專題02 不等式與線性規(guī)劃1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】若,則( )（A） （B） （C） （D）【答案】C2.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)取最小值6，選B.3.【2016高考山東理數(shù)】若變量x，y滿足則的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,表示點(diǎn)（x,y）到原點(diǎn)距離的平方,最大值必在頂點(diǎn)處取到,經(jīng)驗(yàn)證最大值為,故選C.4.【2016高考浙江理數(shù)】在平面上，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影由區(qū)域 中的點(diǎn)在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則AB=（ ）A2 B4 C3 D【答案】C5.【2016年高考北京理數(shù)】若，滿足，則的最大值為（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】作出如圖可行域，則當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值，而，所求最大值為4，故選C. 6.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足，q：實(shí)數(shù)x，y滿足 則p是q的( )（A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】畫出可行域（如圖所示），可知命題中不等式組表示的平面區(qū)域在命題中不等式表示的圓盤內(nèi)，故選A.7.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】若滿足約束條件 則的最大值為_.【答案】【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.由圖知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取得最大值.由 得 ，即，則8.【2016高考新課標(biāo)1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為 元【答案】【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利潤(rùn)之和為元,那么目標(biāo)函數(shù).二元一次不等式組等價(jià)于作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.將變形,得,平行直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí), 取得最大值.解方程組,得的坐標(biāo).所以當(dāng),時(shí),.故生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤(rùn)之和的最大值為元.9.【2016高考江蘇卷】 已知實(shí)數(shù)滿足 ，則的取值范圍是 .【答案】【解析】由圖知原點(diǎn)到直線距離平方為最小值，為，原點(diǎn)到點(diǎn)距離平方為最大值，為，因此取值范圍為易錯(cuò)起源1、不等式的解法例1、(1)已知函數(shù)f(x)x2axb (a，bR)的值域?yàn)?，)，若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m6)，則實(shí)數(shù)c的值為_(2)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為()Ax|x<1或x>lg2Bx|1<x<lg2Cx|x>lg2Dx|x<lg2答案(1)9(2)D【變式探究】(1)關(guān)于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a_.(2)不等式24的解集為_答案(1)(2)(1,2)解析(1)由x22ax8a2<0，得(x2a)(x4a)<0，因?yàn)閍>0，所以不等式的解集為(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.(2)2422，x2x2，即x2x20，解得1<x<2.【名師點(diǎn)睛】(1)對(duì)于和函數(shù)有關(guān)的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化；(2)求解一元二次不等式的步驟：第一步，二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；第二步，解對(duì)應(yīng)的一元二次方程；第三步，若有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則利用“大于在兩邊，小于夾中間”得不等式的解集；(3)含參數(shù)的不等式的求解，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】1一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc>0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集2簡(jiǎn)單分式不等式的解法(1)>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)；(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.3指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解易錯(cuò)起源2、基本不等式的應(yīng)用例2、(1)已知向量a(m,2)，b(1，n1)，若ab，則2m4n的最小值為()A2B2C4D8(2)設(shè)實(shí)數(shù)m，n滿足m>0，n<0，且1，則4mn()A有最小值9B有最大值9C有最大值1D有最小值1答案(1)C(2)C解析(1)因?yàn)橄蛄縜(m,2)，b(1，n1)，ab，所以m2(n1)0，即m2n2.所以2m4n2224 (當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立)，所以2m4n的最小值為4，故選C.【變式探究】(1)若正數(shù)a，b滿足ab1，則的最大值為_(2)若圓(x2)2(y2)29上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線axby20(a>0，b>0)對(duì)稱，則的最小值為_答案(1)(2)16解析(1)正數(shù)a，b滿足ab1，222，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，的最大值為.(2)圓(x2)2(y2)29的圓心坐標(biāo)為(2,2)，由已知得直線axby20必經(jīng)過(guò)圓心(2,2)，即ab1.所以()(ab)1010216(當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時(shí)等號(hào)成立)，所以的最小值為16.【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：(1)如果x>0，y>0，xyp(定值)，當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值2(簡(jiǎn)記為：積定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，xys(定值)，當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值s2(簡(jiǎn)記為：和定，積有最大值)易錯(cuò)起源3、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題例3、(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則zx2y的最大值與最小值之和為()A2B14C6D2(2)若變量x， y滿足約束條件且目標(biāo)函數(shù)zkxy當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案(1)A(2)解析(1)根據(jù)x，y的約束條件畫出可行域，如圖陰影部分所示，其中A，B(6,0)，C(0,4)由zx2y可知，當(dāng)直線yx過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取最小值，即zmin210；當(dāng)直線yx過(guò)點(diǎn)C時(shí)，z取最大值，即zmax0248，zminzmax2.