第36練不等式選講題型分析高考展望本部分主要考查絕對(duì)值不等式的解法求含絕對(duì)值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對(duì)值不等式中參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等，結(jié)合集合的運(yùn)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式，絕對(duì)值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn)，主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想體驗(yàn)高考1(2016課標(biāo)全國(guó)甲)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)<2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|<|1ab|.(1)解f(x)當(dāng)x時(shí)，由f(x)<2得2x<2，解得x>1，所以1<x；當(dāng)<x<時(shí)，f(x)<2；當(dāng)x時(shí)，由f(x)<2得2x<2，解得x<1，所以，<x<1.所以f(x)<2的解集Mx|1<x<1(2)證明由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1<a<1，1<b<1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)<0，即(ab)2<(1ab)2，因此|ab|<|1ab|.2(2016課標(biāo)全國(guó)丙)已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|2x1|.當(dāng)xR時(shí)，f(x)g(x)3，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集為x|1x3(2)當(dāng)xR時(shí)，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，當(dāng)x時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)xR時(shí)，f(x)g(x)3等價(jià)于|1a|a3.當(dāng)a1時(shí)，等價(jià)于1aa3，無解當(dāng)a1時(shí)，等價(jià)于a1a3，解得a2.所以a的取值范圍是2，)高考必會(huì)題型題型一含絕對(duì)值不等式的解法含有絕對(duì)值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a；(3)對(duì)形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解例1已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2x4時(shí)，f(x)4|x4|無解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以于是a3.點(diǎn)評(píng)(1)用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：求零點(diǎn)；劃區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào)；分別解去掉絕對(duì)值的不等式；取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值(2)用圖象法、數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對(duì)值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡(jiǎn)潔直觀，是一種較好的方法變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)|x2|x5|.(1)證明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集(1)證明f(x)|x2|x5|當(dāng)2<x<5時(shí)，3<2x7<3.所以3f(x)3.(2)解由(1)可知，當(dāng)x2時(shí)，f(x)x28x15的解集為空集；當(dāng)2<x<5時(shí)，f(x)x28x15的解集為x|5x<5；當(dāng)x5時(shí)，f(x)x28x15的解集為x|5x6綜上，不等式f(x)x28x15的解集為x|5x6題型二不等式的證明1含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)|a|b|ab|a|b|.2算術(shù)幾何平均不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a、b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1，a2，an為n個(gè)正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立例2(1)已知x，y均為正數(shù)，且x>y.求證：2x2y3.(2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足：|xy|<，|2xy|<，求證：|y|<.證明(1)因?yàn)閤>0，y>0，xy>0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3，(2)因?yàn)?|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由題設(shè)知|xy|<，|2xy|<，從而3|y|<，所以|y|<.點(diǎn)評(píng)(1)作差法應(yīng)該是證明不等式的常用方法作差法證明不等式的一般步驟：作差；分解因式；與0比較；結(jié)論關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力(2)在不等式的證明中，適當(dāng)“放”“縮”是常用的推證技巧變式訓(xùn)練2(1)若a，bR，求證：.(2)已知a，b，c均為正數(shù)，ab1，求證：1.證明(1)當(dāng)|ab|0時(shí)，不等式顯然成立當(dāng)|ab|0時(shí)，由0<|ab|a|b|，所以.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，所以1.題型三柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式(1)設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)等號(hào)成立(2)設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實(shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時(shí)，等號(hào)成立例3(2015福建)已知a0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解(1)因?yàn)閒(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，當(dāng)且僅當(dāng)axb時(shí)，等號(hào)成立又a0，b0，所以|ab|ab.所以f(x)的最小值為abc.又已知f(x)的最小值為4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)2(abc)216，即a2b2c2.當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b，c時(shí)等號(hào)成立故a2b2c2的最小值為.點(diǎn)評(píng)(1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時(shí)，就可使用柯西不等式進(jìn)行證明(2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為(aaa)()(111)2n2.在使用柯西不等式時(shí)，要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號(hào)成立的條件變式訓(xùn)練3已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23.(1)解因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x2時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)證明由(1)知pqr3，又因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.高考題型精練1如果關(guān)于x的不等式|x3|x4|<a的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解設(shè)y|x3|x4|，則y的圖象如圖所示：若|x3|x4|<a的解集不是空集，則(|x3|x4|)min<a.由圖象可知當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集不是空集即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，)2設(shè)x>0，y>0，若不等式0恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值解x>0，y>0，原不等式可化為()(xy)2.2224，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立()(xy)min4，4，4.即實(shí)數(shù)的最小值是4.3若不等式|2x1|x2|a2a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解設(shè)y|2x1|x2|當(dāng)x<2時(shí)，y3x1>5；當(dāng)2x<時(shí)，yx3>；當(dāng)x時(shí)，y3x1，故函數(shù)y|2x1|x2|的最小值為.因?yàn)椴坏仁絴2x1|x2|a2a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范圍為1，4設(shè)不等式|x2|<a(aN*)的解集為A，且A，A，(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)|xa|x2|的最小值解(1)因?yàn)锳，且A，所以<a，且a，解得<a.又因?yàn)閍N*，所以a1.(2)因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(x2)0，即1x2時(shí)取到等號(hào)，所以f(x)的最小值為3.5已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)<4的解集為M.(1)求M；(2)當(dāng)a，bM時(shí)，證明：2|ab|<|4ab|.(1)解f(x)|x1|x1|當(dāng)x<1時(shí)，由2x<4，得2<x<1；當(dāng)1x1時(shí)，f(x)2<4；當(dāng)x>1時(shí)，由2x<4，得1<x<2.綜上可得2<x<2，即M(2,2)(2)證明a，bM，即2<a<2，2<b<2，4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)<0，4(ab)2<(4ab)2，2|ab|<|4ab|.6已知a22b23c26，若存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得不等式a2b3c>|x1|成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍解由柯西不等式知12()2()2a2(b)2(c)2(1abc)2即6(a22b23c2) (a2b3c)2.又a22b23c26，66(a2b3c)2，6a2b3c6，存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得不等式a2b3c>|x1|成立|x1|<6，7<x<5.x的取值范圍是x|7<x<57設(shè)函數(shù)f(x)|xa|3x，其中a>0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集為x|x1，求a的值解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)3x2可化為|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集為x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化為不等式組或即或因?yàn)閍>0，所以不等式組的解集為x|x由題設(shè)可得1，故a2.8(2015課標(biāo)全國(guó))已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)>1化為|x1|2|x1|1>0.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x4>0，無解；當(dāng)1<x<1時(shí)，不等式化為3x2>0，解得<x<1；當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x2>0，解得1x<2.所以f(x)>1的解集為.(2)由題設(shè)可得，f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面積為(a1)2.由題設(shè)得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范圍為(2，)