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高考小題分項練4　函數(shù)與導數(shù) 1．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f′(1)＝________. 答案?。? 解析　∵f′(x)＝2f′(1)＋， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1. 2．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，則不等式exf(x)>ex＋3(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為__________． 答案　(0，＋∞) 解析　令g(x)＝exf(x)－ex， ∴g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex ＝ex[f(x)＋f′(x)－1]， ∵f(x)＋f′(x)>1，∴g′(x)>0， ∴y＝g(x)在定義域上單調(diào)遞增， ∵exf(x)>ex＋3，∴g(x)>3， ∵g(0)＝3，∴g(x)>g(0)，∴x>0. 3．若函數(shù)f(x)的定義域為R，f′(x)>2恒成立，f(－1)＝2，則f(x)>2x＋4的解集為__________． 答案　(－1，＋∞) 解析　設(shè)F(x)＝f(x)－(2x＋4)， 則F(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝2－2＝0， 又∵對任意x∈R，f′(x)>2， ∴F′(x)＝f′(x)－2>0，即F(x)在R上單調(diào)遞增． ∴F(x)>0的解集為(－1，＋∞)， 即f(x)>2x＋4的解集為(－1，＋∞)． 4．若函數(shù)f(x)＝－(x－2)2＋bln x在(1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是____________． 答案　(－∞，－1] 解析　由題意可知f′(x)＝－x＋2＋≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x (x∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可． 5．已知函數(shù)f(x)＝x|x2－a|，若存在x∈[1,2]，使得f(x)<2，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(－1,5) 解析　當a≤0時，f(x)＝x(x2－a)，f′(x)＝3x2－a≥0，因此f(x)min＝f(1)<2,1－a<2，a>－1，即－10時，若∈[1,2]，則f()＝0<2，滿足條件，即1≤a≤4；若?[1,2]，則f(x)min＝min{f(1)，f(2)}<2，即|a－1|<2或2|a－4|<2，解得－1e>ln 2知<<，即c0. ∴不等式f(x)0，－2＋3＝－，－23＝，b＝－，c＝－18a，函數(shù)f(x)在x＝3處取得極小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2. 10．函數(shù)f(x)＝x3－3x－1，若對于區(qū)間[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實數(shù)t的最小值是________． 答案　20 解析　因為f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)， 令f′(x)＝0，得x＝1，可知－1,1為函數(shù)的極值點． 又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1， 所以在區(qū)間[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19. 由題設(shè)知在區(qū)間[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t， 從而t≥20，所以t的最小值是20. 11．已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)＝x2－aln x在(1,2)上為增函數(shù)，則a的值等于________． 答案　2 解析　∵函數(shù)f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上為減函數(shù)， ∴≥1，得a≥2.又∵g′(x)＝2x－， 依題意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立， 得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2.∴a＝2. 12．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不單調(diào)，則t的取值范圍是__________． 答案　00， ∴f(x)在[，1]上單調(diào)遞減，在[1,2]上單調(diào)遞增， ∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a的最大值為0. 14．已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是________． 答案　(－∞，－2) 解析　由已知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝. 若a>0，當x∈(－∞，0)時，f′(x)>0； 當x∈(0，)時，f′(x)<0； 當x∈(，＋∞)時，f′(x)>0. 因為f(0)＝1>0， 易知此時有小于零的零點，不符合題意． 若a<0，當x∈(－∞，)時，f′(x)<0； 當x∈(，0)時，f′(x)>0； 當x∈(0，＋∞)時，f′(x)<0. 因為f(0)＝1>0， 所以要使f(x)有唯一的零點x0，且x0>0, 則只需f()>0，即a2>4，a<－2.