專題四 數(shù)列 第二講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用適考素能特訓(xùn) 理一、選擇題12016重慶測試在數(shù)列an中，若a12，且對任意正整數(shù)m，k，總有amkamak，則an的前n項和Sn()An(3n1) B.Cn(n1) D.答案C解析依題意得an1ana1，即有an1ana12，所以數(shù)列an是以2為首項、2為公差的等差數(shù)列，an22(n1)2n，Snn(n1)，選C.22016鄭州質(zhì)檢正項等比數(shù)列an中的a1、a4031是函數(shù)f(x)x34x26x3的極值點，則log a2016()A1 B2C. D1答案A解析因為f(x)x28x6，且a1、a4031是方程x28x60的兩根，所以a1a4031a6，即a2016，所以log a20161，故選A.32016太原一模已知數(shù)列an的通項公式為an(1)n(2n1)cos1(nN*)，其前n項和為Sn，則S60()A30 B60C90 D120答案D解析由題意可得，當n4k3(kN*)時，ana4k31；當n4k2(kN*)時，ana4k268k；當n4k1(kN*)時，ana4k11；當n4k(kN*)時，ana4k8k.a4k3a4k2a4k1a4k8，S60815120.故選D.4某年“十一”期間，北京十家重點公園舉行免費游園活動，北海公園免費開放一天，早晨6時30分有2人進入公園，接下來的第一個30分鐘內(nèi)有4人進去1人出來，第二個30分鐘內(nèi)有8人進去2人出來，第三個30分鐘內(nèi)有16人進去3人出來，第四個30分鐘內(nèi)有32人進去4人出來按照這種規(guī)律進行下去，到上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)是()A21147 B21257C21368 D21480答案B解析由題意，可知從早晨6時30分開始，接下來的每個30分鐘內(nèi)進入的人數(shù)構(gòu)成以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，出來的人數(shù)構(gòu)成以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，記第n個30分鐘內(nèi)進入公園的人數(shù)為an，第n個30分鐘內(nèi)出來的人數(shù)為bn則an42n1，bnn，則上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)為S221257.5已知曲線C：y(x>0)及兩點A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.過A1，A2分別作x軸的垂線，交曲線C于B1，B2兩點，直線B1B2與x軸交于點A3(x3,0)，那么()Ax1，x2成等差數(shù)列 Bx1，x2成等比數(shù)列Cx1，x3，x2成等差數(shù)列 Dx1，x3，x2成等比數(shù)列答案A解析由題意，得B1，B2兩點的坐標分別為，.所以直線B1B2的方程為y(xx1)，令y0，得xx1x2，所以x3x1x2，因此，x1，x2成等差數(shù)列62016江西南昌模擬設(shè)無窮數(shù)列an，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)(無論多小)，總存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|anA|<成立，就稱數(shù)列an的極限為A.則四個無窮數(shù)列：(1)n2；12222323n2n，其中極限為2的共有()A4個 B3個C2個 D1個答案D解析對于，|an2|(1)n22|2|(1)n1|，當n是偶數(shù)時，|an2|0；當n是奇數(shù)時，|an2|4，所以數(shù)列(1)n2沒有極限，所以2不是數(shù)列(1)n2的極限對于，|an2|>1，所以對于正數(shù)01，不存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|an2|<0成立，即2不是數(shù)列的極限對于，|an2|，令<，得n>1log2，所以對于任意給定的正數(shù)(無論多小)，總存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|an2|<成立，所以2是數(shù)列 的極限對于，當n2時，|an2|12222323n2n2|222323n2n>1，所以對于正數(shù)01，不存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|an2|<0成立，即2不是數(shù)列12222323n2n的極限綜上所述，極限為2的數(shù)列共有1個二、填空題72016陜西質(zhì)檢二已知正項數(shù)列an滿足a6aan1an，若a12，則數(shù)列an的前n項和為_答案3n1解析a6aan1an，(an13an)(an12an)0，an>0，an13an，an為等比數(shù)列，且公比為3，Sn3n1.82016唐山統(tǒng)考Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若2S4S22，則S6的最小值為_答案解析由題意得2(a1a1qa1q2a1q3)a1a1q2，整理，得(a1a1q)(12q2)2，即S2(12q2)2.因為12q2>0，所以S2>0.又由2S4S22，得S4S21.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得S2，S4S2，S6S4成等比數(shù)列，所以(S4S2)2S2(S6S4)，所以S6S4S21S22，當且僅當S2，即S2時等號成立，所以S6的最小值為.92016武昌調(diào)研設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，Sn(1)nan(nN*)，則數(shù)列Sn的前9項和為_答案解析因為Sn(1)nan，所以Sn1(1)n1an1(n2)，兩式相減得SnSn1(1)nan(1)n1an1，即an(1)nan(1)nan1(n2)，當n為偶數(shù)時，ananan1，即an1，此時n1為奇數(shù)，所以若n為奇數(shù)，則an；當n為奇數(shù)時，ananan1，即2anan1，所以an1，此時n1為偶數(shù)，所以若n為偶數(shù)，則an.所以數(shù)列an的通項公式為an所以數(shù)列Sn的前9項和為S1S2S3S99a18a27a36a43a72a8a9(9a18a2)(7a36a4)(3a72a8)a9.三、解答題102016合肥質(zhì)檢在數(shù)列an中，a1，an1an，nN*.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.解(1)證明：由an1an知，是以為首項，為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知是首項為，公比為的等比數(shù)列，n，an，Sn，則Sn，得Sn1，Sn2.112015安徽高考設(shè)nN*，xn是曲線yx2n21在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(1)求數(shù)列xn的通項公式；(2)記Tnxxx，證明：Tn.解(1)y(x2n21)(2n2)x2n1，曲線yx2n21在點(1,2)處的切線斜率為2n2，從而切線方程為y2(2n2)(x1)令y0，解得切線與x軸交點的橫坐標xn1.(2)證明：由題設(shè)和(1)中的計算結(jié)果知Tnxxx222.當n1時，T1.當n2時，因為x2>，所以Tn>2.綜上可得對任意的nN*，均有Tn.122016河南開封質(zhì)檢已知數(shù)列an滿足a11，an11，其中nN*.(1)設(shè)bn，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求出an的通項公式；(2)設(shè)cn，數(shù)列cncn2的前n項和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得Tn<對于nN*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由解(1)bn1bn2(常數(shù))，數(shù)列bn是等差數(shù)列a11，b12，因此bn2(n1)22n，由bn得an.(2)由cn，an得cn，cncn22，Tn22<3，依題意要使Tn<對于nN*恒成立，只需3，即3，解得m3或m4，又m為正整數(shù)，所以m的最小值為3.典題例證2016山東高考已知數(shù)列an的前n項和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)令cn.求數(shù)列cn的前n項和Tn.審題過程依據(jù)an與Sn的關(guān)系可求an，進而求出bn的通項先化簡數(shù)列cn，然后依據(jù)其結(jié)構(gòu)特征采取錯位相減求和.(1)由題意知當n2時，anSnSn16n5，當n1時，a1S111，所以an6n5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由得可解得b14，d3.所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，所以Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，兩式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.模型歸納求數(shù)列的通項公式及前n項和的模型示意圖如下：