專題六 解析幾何 第三講 圓錐曲線的綜合應用適考素能特訓 理一、選擇題12016天津津南一模平面直角坐標系中，已知兩點A(3,1)，B(1,3)，若點C滿足12(O為原點)，其中1，2R，且121，則點C的軌跡是()A直線 B橢圓C圓 D雙曲線答案A解析設(shè)C(x，y)，因為12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又121，所以1，即x2y5，所以點C的軌跡為直線，故選A.22016長春質(zhì)檢過雙曲線x21的右支上一點P，分別向圓C1：(x4)2y24和圓C2：(x4)2y21作切線，切點分別為M，N，則|PM|2|PN|2的最小值為()A10 B13C16 D19答案B解析由題可知，|PM|2|PN|2(|PC1|24)(|PC2|21)，因此|PM|2|PN|2|PC1|2|PC2|23(|PC1|PC2|)(|PC1|PC2|)32(|PC1|PC2|)32|C1C2|313.故選B.32016山西質(zhì)檢已知F1、F2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，且|F1F2|2，若P是該雙曲線右支上的一點，且滿足|PF1|2|PF2|，則PF1F2面積的最大值是()A1 B.C. D2答案B解析|PF1|4a，|PF2|2a，設(shè)F1PF2，cos，S2PF1F2216a492，當且僅當a2時，等號成立，故SPF1F2的最大值是，故選B.42016云南統(tǒng)檢已知雙曲線M的焦點F1、F2在x軸上，直線x3y0是雙曲線M的一條漸近線，點P在雙曲線M上，且0，如果拋物線y216x的準線經(jīng)過雙曲線M的一個焦點，那么|()A21 B14C7 D0答案B解析設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，直線x3y0是雙曲線M的一條漸近線，又拋物線的準線為x4，c4又a2b2c2由得a3.設(shè)點P為雙曲線右支上一點，由雙曲線定義得|PF1|PF2|6又0，在RtPF1F2中|2|282聯(lián)立，解得|14.二、填空題52016河南洛陽統(tǒng)考已知F1、F2分別是雙曲線3x2y23a2(a>0)的左、右焦點，P是拋物線y28ax與雙曲線的一個交點，若|PF1|PF2|12，則拋物線的準線方程為_答案x2解析將雙曲線方程化為標準方程得1，拋物線的準線為x2a，聯(lián)立x3a，即點P的橫坐標為3a.而由|PF2|6a，又易知F2為拋物線的焦點，|PF2|3a2a6a，得a1，拋物線的準線方程為x2.62016南昌一模已知拋物線C：x24y的焦點為F，過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點設(shè)直線l是拋物線C的切線，且lMN，P為l上一點，則的最小值為_答案14解析由題意知F(0,1)，所以過點F且斜率為1的直線方程為yx1，代入x24y，整理得x24x40，解得x22，所以可取M(22，32)，N(22，32)，因為lMN，所以可設(shè)l的方程為yxm，代入x24y，整理得x24x4m0，又直線l與拋物線相切，所以(4)24(4m)0，所以m1，l的方程為yx1.設(shè)點P(x，x1)，則(2x2，4x2)，(2x2，4x2)，(2x)28(4x)282x212x42(x3)21414.72016石家莊質(zhì)檢設(shè)拋物線C：y24x的焦點為F，過F的直線l與拋物線交于A，B兩點，M為拋物線C的準線與x軸的交點，若tanAMB2，則|AB|_.答案8解析依題意作出圖象如圖所示，設(shè)l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，y24my40，y1y24m，y1y24，x1x21，x1x2m(y1y2)24m22，tanAMBtan(AMFBMF)，2，2，y1y24m2，44m2，m21，|AB|AF|BF|x11x214m248.三、解答題82016合肥質(zhì)檢設(shè)A，B為拋物線y2x上相異兩點，其縱坐標分別為1，2，分別以A，B為切點作拋物線的切線l1，l2，設(shè)l1，l2相交于點P.(1)求點P的坐標；(2)M為A，B間拋物線段上任意一點，設(shè)，試判斷是否為定值？如果為定值，求出該定值；如果不是定值，請說明理由解(1)知A(1,1)，B(4，2)，設(shè)點P坐標為(xP，yP)，切線l1：y1k(x1)，聯(lián)立由拋物線與直線l1相切，解得k，即l1：yx，同理l2：yx1，聯(lián)立l1，l2的方程，可解得即點P的坐標為.(2)設(shè)M(y，y0)，且2y01，由得，即解得則1，即為定值1.92016山西四校二聯(lián)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2xy60相切(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知點A，B為動直線yk(x2)(k0)與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點E，使得2為定值？若存在，試求出點E的坐標和定值；若不存在，請說明理由解(1)由e得，即ca.又以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2y2a2，且該圓與直線2xy60相切，所以a，代入得c2，所以b2a2c22.所以橢圓C的標準方程為1.(2)由得(13k2)x212k2x12k260.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.根據(jù)題意，假設(shè)x軸上存在定點E(m,0)，使得2()為定值，則(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)，要使上式為定值，即與k無關(guān)，3m212m103(m26)，得m.此時，2m26，所以在x軸上存在定點E使得2為定值，且定值為.102016云南統(tǒng)考已知焦點在y軸上的橢圓E的中心是原點O，離心率等于，以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4.直線l：ykxm與y軸交于點P，與橢圓E交于A，B兩個相異點，且.