故選A.(2)由題意知不等式組所表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的ABC及其內(nèi)部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)將目標(biāo)函數(shù)變形得ykxz，當(dāng)z取得最小值時(shí)，直線的縱截距最小由于直線當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1)時(shí)縱截距最小，結(jié)合動(dòng)直線ykxz繞定點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)進(jìn)行分析，知<k<1，故所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【變式探究】(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z4xy的取值范圍是()A0,2B0,8C2,8D2,10(2)已知變量x，y滿足約束條件若x2y5恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，1 B1，)C1,1D1,1)答案(1)B(2)C解析(1)作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，由圖知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z4xy經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,0)時(shí)z取得最大值，最大值為4208；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z4xy經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0,0)時(shí)z取得最小值，最小值為4000，所以z4xy的取值范圍是0,8，故選B.(2)由題意作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，則x2y5恒成立可轉(zhuǎn)化為圖中的陰影部分在直線x2y5的上方，由得由得則實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,1【名師點(diǎn)睛】 (1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍(2)一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決1已知a>b，則下列不等式中恒成立的是()Alna>lnbB.<Ca2>abDa2b2>2ab答案D解析只有當(dāng)a>b>0時(shí)A成立；只有當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)B成立；只有當(dāng)a>0時(shí)C成立；因?yàn)閍b，所以D恒成立，故選D.2若函數(shù)f(x)則“0<x<1”是“f(x)<0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A3若x，y滿足約束條件則x2y的最大值為()A.B6C11D10答案C解析令zx2y，則yx，由線性約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示，則zmax11.4設(shè)變量x，y滿足約束條件則的最大值為()A3B6C.D1答案B解析目標(biāo)函數(shù)可以變形為k，即其可表示為滿足題中約束條件的可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)和原點(diǎn)(0,0)連線的斜率，作出可行域，如圖中陰影部分所示由圖可知：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1,6)時(shí)，斜率最大，即有最大值為6，故選B.5若不等式a在t(0,2上恒成立，則a的取值范圍是()A.B.C.D.答案D6設(shè)f(x)lnx,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()AqrpBqrpCprqDprq答案C解析0ab，又f(x)lnx在(0，)上為增函數(shù)，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(lnalnb)lnalnbln(ab)f()p.故prq.選C.7已知函數(shù)f(x)那么不等式f(x)1的解集為_答案(，03，)解析當(dāng)x>0時(shí)，由log3x1可得x3，當(dāng)x0時(shí)，由()x1可得x0，不等式f(x)1的解集為(，03，)8要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_元答案1609已知x>0，y>0，若>m22m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(4,2)解析由題意可得m22m應(yīng)小于的最小值，所以由基本不等式可得28，所以m22m<84<m<2.10定義運(yùn)算“”：xy(x，yR，xy0)，當(dāng)x0，y0時(shí)，xy(2y)x的最小值為_答案解析由題意，得xy(2y)x，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)11設(shè)點(diǎn)P(x，y)滿足條件點(diǎn)Q(a，b) (a0，b0)滿足1恒成立，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則Q點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積是_答案解析1，axby1，點(diǎn)P(x，y)滿足條件的區(qū)域，如圖陰影部分所示，1，即axby1，且點(diǎn)Q(a，b)滿足1恒成立，只需點(diǎn)P(x，y)在可行域內(nèi)的交點(diǎn)處：A(1,0)，B(0,2)，axby1成立即可，即它表示一個(gè)長(zhǎng)為1寬為的矩形，其面積為，故答案為.12設(shè)0<a<1，集合AxR|x>0，BxR|2x23(1a)x6a>0，DAB，求集合D.(用區(qū)間表示)解令g(x)2x23(1a)x6a，其對(duì)稱軸方程為x(1a)，9(1a)248a9a230a93(3a1)(a3)當(dāng)0<a時(shí)，0，x(1a)>0，g(0)6a>0，方程g(x)0的兩個(gè)根分別為0<x1<x2，DAB；當(dāng)<a<1時(shí)，<0，則g(x)>0恒成立，所以DAB(0，)綜上所述，當(dāng)0<a時(shí)，D；當(dāng)<a<1時(shí)，D(0，)13運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米(按交通法規(guī)限制50x100)(單位：千米/小時(shí))假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油(2)升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值14提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值 (精確到1輛/小時(shí))解(1)由題意：當(dāng)0x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20x200時(shí)，設(shè)v(x)axb，顯然v(x)axb在20,200上是減函數(shù)，由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時(shí)，其最大值為60201200；當(dāng)20x200時(shí)，f(x)x(200x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x200x，即x100時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間20,200上取得最大值.綜上，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約3 333輛/小時(shí)