山東省2019中考數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 第六節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用課件.ppt
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考點(diǎn)一線段、周長(zhǎng)問題例1(2017濱州中考)如圖，直線y＝kx＋b(k，b為常數(shù))分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A(－4，0)，B(0，3)，拋物線y＝－x2＋2x＋1與y軸交于點(diǎn)C.,(1)求直線y＝kx＋b的函數(shù)解析式；(2)若點(diǎn)P(x，y)是拋物線y＝－x2＋2x＋1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)E在拋物線y＝－x2＋2x＋1的對(duì)稱軸上移動(dòng)，點(diǎn)F在直線AB上移動(dòng)，求CE＋EF的最小值．,【分析】(1)利用待定系數(shù)法可求得直線解析式；(2)利用相似三角形的判定與性質(zhì)可得到d與x的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)先確定點(diǎn)E的位置，再利用(2)中的結(jié)論解答即可．,【自主解答】(1)∵y＝kx＋b經(jīng)過A(－4，0)，B(0，3)，∴直線的函數(shù)解析式為y＝x＋3.,(2)如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作x軸的平行線MN，分別過點(diǎn)A，P作MN的垂線段，垂足分別為M，N.,設(shè)H(m，m＋3)，則M(－4，m＋3)，N(x，m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．∵PH⊥AB，∴∠PHN＋∠AHM＝90.∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90，∴∠MAH＝∠PHN.∵∠AMH＝∠PNH＝90，∴△AMH∽△HNP.,(3)如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)C′，過點(diǎn)C′作C′F⊥AB于F，交拋物線的對(duì)稱軸x＝1于點(diǎn)E，此時(shí)CE＋CF的值最?。鶕?jù)對(duì)稱性，易知點(diǎn)C′(2，1)．∵點(diǎn)C′在拋物線上，∴由(2)得，C′F＝即CE＋EF的最小值為,1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(1，0)，直線y＝2x－1與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線交于點(diǎn)C，D.,(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)A到直線CD的距離；(3)平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)P在直線CD上，拋物線與直線CD的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，點(diǎn)G在y軸正半軸上，當(dāng)以G，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的G點(diǎn)的坐標(biāo)．,解：(1)直線y＝2x－1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－1，則點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，－1)．設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c.∵點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，C(0，－1)在拋物線上，∴拋物線的解析式為y＝x2－1.,(2)直線y＝2x－1，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝.如圖，過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F.設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，則E(，0)．,(3)∵平移后拋物線的頂點(diǎn)P在直線y＝2x－1上，∴設(shè)P(t，2t－1)，則平移后拋物線的解析式為y＝(x－t)2＋2t－1.聯(lián)立化簡(jiǎn)得x2－(2t＋2)x＋t2＋2t＝0，解得x1＝t，x2＝t＋2，即點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)相差2，,△GPQ為等腰直角三角形，可能有以下情形：,①若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如圖1，則PG＝PQ＝∴OG＝CG－OC＝10－1＝9，∴G(0，9)．,②若點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)，如圖2，則QG＝PQ＝同理可得G(0，9)．③若點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，如圖3，分別過點(diǎn)P，Q作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N.此時(shí)PQ＝，則GP＝GQ＝易證Rt△PMG≌Rt△GNQ，,∴GN＝PM，GM＝QN.在Rt△QNG中，由勾股定理得GN2＋QN2＝GQ2，即PM2＋QN2＝10.∵點(diǎn)P，Q橫坐標(biāo)相差2，∴NQ＝PM＋2，∴PM2＋(PM＋2)2＝10，解得PM＝1，∴NQ＝3.直線y＝2x－1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1，,∴P(1，1)，即OM＝1，∴OG＝OM＋GM＝OM＋NQ＝1＋3＝4，∴G(0，4)．綜上所述，符合條件的點(diǎn)G有兩個(gè)，其坐標(biāo)為(0，4)或(0，9)．,考點(diǎn)二圖形面積問題例2(2016濱州中考)如圖，已知拋物線y＝與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.,(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)E是此拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)F是其對(duì)稱軸上的點(diǎn)，求以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積；(3)此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．,【分析】(1)分別令x＝0，y＝0，求解即可；(2)分點(diǎn)E在x軸上方和x軸下方兩種情況討論；(3)分MA＝MC，MC＝AC，MA＝AC三種情況討論即可．,【自主解答】(1)令得x＝2或x＝－4；令x＝0，得y＝2.∴點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(2，0)，(－4，0)，(0，2)．,(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，則D是AB的中點(diǎn)．