(1)求橢圓E的方程；(2)是否存在m，使4？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由解(1)根據(jù)已知設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0)，焦距為2c，由已知得，ca，b2a2c2.以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4，42a4，a2，b1.橢圓E的方程為x21.(2)根據(jù)已知得P(0，m)，由，得()(1).4，(1)4.若m0，由橢圓的對稱性得，即0.m0能使4成立若m0，則14，解得3.設(shè)A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由得(k24)x22mkxm240，由已知得4m2k24(k24)(m24)>0，即k2m24>0，且x1x2，x1x2.由3得x13x2，即x13x2.3(x1x2)24x1x20，0，即m2k2m2k240.當m21時，m2k2m2k240不成立k2.k2m24>0，m24>0，即>0.1<m2<4，解得2<m<1或1<m<2.綜上，當2<m<1，或m0，或1<m<2時，4.112015南寧適應性測試(二)已知拋物線C：y2x2，直線l：ykx2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N.(1)證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；(2)是否存在實數(shù)k，使以AB為直徑的圓M經(jīng)過點N？若存在，求k的值；若不存在，說明理由解(1)證法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，把ykx2代入y2x2中，得2x2kx20，x1x2.xNxM，N點的坐標為.(2x2)4x，(2x2)k，即拋物線在點N處的切線的斜率為k.直線l：ykx2的斜率為k，切線平行于AB.證法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，把ykx2代入y2x2中，得2x2kx20，x1x2.xNxM，N點的坐標為.設(shè)拋物線在點N處的切線l1的方程為ym，將y2x2代入上式得2x2mx0，直線l1與拋物線C相切，m28m22mkk2(mk)20，mk，即l1AB.(2)假設(shè)存在實數(shù)k，使以AB為直徑的圓M經(jīng)過點N.M是AB的中點，|MN|AB|.由(1)知yM(y1y2)(kx12kx22)k(x1x2)42，MNx軸，|MN|yMyN|2.|AB|.，k2，存在實數(shù)k2，使以AB為直徑的圓M經(jīng)過點N.122016湖南聯(lián)考已知圓F1：(x1)2y2r2與F2：(x1)2y2(4r)2(0<r<4)的公共點的軌跡為曲線E，且曲線E與y軸的正半軸相交于點M.(1)求E的方程；(2)若曲線E上相異兩點A，B滿足直線MA，MB的斜率之積為.()判斷直線AB是否恒過定點？如果過定點，求出定點的坐標；如果不過定點，請說明理由；()求ABM的面積的最大值解(1)設(shè)F1，F(xiàn)2的公共點為Q，由已知得|F1F2|2，|QF1|r，|QF2|4r，故|QF1|QF2|4>|F1F2|，因此曲線E是長軸長2a4，焦距2c2的橢圓，且b2a2c23，所以曲線E的方程為1.(2)()由曲線E的方程得上頂點M(0，)，記A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知x10，x20.若直線AB的斜率不存在，則直線AB的方程為xx1，故y1y2，且yy3，因此，kMAkMB，與已知不符，因此直線AB的斜率存在設(shè)直線AB：ykxm，代入橢圓E的方程1，得(34k2)x28kmx4(m23)0.因為直線AB與曲線E有公共點A，B，所以方程有兩個非零不等實根x1，x2，所以x1x2，x1x2.又kAM，kMB.由kAMkBM得4(kx1m)(kx2m)x1x2，即(4k21)x1x24k(m)(x1x2)4(m)20，所以4(m23)(4k21)4k(m)(8km)4(m)2(34k2)0，化簡得m23m60，故m或m2.結(jié)合x1x20知m2，即直線AB恒過定點N(0,2)()由>0且m2得k>或k<，又SABM|SANMSBNM|MN|x1x2| ，當且僅當4k2912，即k時，ABM的面積最大，最大值為.典題例證2016山東高考 平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的離心率是，拋物線E：x22y的焦點F是C的一個頂點(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D.直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.求證：點M在定直線上；直線l與y軸交于點G，記PFG的面積為S1，PDM的面積為S2，求的最大值及取得最大值時點P的坐標審題過程由條件求出橢圓方程，設(shè)出P點坐標，求出切線方程后與橢圓方程聯(lián)立，順次求點D、M的坐標利用表面公式表示出，由函數(shù)知識求最值注意設(shè)而不求思想的運用.(1)由題意知，可得：a24b2，因為拋物線E的焦點F，所以b，a1， 所以橢圓C的方程為x24y21.(2)證明：設(shè)P(m>0)由x22y，可得yx，所以直線l的斜率為m.因此直線l的方程為ym(xm)，即ymx，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)聯(lián)立方程得(4m21)x24m3xm410.由>0，得0<m<(或0<m2<2)，(*)且x1x2，因此x0，將其代入ymx，得y0，因為，所以直線OD的方程為yx.聯(lián)立方程得點M的縱坐標yM，所以點M在定直線y上由知直線l的方程為ymx.令x0，得y，所以G.又P，F(xiàn)，D，所以S1|GF|m，S2|PM|mx0|.所以.設(shè)t2m21.則2，當，即t2時，取得最大值，此時m，滿足(*)式，所以P點的坐標為，因此的最大值為，此時點P的坐標為.模型歸納求圓錐曲線中定點(定值、定直線)、最值問題的模型示意圖如下：