專題03 函數(shù)的圖像與性質(zhì)1(2016課標全國乙)函數(shù)y2x2e|x|在2,2的圖象大致為()答案D2(2016山東)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，當x<0時，f(x)x31；當1x1時，f(x)f(x)；當x>時，ff，則f(6)等于()A2B1C0D2答案D解析當x>時，ff，即f(x)f(x1)，T1，f(6)f(1)當x<0時，f(x)x31，且1x1，f(x)f(x)，f(6)f(1)f(1)2，故選D.3(2016上海)設(shè)f(x)，g(x)，h(x)是定義域為R的三個函數(shù)，對于命題：若f(x)g(x)，f(x)h(x)，g(x)h(x)均為增函數(shù)，則f(x)，g(x)，h(x)中至少有一個為增函數(shù)；若f(x)g(x)，f(x)h(x)，g(x)h(x)均是以T為周期的函數(shù)，則f(x)，g(x)，h(x)均是以T為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是()A和均為真命題B和均為假命題C為真命題，為假命題D為假命題，為真命題答案D4(2016北京)設(shè)函數(shù)f(x)(1)若a0，則f(x)的最大值為_；(2)若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(1)2(2)(，1)解析(1)當a0時，f(x)若x0，f(x)3x233(x21)由f(x)0得x1，由f(x)0得1x0.所以f(x)在(，1)上單調(diào)遞增；在(1,0上單調(diào)遞減，所以f(x)最大值為f(1)2.若x0，f(x)2x單調(diào)遞減，所以f(x)f(0)0.所以f(x)的最大值為2.(2)f(x)的兩個函數(shù)在無限制條件時圖象如圖由(1)知，當a1時，f(x)取得最大值2.當a1時，y2x在xa時無最大值，且2a2.所以a1.5已知a>0，且a1，函數(shù)yax與yloga(x)的圖象只能是圖中的()答案B6定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1,0)時，f(x)2x，則f(log220)等于()A1B.C1D答案C解析由f(x2)f(x2)f(x)f(x4)，因為4<log220<5，所以0<log2204<1，1<4log220<0.又因為f(x)f(x)，所以f(log220)f(log2204)f(4log220)f1.故選C.7已知函數(shù)f(x)，則yf(x)的圖象大致為()答案B解析方法一由題意得，解得f(x)的定義域為x|x>1，且x0令g(x)ln(x1)x，則g(x)1，當1<x<0時，g(x)>0；當x>0時，g(x)<0.f(x)在區(qū)間(1,0)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(0，)內(nèi)為增函數(shù)，對照各選項，只有B符合方法二本題也可取特值，用排除法求解：f(2)<0，排除A.f<0，排除C，D，選B.8已知函數(shù)h(x)(x0)為偶函數(shù)，且當x>0時，h(x)若h(t)>h(2)，則實數(shù)t的取值范圍為_答案(2,0)(0,2)易錯起源1、函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例1、(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在0,2上單調(diào)遞增，若f(log2m)<f(log4(m2)成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A.m<2B.m2C2<m4D2m4(2)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1)上，f(x)其中aR.若ff，則f(5a)的值是_答案(1)A(2)解析(1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在0,2上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在2,2上單調(diào)遞增故由f(log2m)<f(log4(m2)，可得解2log2m2，得m4；解2log4(m2)2，得m216，即m14.由log2m<log4(m2)，得log4m2<log4(m2)，故有解得1<m<2，且m0.綜上可知，m的取值范圍是m<2，故選A.(2)由已知fffa，fff.又ff，則a，a，f(5a)f(3)f(34)f(1)1.【變式探究】(1)(2016四川)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0<x<1時，f(x)4x，則ff(1)_.(2)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，則a3b的值為_答案(1)2(2)10解析(1)因為f(x)是周期為2的函數(shù)，所以f(x)f(x2)而f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)所以f(1)f(1)，f(1)f(1)，即f(1)0，又fff，故f2，從而ff(1)2.【名師點睛】(1)可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性，將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為給出解析式的范圍內(nèi)的函數(shù)值(2)利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵是化成f(x1)<f(x2)的形式【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】1單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，規(guī)范步驟為取值、作差、判斷符號、下結(jié)論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則2奇偶性(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反(填“相同”或“相反”)(2)在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)、一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)(3)若f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義，則f(0)0.(4)若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)f(x)f(|x|)(5)圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱3周期性定義：周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)若函數(shù)在其定義域上滿足f(ax)f(x)(a0)，則其一個周期T|a|.常見結(jié)論：(1)f(xa)f(x)函數(shù)f(x)的最小正周期為2|a|.(a0)(2)f(xa)函數(shù)f(x)的最小正周期為2|a|. (a0)(3)f(ax)f(bx)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x對稱易錯起源2、函數(shù)圖象及應(yīng)用例2、(1)函數(shù)y的圖象大致為()(2)已知函數(shù)f(x)，g(x)a2x32ax2xa(aR)在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象不可能的是()答案(1)A(2)B解析(1)首先根據(jù)函數(shù)表達式可知y為(，)上的奇函數(shù)，且f(0)0，排除C，D；當x時，顯然排除B，故選A.(2)因為f(x)，所以f(x)ax2x，若a0，則選項D是正確的，故排除D.