． 2．已知條件p：x＋y≠－2，條件q：x，y不都是－1，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　因為p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1， 所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1， 因為綈q?綈p但綈p?綈q， 所以綈q是綈p的充分不必要條件， 即p是q的充分不必要條件． 3．(2015湖北)l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線；q：l1，l2不相交，則(　　) A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 C．p是q的充分必要條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 答案　A 解析　兩直線異面，則兩直線一定無交點，即兩直線一定不相交；而兩直線不相交，有可能是平行，不一定異面，故兩直線異面是兩直線不相交的充分不必要條件，故選A. 4．(2016天津)設(shè){an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q＜0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n＜0”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　由題意得，a2n－1＋a2n＜0?a1(q2n－2＋q2n－1)＜0?q2(n－1)(q＋1)＜0?q∈(－∞，－1)，故是必要不充分條件，故選C. 5．設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　當(dāng)四邊形ABCD為菱形時，必有對角線互相垂直，即AC⊥BD；當(dāng)四邊形ABCD中AC⊥BD時，四邊形ABCD不一定是菱形，還需要AC與BD互相平分．綜上知，“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件． 6．已知命題p：?x∈R，x3＜x4；命題q：?x0∈R，sin x0－cos x0＝－，則下列命題中為真命題的是(　　) A．p∧q B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q) 答案　B 解析　若x3＜x4，則x＜0或x＞1，∴命題p為假命題；若sin x－cos x＝sin＝－，則x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)， ∴命題q為真命題，∴(綈p)∧q為真命題． 7．(2016四川)設(shè)p：實數(shù)x，y滿足x>1且y>1，q：實數(shù)x，y滿足x＋y>2，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　? 故p是q的充分不必要條件 8．下列5個命題中正確命題的個數(shù)是(　　) ①“若log2a＞0，則函數(shù)f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題； ②m＝3是直線(m＋3)x＋my－2＝0與直線mx－6y＋5＝0互相垂直的充要條件； ③已知回歸直線的斜率的估計值為1.23，樣本點的中心為(4,5)，則線性回歸方程為＝1.23x＋0.08； ④若實數(shù)x，y∈[－1,1]，則滿足x2＋y2≥1的概率為； ⑤命題“若a∈M，則b?M”與命題“若b∈M，則a?M”等價． A．2 B．3 C．4 D．5 答案　A 解析?、馘e，若log2a＞0＝log21，則a＞1， 所以函數(shù)f(x)＝logax在其定義域內(nèi)是增函數(shù)； ②錯，當(dāng)m＝0時，兩直線也垂直， 所以m＝3是兩直線垂直的充分不必要條件； ③正確，將樣本點的中心的坐標代入，滿足方程； ④錯，實數(shù)x，y∈[－1,1]表示的平面區(qū)域為邊長為2的正方形，其面積為4，而x2＋y2＜1所表示的平面區(qū)域的面積為π，所以滿足x2＋y2≥1的概率為； ⑤正確，不難看出，命題“若a∈M，則b?M”與命題“若b∈M，則a?M”是互為逆否命題，因此二者等價，所以正確． 9．在直角坐標系中，點(2m＋3－m2，)在第四象限的充要條件是____________________． 答案?。?<m<或2<m<3 解析　點(2m＋3－m2，)在第四象限 ??－1<m<或2<m<3. 10．已知函數(shù)f(x)＝4|a|x－2a＋1.若命題：“?x0∈(0,1)，使f(x0)＝0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為________． 答案　 解析　由于f(x)是單調(diào)函數(shù)，在(0,1)上存在零點， 應(yīng)有f(0)f(1)＜0， 解不等式求出實數(shù)a的取值范圍． 由f(0)f(1)＜0?(1－2a)(4|a|－2a＋1)＜0 ? 或 ?a＞. 11．下列結(jié)論： ①若命題p：?x0∈R，tan x0＝2；命題q：?x∈R，x2－x＋＞0.則命題“p∧(綈q)”是假命題； ②已知直線l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，則l1⊥l2的充要條件是＝－3； ③“設(shè)a，b∈R，若ab≥2，則a2＋b2＞4”的否命題為：“設(shè)a，b∈R，若ab＜2，則a2＋b2≤4”． 其中正確結(jié)論的序號為__________．(把你認為正確結(jié)論的序號都填上) 答案?、佗? 解析　在①中，命題p是真命題，命題q也是真命題，故“p∧(綈q)”是假命題是正確的． 在②中，由l1⊥l2，得a＋3b＝0，所以②不正確． 在③中，“設(shè)a，b∈R，若ab≥2，則a2＋b2＞4”的否命題為：“設(shè)a，b∈R，若ab＜2，則a2＋b2≤4”正確． 12．已知條件p：≤－1，條件q：x2－x＜a2－a，且綈q的一個充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是________． 答案　[0,1] 解析　由≤－1， 得－3≤x＜1. 由x2－x＜a2－a， 得(x－a)[x＋(a－1)]＜0， 當(dāng)a＞1－a，即a＞時， 不等式的解為1－a＜x＜a； 當(dāng)a＝1－a， 即a＝時，不等式的解為?； 當(dāng)a＜1－a， 即a＜時，不等式的解為a＜x＜1－a. 由綈q的一個充分不必要條件是綈p， 可知綈p是綈q的充分不必要條件， 即p為q的一個必要不充分條件， 即條件q對應(yīng)的x取值集合是條件p對應(yīng)的x取值集合的真子集． 當(dāng)a＞時， 由{x|1－a＜x＜a}{x|－3≤x＜1}， 得解得＜a≤1； 當(dāng)a＝時， 因為空集是任意一個非空集合的真子集， 所以滿足條件； 當(dāng)a＜時， 由{x|a＜x＜1－a}{x|－3≤x＜1}， 得解得0≤a＜. 綜上，a的取值范圍是[0,1]．