①如果E在x軸的上方，則AB和EF是平行四邊形的對(duì)角線，D是對(duì)角線的中點(diǎn)，∴D，E，F(xiàn)在一條直線上，E為拋物線的頂點(diǎn)，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，)，∴S?AEBF＝2S△AEB＝,②如果E在x軸的下方，則EF∥AB，EF＝AB＝6，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為－1，∴E的橫坐標(biāo)為－16，即－7或5，,(3)拋物線的對(duì)稱軸為x＝－1，AC＝①如果MA＝MC，則M為直線x＝－1與AC的垂直平分線的交點(diǎn)．設(shè)AC的中點(diǎn)為H，連接OH，,則H的坐標(biāo)是(1，1)，∴直線OH的解析式為y＝x.∵OA＝OC，H為AC的中點(diǎn)，∴OH為AC的垂直平分線，又∵M(jìn)為直線x＝－1與y＝x的交點(diǎn)，∴M的坐標(biāo)為(－1，－1)．,②如果MC＝AC，則MC＝2.如圖，過點(diǎn)C作CN∥x軸，交對(duì)稱軸于點(diǎn)N，則N的坐標(biāo)為(－1，2)．,∴NC＝1，NC⊥MN.在Rt△CMN中，NC＝1，MC＝2，∴MN＝.又∵N(－1，2)，M在拋物線的對(duì)稱軸上，∴M的坐標(biāo)為(－1，2＋)或(－1，2－)．,③如果MA＝AC，則MA＝2，而點(diǎn)A到拋物線對(duì)稱軸的距離為3>2，∴拋物線對(duì)稱軸上不存在點(diǎn)M使得MA＝2.綜上所述，拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M，使得△ACM是等腰三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(－1，－1)或(－1，2＋)或(－1，2－)．,2．(2018遂寧中考)如圖，已知拋物線y＝ax2＋x＋4的對(duì)稱軸是直線x＝3，且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè))，與y軸交于C點(diǎn)．,(1)求拋物線的解析式和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是拋物線上B，C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B，C重合)，則是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．若存在，請(qǐng)求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；(3)若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN＝3時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．,(2)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)．將B(8，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b得∴直線BC的解析式為y＝－x＋4.,假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為如圖，過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，,∵－1＜0，∴當(dāng)x＝4時(shí)，△PBC的面積最大，最大面積是16.∵0＜x＜8，∴存在點(diǎn)P，使△PBC的面積最大，最大面積是16.,考點(diǎn)三動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)問題例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－2x＋10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(8，4)．連接AC，BC.,(1)求過O，A，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)t為何值時(shí)，PA＝QA;,(3)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．,【分析】(1)先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，用勾股定理的逆定理判斷出△ABC是直角三角形；(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，OP＝2t，CQ＝10－t，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，用含t的式子表示出PA2和QA2，由PA＝QA求得t的值即可；(3)分三種情況，用平面坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可．,【自主解答】(1)在直線y＝－2x＋10上，令y＝0得x＝5，令x＝0得y＝10，即A(5，0)，B(0，10)．∵點(diǎn)A(5，0)，C(8，4)，O(0，0)在拋物線y＝ax2＋bx＋c上，,∵AC2＝(8－5)2＋42＝25，BC2＝82＋(10－4)2＝100，AB2＝52＋102＝125，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．,(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，OP＝2t，BQ＝t，則CQ＝10－t.∵當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)時(shí)，t＝＝5，當(dāng)t＝5時(shí)，BQ＝5＜10，∴t的取值范圍是0≤t≤5.,在Rt△AOP和Rt△ACQ中，PA2＝OA2＋OP2＝25＋4t2，QA2＝QC2＋AC2＝25＋(10－t)2＝t2－20t＋125.∵PA＝QA，∴PA2＝QA2，即t2－20t＋125＝25＋4t2，解得t1＝－10(舍去)，t2＝，即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s時(shí)，PA＝QA.,(3)∵拋物線與x軸交于O(0，0)，A(5，0)兩點(diǎn)，∴對(duì)稱軸為x＝設(shè)存在點(diǎn)M，使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，,3．(2018臨沂中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)．,(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)．過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，使PE＝DE.①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在．請(qǐng)說明理由．,解：(1)在Rt△ABC中，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可知OB＝1.∵OC＝2OB，∴OC＝2，則BC＝3.又∵tan∠ABC＝2，∴AC＝2BC＝6，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，6)．