專題五 立體幾何 第三講 空間向量與立體幾何適考素能特訓(xùn) 理一、選擇題12015陜西西安質(zhì)檢若平面，的法向量分別是n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則()A BC，相交但不垂直 D以上答案均不正確答案C解析n1n22(3)(3)15(4)0，n1與n2不垂直，且不共線與相交但不垂直2如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()A. B.C. D.答案A解析不妨設(shè)CB1，則B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)(0,2，1)，(2,2,1)cos，故選A.32016湖南懷化檢測(cè) 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1MAN，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A斜交 B平行C垂直 DMN在平面BB1C1C內(nèi)答案B解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于A1MAN，則M，N，.又C1D1平面BB1C1C，所以(0，a,0)為平面BB1C1C的一個(gè)法向量因?yàn)?，所以，所以MN平面BB1C1C.42014四川高考 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上，直線OP與平面A1BD所成的角為，則sin的取值范圍是()A. B.C. D.答案B解析(1)解法一：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示不妨設(shè)DCDADD11，則D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，O，并設(shè)點(diǎn)P(0,1，t)，且0t1.則，(1,0，1)，(0,1，1)設(shè)平面A1BD的法向量為n(x0，y0，z0)，則有即取x01，y01，z01，n(1，1，1)sin|cos，n|(0t1)，sin2，0t1.令f(t)，0t1.則f(t)，可知當(dāng)t時(shí)，f(t)>0；當(dāng)t時(shí)，f(t)0.又f(0)，f1，f(1)，fmax(t)f1，fmin(t)f(0).sin的最大值為1，最小值為.sin的取值范圍為，故選B.解法二：易證AC1平面A1BD，當(dāng)點(diǎn)P在線段CC1上從C運(yùn)動(dòng)到C1時(shí)，直線OP與平面A1BD所成的角的變化情況：AOA1C1OA1(點(diǎn)P為線段CC1的中點(diǎn)時(shí)，)由于sinAOA1，sinC1OA1>，sin1，所以sin的取值范圍是，故選B.二、填空題52016江蘇蘇州二模已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CG平面ABCD，CG2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面GEF的距離為_答案解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為G(0,0,2)，F(xiàn)(4,2,0)，E(2,4,0)，C(0,0,0)，則(0,0,2)，(4,2，2)，(2,4，2)設(shè)平面GEF的法向量為n(x，y，z)，由得平面GEF是一個(gè)法向量為n(1,1,3)，所以點(diǎn)C到平面GEF的距離d.三、解答題62015甘肅天水一模 如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為梯形，ADBC，AD平面SCD，ADDC2，BC1，SD2，SDC120.(1)求SC與平面SAB所成角的正弦值；(2)求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值解如圖，在平面SCD中，過點(diǎn)D作DC的垂線交SC于E，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則有D(0,0,0)，S(0，1，)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(1,2,0)(1)設(shè)平面SAB的法向量為n(x，y，z)，(1,2,0)，(2，1，)，An0，An0，取y，得n(2，5)又(0,3，)，設(shè)SC與平面SAB所成角為，則sin|cosS，n|，故SC與平面SAB所成角的正弦值為.(2)設(shè)平面SAD的法向量為m(a，b，c)，D(2,0,0)，D(0，1，)，則有取b，得m(0，1)cosn，m，故平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是.72014全國(guó)卷如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，ABB1C.(1)證明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值解(1)證明：連接BC1，交B1C于點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形，所以B1CBC1，且O為B1C及BC1的中點(diǎn)又ABB1C，所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO，故B1CAO.又B1OCO，故ACAB1.(2)因?yàn)锳CAB1，且O為B1C的中點(diǎn)，所以AOCO.又因?yàn)锳BBC，所以BOABOC.