第27練直線與圓題型分析高考展望直線與圓是解析幾何的基礎(chǔ)，在高考中，除對(duì)本部分知識(shí)單獨(dú)考查外，更多是在與圓錐曲線結(jié)合的綜合題中對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行考查單獨(dú)考查時(shí)，一般為選擇題、填空題，難度不大，屬低中檔題直線的方程，圓的方程的求法及位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用是本部分的重點(diǎn)體驗(yàn)高考1(2015廣東)平行于直線2xy10且與圓x2y25相切的直線的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案A解析設(shè)所求直線方程為2xyc0，依題意有，解得c5，所以所求直線方程為2xy50或2xy50，故選A.2(2015課標(biāo)全國(guó))過(guò)三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn)，則|MN|等于()A2B8C4D10答案C解析由已知，得(3，1)，(3，9)，則3(3)(1)(9)0，所以，即ABBC，故過(guò)三點(diǎn)A，B，C的圓以AC為直徑，得其方程為(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以|MN|y1y2|4，選C.3(2016課標(biāo)全國(guó)甲)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a等于()ABC.D2答案A解析由圓的方程x2y22x8y130得圓心坐標(biāo)為(1,4)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d1，解之得a.4(2016上海)已知平行直線l1：2xy10，l2：2xy10，則l1，l2的距離為_(kāi)答案解析d.5(2016課標(biāo)全國(guó)丙)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|2，則|CD|_.答案4解析設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由題意知，圓的半徑R2，|AB|2，所以|OM|3，解得m，由解得A(3，)，B(0,2)，則AC的直線方程為y(x3)，BD的直線方程為y2x，令y0，解得C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4.高考必會(huì)題型題型一直線方程的求法與應(yīng)用例1(1)若點(diǎn)P(1,1)為圓(x3)2y29的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為()A2xy30 Bx2y10Cx2y30 D2xy10(2)直線l過(guò)點(diǎn)(2,2)，且點(diǎn)(5,1)到直線l的距離為，則直線l的方程是()A3xy40 B3xy40C3xy40 Dx3y40答案(1)D(2)C解析(1)由題意知圓心C(3,0)，kCP.由kCPkMN1，得kMN2，所以弦MN所在直線的方程是2xy10.(2)由已知，設(shè)直線l的方程為y2k(x2)，即kxy22k0，所以，解得k3，所以直線l的方程為3xy40，故選C.點(diǎn)評(píng)(1)兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1l2k1k2，l1l2k1k21；判定兩直線平行與垂直的關(guān)系時(shí)，如果給出的直線方程中存在字母系數(shù)，不僅要考慮斜率存在的情況，還要考慮斜率不存在的情況(2)求直線方程的常用方法直接法：直接選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，寫(xiě)出結(jié)果；待定系數(shù)法：先由直線滿足的一個(gè)條件設(shè)出直線方程，使方程中含有一個(gè)待定系數(shù)，再由題給的另一條件求出待定系數(shù)變式訓(xùn)練1已知直線l經(jīng)過(guò)直線3x4y20與直線2xy20的交點(diǎn)P，且垂直于直線x2y10.(1)求直線l的方程；(2)求直線l關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的直線方程解(1)由解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,2)，又因?yàn)橹本€x2y10，即yx的斜率為k，由直線l與x2y10垂直可得kl2，故直線l的方程為：y22(x2)，即2xy20.(2)直線l的方程2xy20在x軸、y軸上的截距分別是1與2，則直線l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線在x軸、y軸上的截距分別是1與2，所求直線方程為1，即2xy20.題型二圓的方程例2(1)(2015湖北)如圖，已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B(B在A的上方)，且|AB|2.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)圓C在點(diǎn)B處的切線在x軸上的截距為_(kāi)答案(x1)2(y)221解析由題意，設(shè)圓心C(1，r)(r為圓C的半徑)，則r22122，解得r.所以圓C的方程為(x1)2(y)22.方法一令x0，得y1，所以點(diǎn)B(0, 1)又點(diǎn)C(1, )，所以直線BC的斜率為kBC1，所以過(guò)點(diǎn)B的切線方程為y(1)x0，即yx(1)令y0，得切線在x軸上的截距為1.方法二令x0，得y1，所以點(diǎn)B(0，1)又點(diǎn)C(1，)，設(shè)過(guò)點(diǎn)B的切線方程為y(1)kx，即kxy(1)0.由題意，得圓心C(1，)到直線kxy(1)0的距離dr，解得k1.故切線方程為xy(1)0.令y0，得切線在x軸上的截距為1.