把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線y＝－x2＋bx＋c中得∴該拋物線的解析式為y＝－x2－3x＋4.,(2)①由點(diǎn)A(－2，6)和點(diǎn)B(1，0)的坐標(biāo)易得直線AB的解析式為y＝－2x＋2.如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，－m2－3m＋4)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，－2m＋2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，0)，,則PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2.由PE＝DE得－m2－m＋2＝(－2m＋2)，解得m＝1.又∵－2＜m＜1，∴m＝－1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，6)．,②∵M(jìn)在直線PD上，且P(－1，6)，設(shè)M(－1，y)，∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2，BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2，AB2＝(1＋2)2＋62＝45.,分三種情況：(ⅰ)當(dāng)∠AMB＝90時(shí)，有AM2＋BM2＝AB2，∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3，∴M(－1，3＋)或(－1，3－)；(ⅱ)當(dāng)∠ABM＝90時(shí)，有AB2＋BM2＝AM2，∴45＋4＋y2＝1＋(y－6)2，解得y＝－1，∴M(－1，－1)．,(ⅲ)當(dāng)∠BAM＝90時(shí)，有AM2＋AB2＝BM2，∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，解得y＝，∴M(－1，)．綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，－1)或(－1，)．,考點(diǎn)四二次函數(shù)綜合題百變例題(2018濟(jì)寧中考)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)．,(1)求該拋物線的解析式；(2)若以點(diǎn)A為圓心的圓與直線BC相切于點(diǎn)M，求切點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．,【分析】(1)已知A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得y＝a(x－3)(x＋1)，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入即可解得；(2)過點(diǎn)A作AM⊥BC，利用全等三角形求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AM的解析式，同理可求出直線BC的解析式，聯(lián)立求出M坐標(biāo)即可；(3)存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況，利用平移規(guī)律確定出P的坐標(biāo)即可．,【自主解答】(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，B(－1，0)，∴y＝a(x－3)(x＋1)．又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0，－3)，∴－3＝a(0－3)(0＋1)，解得a＝1，∴拋物線的解析式為y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－2x－3.,(2)如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，AM交y軸于點(diǎn)N，,∴∠BAM＋∠ABM＝90.在Rt△BCO中，∠BCO＋∠ABM＝90，∴∠BAM＝∠BCO.∵A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)，∴AO＝CO＝3，OB＝1.,又∵∠BAM＝∠BCO，∠BOC＝∠AON＝90，∴△AON≌△COB，∴ON＝OB＝1，∴N(0，－1)．設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，,(3)存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．設(shè)Q(t，0)，P(m，m2－2m－3)．分兩種情況考慮：當(dāng)四邊形BCQP為平行四邊形時(shí)，由B(－1，0)，C(0，－3)，根據(jù)平移規(guī)律得－1－m＝0－t，0－(m2－2m－3)＝－3－0，,當(dāng)四邊形BCPQ為平行四邊形時(shí)，由B(－1，0)，C(0，－3)，根據(jù)平移規(guī)律得－1－t＝0－m，0－0＝－3－(m2－2m－3)，解得m＝0或2.當(dāng)m＝0時(shí)，P(0，－3)(舍去)；當(dāng)m＝2時(shí)，P(2，－3)．綜上所述，存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1＋，3)或(1－，3)或(2，－3)．,變式1：若點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，求△ACD面積與△ABC面積的比．,解：如圖，連接AC，AD，CD，作DL⊥x軸于點(diǎn)L.∵S△ACD＝S梯形OCDL＋S△ADL－S△AOC,變式2：若E是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過E作射線EF∥BC交拋物線于點(diǎn)F，隨著E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以B，E，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．,解：存在．理由如下：①如圖，當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，作FR⊥x軸于點(diǎn)R.∵四邊形BCFE為平行四邊形，∴EFBC，∴△ERF≌△BOC，∴RF＝OC＝3，,∴－3＝x2－2x－3，解得x＝2或x＝0(與C點(diǎn)重合，舍去)，∴F(2，－3)．,②如圖，當(dāng)F在x軸上方時(shí)，作FS⊥x軸于點(diǎn)S.∵四邊形BCEF為平行四邊形，∴EF綊BC，∴△EFS≌△BCO，∴FS＝OC＝3，∴3＝x2－2x－3，,解得x1＝1＋，x2＝1－.綜上所述，F(xiàn)點(diǎn)為(2，－3)或(1＋，3)或(1－，3)．,變式3：如圖，若點(diǎn)G是線段AC上的點(diǎn)(不與A，C重合)，過G作GH∥y軸交拋物線于H，若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示GH的長(zhǎng)．,解：設(shè)直線AC的解析式為y＝kx－3，則有0＝3k－3，解得k＝1，故直線AC的解析式為y＝x－3.已知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，則G(m，m－3)，H(m，m2－2m－3)，∴GH＝m－3－(m2－2m－3)＝－m2＋3m(0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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