故OAOB，從而OA，OB，OB1兩兩互相垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)镃BB160，所以CBB1為等邊三角形，又ABBC，則A，B(1,0,0)，B1，C.，.設(shè)n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，則即所以可取n(1，)設(shè)m是平面A1B1C1的法向量，則同理可取m(1，)則cosn，m.易知二面角AA1B1C1為銳二面角所以二面角AA1B1C1的余弦值為.82016合肥質(zhì)檢 如圖，六面體ABCDHEFG中，四邊形ABCD為菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DADHDB4，AECG3.(1)求證：EGDF；(2)求BE與平面EFGH所成角的正弦值解(1)證明：連接AC，由AE綊CG可知四邊形AEGC為平行四邊形，所以EGAC，而ACBD，ACBF，所以EGBD，EGBF，因?yàn)锽DBFB，所以EG平面BDHF，又DF平面BDHF，所以EGDF.(2)設(shè)ACBDO，EGHFP，由已知可得：平面ADHE平面BCGF，所以EHFG，同理可得：EFHG，所以四邊形EFGH為平行四邊形，所以P為EG的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P綊AE，從而OP平面ABCD，又OAOB，所以O(shè)A，OB，OP兩兩垂直，由平面幾何知識(shí)，得BF2.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz則B(0,2,0)，E(2，0,3)，F(xiàn)(0,2,2)，P(0,0,3)，所以(2，2,3)，(2，0,0)，(0,2，1)設(shè)平面EFGH的法向量為n(x，y，z)，由可得令y1，則z2.所以n(0,1,2)設(shè)BE與平面EFGH所成角為，則sin.92016河南六市聯(lián)考 如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABB1A1為矩形，ABBC1，AA1，D為AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，BCAB1.(1)證明：CDAB1；(2)若OC，求二面角ABCB1的余弦值解(1)證明：由AB1B與DBA相似，知BDAB1，又BCAB1，BDBCB，AB1平面BDC，CD平面BDC，CDAB1.(2)由于OC，BC1，在ABD中，可得OB，BOC是直角三角形，BOCO.由(1)知COAB1，則CO平面ABB1A1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OD，OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A，B，C，B1，設(shè)平面ABC，平面BCB1的法向量分別為n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，則n1(，1，)，n2(1，2)，cosn1，n2，又二面角ABCB1為鈍二面角，二面角ABCB1的余弦值為.102015天津高考 如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且點(diǎn)M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)(1)求證：MN平面ABCD；(2)求二面角D1ACB1的正弦值；(3)設(shè)E為棱A1B1上的點(diǎn)，若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段A1E的長(zhǎng)解如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(2,0,0)，D(1，2,0)，A1(0,0,2)，B1(0,1,2)，C1(2,0,2)，D1(1，2,2)又因?yàn)镸，N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)，得M，N(1，2,1)(1)證明：依題意，可得n(0,0,1)為平面ABCD的一個(gè)法向量.由此可得n0，又因?yàn)橹本€MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)(1，2,2)，(2,0,0)設(shè)n1(x1，y1，z1)為平面ACD1的法向量，則即不妨設(shè)z11，可得n1(0,1,1)設(shè)n2(x2，y2，z2)為平面ACB1的法向量，則又(0,1,2)，得不妨設(shè)z21，可得n2(0，2，1)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2，所以，二面角D1ACB1的正弦值為.(3)依題意，可設(shè)，其中0,1，則E(0，2)，從而(1，2,1)又n(0,0,1)為平面ABCD的一個(gè)法向量，由已知，得cos，n，整理得2430，又因?yàn)?,1，解得2.所以，線段A1E的長(zhǎng)為2.112015洛陽統(tǒng)考如圖，四邊形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EFAB.現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC.(1)若BE1，是否在折疊后的線段AD上存在一點(diǎn)P，且，使CP平面ABEF？若存在，求出的值，若不存在，說明理由；(2)求三棱錐ACDF的體積的最大值，并求出此時(shí)二面角EACF的余弦值解平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDCEF，F(xiàn)DEF，F(xiàn)D平面ABEF，又AF平面ABEF，F(xiàn)DAF，在折起過程中，AFEF，又FDEFF，AF平面EFDC.