(2)已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，1)，并且圓心在直線l1：y2x上，且該圓與直線l2：yx1相切求圓C的方程；求以圓C內(nèi)一點(diǎn)B為中點(diǎn)的弦所在直線l3的方程解設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，則解得故圓C的方程為(x1)2(y2)22.由知圓心C的坐標(biāo)為(1，2)，則kCB.設(shè)直線l3的斜率為k3，由k3kCB1，可得k32.故直線l3的方程為y2(x2)，即4x2y130.點(diǎn)評(píng)求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)變式訓(xùn)練2已知圓x2y24上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若PBQ90，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程解(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y)因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，連接BN.在RtPBQ中，|PN|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.題型三直線與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題例3(1)(2015重慶)已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)A(4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|等于()A2 B4C6 D2答案C解析根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解由于直線xay10是圓C：x2y24x2y10的對(duì)稱軸，圓心C(2,1)在直線xay10上，2a10，a1，A(4，1)|AC|236440.又r2，|AB|240436.|AB|6.(2)已知圓C：x2y22x4y40.寫(xiě)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出圓心坐標(biāo)和半徑大??；是否存在斜率為1的直線m，使m被圓C截得的弦為AB，且OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))若存在，求出直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)29，則圓心C的坐標(biāo)為(1，2)，半徑為3.(2)假設(shè)存在這樣的直線m，根據(jù)題意可設(shè)直線m：yxb.聯(lián)立直線與圓的方程得2x22(b1)xb24b40，因?yàn)橹本€與圓相交，所以>0，即b26b9<0，且滿足x1x2b1，x1x2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1x1b，y2x2b，由OAOB得x1x2y1y20，所以x1x2(x1b)(x2b)2x1x2b(x1x2)b20，即b23b40得b4或b1，且均滿足b26b9<0，故所求的直線m存在，方程為yx4或yx1.點(diǎn)評(píng)研究直線與圓位置關(guān)系的方法(1)研究直線與圓的位置關(guān)系的最基本的解題方法為代數(shù)法，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，利用函數(shù)與方程思想解題(2)與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d及半弦長(zhǎng)，構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系來(lái)處理變式訓(xùn)練3已知以點(diǎn)C(t，)(tR，t0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為原點(diǎn)(1)求證：OAB的面積為定值；(2)設(shè)直線y2x4與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|ON|，求圓C的方程(1)證明圓C過(guò)原點(diǎn)O，且|OC|2t2.圓C的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，SOAB|OA|OB|2t|4，即OAB的面積為定值(2)解|OM|ON|，|CM|CN|，OC垂直平分線段MN.kMN2，kOC.t，解得t2或t2.當(dāng)t2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，|OC|，此時(shí)C到直線y2x4的距離d<，圓C與直線y2x4相交于兩點(diǎn)當(dāng)t2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為(2，1)，|OC|，此時(shí)C到直線y2x4的距離d>.圓C與直線y2x4不相交，t2不符合題意，舍去圓C的方程為(x2)2(y1)25.高考題型精練1已知x，y滿足x2y50，則(x1)2(y1)2的最小值為()A.B.C.D.答案A解析(x1)2(y1)2表示點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)Q(1,1)的距離的平方由已知可得點(diǎn)P在直線l：x2y50上，所以|PQ|的最小值為點(diǎn)Q到直線l的距離，即d，所以(x1)2(y1)2的最小值為d2.