以F為原點(diǎn)，F(xiàn)E，F(xiàn)D，F(xiàn)A分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(1)解法一：若BE1，則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：F(0,0,0)，A(0,0,1)，D(0,5,0)，C(2,3,0)，平面ABEF的法向量可為(0,5,0)，()，(0,0,1)(0,5,0)，P，若CP平面ABEF，則必有，即0，(0,5,0)50，AD上存在一點(diǎn)P，且，使CP平面ABEF.解法二：AD上存在一點(diǎn)P，使CP平面ABEF，此時(shí).理由如下：當(dāng)時(shí)，可知，過點(diǎn)P作MPFD交AF于點(diǎn)M，連接EM，PC，則有，又BE1，可得FD5，故MP3，又EC3，MPFDEC，故有MP綊EC，故四邊形MPCE為平行四邊形，CPME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，故有CP平面ABEF.(2)設(shè)BEx(0<x4)，則AFx，F(xiàn)D6x，故V三棱錐ACDF2(6x)x(x26x)，當(dāng)x3時(shí)，V三棱錐ACDF有最大值，且最大值為3，A(0,0,3)，D(0,3,0)，C(2,1,0)，E(2,0,0)，(2,0，3)，(2,1，3)，(0,0,3)，(2,1,0)，設(shè)平面ACE的法向量m(x1，y1，z1)，則即令x13，則y10，z12，則m(3,0,2)設(shè)平面ACF的法向量n(x2，y2，z2)，則即令x21，則y22，z20，則n(1，2,0)，則cosm，n，故二面角EACF的余弦值為.122016山東名校聯(lián)考 如圖，在多面體ABCA1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，三角形A1CB是等邊三角形，ACAB1，B1C1BC，BC2B1C1.(1)求證：AB1平面A1C1C；(2)若點(diǎn)M是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(包括A，B兩端點(diǎn))，試確定點(diǎn)M的位置，使得平面A1C1C與平面MA1C1夾角的余弦值為.解(1)證明：取BC的中點(diǎn)E，連接AE，C1E，B1E，B1C1BC，BC2B1C1，B1C1EC，B1C1EC，四邊形CEB1C1為平行四邊形，從而B1EC1C.又C1C平面A1C1C，B1E平面A1C1C，B1E平面A1C1C.又易知B1C1BE，B1C1BE，四邊形B1C1EB是平行四邊形，B1BC1E，B1BC1E，又四邊形ABB1A1是正方形，AA1BB1，AA1BB1，AA1C1E，A1AC1E，四邊形AEC1A1為平行四邊形，AEA1C1.又A1C1平面A1C1C，AE平面A1C1C，AE平面A1C1C.根據(jù)，結(jié)合AEB1EE可得，平面B1AE平面A1C1C.又AB1平面B1AE，故AB1平面A1C1C.(2)四邊形ABB1A1為正方形，A1AABAC1，AA1AB.又三角形A1CB為等邊三角形，A1CBCA1B.由勾股定理的逆定理可得A1AC90，BAC90，即A1AAC，ABAC.經(jīng)過點(diǎn)A的三條直線AA1，AC，AB兩兩垂直從而，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則C(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1.設(shè)M(0，t,0)(0t1)，則(1,0,1)，(0，t，1)設(shè)平面A1C1C的法向量為n1(x，y，z)，則即令z1，則x1，y1，n1(1，1,1)為平面A1C1C的一個(gè)法向量設(shè)平面MA1C1的法向量為n2(m，n，k)，則即令n1，則m1，kt，n2(1,1，t)為平面MA1C1的一個(gè)法向量由題設(shè)得|cosn1，n2|，即，又0t1，t1.故當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，平面A1C1C與平面MA1C1夾角的余弦值為.典題例證2016全國(guó)卷如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60.(1)證明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值.審題過程利用線面垂直可推證面面垂直建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角.(1)證明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)過D作DGEF，垂足為G，由(1)知DG平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由(1)知DFE為二面角DAFE的平面角，故DFE60，則DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知，ABEF，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF為二面角CBEF的平面角，CEF60.從而可得C(2,0，)連接AC，則(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)設(shè)n(x，y，z)是平面BCE的法向量，則即所以可取n(3,0，)設(shè)m是平面ABCD的法向量，則同理可取m(0，4)則cosn，m.故二面角EBCA的余弦值為.模型歸納利用向量求空間角的模型示意圖如下：