故選A.2“m3”是“直線l1：2(m1)x(m3)y75m0與直線l2：(m3)x2y50垂直”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析由l1l2得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2.m3是l1l2的充分不必要條件3若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：xy70和l2：xy50上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A3B2C3D4答案A解析依題意知AB的中點(diǎn)M的集合是與直線l1：xy70和l2：xy50的距離都相等的直線，則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離，設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：xym0，根據(jù)平行線間的距離公式得|m7|m5|m6，即l：xy60，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得M到原點(diǎn)的距離的最小值為3.4(2016山東)已知圓M：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切B相交C外切D相離答案B解析圓M：x2(ya)2a2，圓心坐標(biāo)為M(0，a)，半徑r1a，圓心M到直線xy0的距離d，由幾何知識(shí)得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圓N的圓心坐標(biāo)N(1,1)，半徑r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，兩圓相交，故選B.5已知直線xyk0(k>0)與圓x2y24交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|，那么k的取值范圍是()A(，) B，)C，2) D，2)答案C解析當(dāng)|時(shí)，O，A，B三點(diǎn)為等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，其中|OA|OB|，AOB120，從而圓心O到直線xyk0(k>0)的距離為1，此時(shí)k；當(dāng)k>時(shí)，|>|，又直線與圓x2y24存在兩交點(diǎn)，故k<2，綜上，k的取值范圍是，2)，故選C.6(2015課標(biāo)全國(guó))已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A.B.C.D.答案B解析由點(diǎn)B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x1，由點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為y，聯(lián)立，解得ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為，其到原點(diǎn)的距離為.故選B.7(2016山東)在1,1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_(kāi)答案解析由已知得，圓心(5,0)到直線ykx的距離小于半徑，<3，解得<k<，由幾何概型得P.8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是_答案解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2y21，圓心為(4,0)由題意知(4,0)到kxy20的距離應(yīng)不大于2，即2.整理，得3k24k0.解得0k.故k的最大值是.9在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2y24上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線12x5yc0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的值為_(kāi)答案13解析因?yàn)閳A心到直線12x5yc0的距離為，所以由題意得1，c13.10已知直線l過(guò)點(diǎn)(2,0)，當(dāng)直線l與圓x2y22x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是_答案(，)解析因?yàn)橐阎本€過(guò)點(diǎn)(2,0)，那么圓的方程x2y22x配方為(x1)2y21，表示的是圓心為(1,0)，半徑為1的圓，設(shè)過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線的斜率為k，則直線方程為yk(x2)，則點(diǎn)到直線距離等于圓的半徑1，有d1，化簡(jiǎn)得8k21，所以k，然后可知此時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，那么當(dāng)滿足題意的時(shí)候，可知斜率的取值范圍是(，)，故答案為(，)11已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)，且方向向量為a(1，k)的直線l與圓C：(x2)2(y3)21相交于M，N兩點(diǎn)(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且12，求k的值解(1)直線l過(guò)點(diǎn)A(0,1)且方向向量為a(1，k)，直線l的方程為ykx1.由1，得k.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70，x1x2，x1x2，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1812，4，解得k1.12已知圓Mx2(y2)21，Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)(1)若Q(1,0)，求切線QA，QB的方程；(2)求四邊形QAMB面積的最小值；(3)若|AB|，求直線MQ的方程解(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)Q的圓M的切線方程為xmy1，則圓心M到切線的距離為1，1，m或0，切線QA，QB的方程分別為3x4y30和x1.(2)MAAQ，S四邊形MAQB|MA|QA|QA|.四邊形QAMB面積的最小值為.(3)設(shè)AB與MQ交于點(diǎn)P，則MPAB.MBBQ，|MP|.在RtMBQ中，|MB|2|MP|MQ|，即1|MQ|，|MQ|3.設(shè)Q(x,0)，則x2229，x，Q(，0)，直線MQ的方程為2xy20或2xy20.