若a<0，選項B中的二次函數(shù)的判別式14a12a2<0，所以a2>，又a<0，所以a<.二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為x；三次函數(shù)g(x)a2x32ax2xa，所以g(x)3a2x24ax13a2，令g(x)>0，得x<或x>，令g(x)<0，得<x<，所以函數(shù)g(x)a2x32ax2xa的極大值點為x，極小值點為x；由B中的圖象知<.但a<，所以>，所以選項B的圖象是錯誤的，故選B.【變式探究】(1)函數(shù)f(x)cosx (x且x0)的圖象可能為()(2)已知三次函數(shù)f(x)2ax36ax2bx的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，則函數(shù)f(x)與f(x)的圖象可能是()答案(1)D(2)B【名師點睛】 (1)根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象，要從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面入手，結(jié)合給出的函數(shù)圖象進行全面分析，有時也可結(jié)合特殊的函數(shù)值進行輔助推斷，這是解決函數(shù)圖象判斷此類試題的基本方法(2)判斷復(fù)雜函數(shù)的圖象，常借助導(dǎo)數(shù)這一工具，先對原函數(shù)進行求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值，從而對選項進行篩選要注意函數(shù)求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)發(fā)生了變化，故導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)定義域會有所不同，我們必須在原函數(shù)的定義域內(nèi)研究函數(shù)的極值和最值【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】1作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換2利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時要準確畫出圖象的特點易錯起源3、基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)例3、(1)設(shè)a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()AabcBacbCbacDbca(2)若函數(shù)若f(a)>f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)答案(1)C(2)C解析(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)y0.6x在R上單調(diào)遞減可得0.61.50.60.60.601，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y1.5x在R上單調(diào)遞增可得1.50.61.501，bac.(2)方法一由題意作出yf(x)的圖象如圖顯然當a>1或1<a<0時，滿足f(a)>f(a)故選C.方法二對a分類討論：當a>0時，a>1.當a<0時，0<a<1，1<a<0，故選C.【變式探究】(1)在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)xa(x0)，g(x)logax的圖象可能是()(2)已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標原點對稱，且當x(，0)時，不等式f(x)xf(x)<0恒成立，若a20.2f(20.2)，bln2f(ln2)，c2f(2)，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aa>b>cBc>b>aCc>a>bDa>c>b答案(1)D(2)C解析(1)方法一分a>1,0<a<1兩種情形討論當a>1時，yxa與ylogax均為增函數(shù)，但yxa遞增較快，排除C；當0<a<1時，yxa為增函數(shù)，ylogax為減函數(shù)，排除A.由于yxa遞增較慢，所以選D.方法二冪函數(shù)f(x)xa的圖象不過(0,1)點，排除A；B項中由對數(shù)函數(shù)f(x)logax的圖象知0<a<1，而此時冪函數(shù)f(x)xa的圖象應(yīng)是增長越來越慢的變化趨勢，故B錯，D正確；C項中由對數(shù)函數(shù)f(x)logax的圖象知a>1，而此時冪函數(shù)f(x)xa的圖象應(yīng)是增長越來越快的變化趨勢，故C錯(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)xf(x)，則g(x)f(x)xf(x)，當x(，0)時，g(x)<0，所以函數(shù)yg(x)在(，0)上單調(diào)遞減因為函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于坐標原點對稱，所以yf(x)是奇函數(shù)，由此可知函數(shù)yg(x)是偶函數(shù)根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)yg(x)在(0，)上單調(diào)遞增又ag(20.2)，bg(ln2)，cg(2)g(2)，由于ln2<20.2<2，所以c>a>b.【名師點睛】(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，重點考查圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及其運算能力(2)比較代數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】1指數(shù)函數(shù)yax(a>0，a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，a1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1，a>1兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質(zhì)2冪函數(shù)yx的圖象和性質(zhì)，主要掌握1,2,3，1五種情況1下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()AyByxCy2xDyxex答案D解析令f(x)xex，則f(1)1e，f(1)1e1，即f(1)f(1)，f(1)f(1)，所以yxex既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，而A、B、C依次是偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，故選D.2下列函數(shù)中，滿足“f(xy)f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是()Af(x)xBf(x)x3Cf(x)()xDf(x)3x答案D3函數(shù)f(x)xcosx的大致圖象是()答案B解析f(x)xcosx，f(x)xcosx，f(x)f(x)，且f(x)f(x)，故函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)，排除A、C；當x時，xcosxx，即f(x)的圖象與直線yx的交點中有一個點的橫坐標為，排除D.故選B.4已知函數(shù)f(x)的值域為R，那么a的取值范圍是()A(，1 B.C.D.答案C解析要使函數(shù)f(x)的值域為R，需使所以所以1a<，故選C.5設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，滿足條件yf(x1)是偶函數(shù)，且當x1時，f(x)x1，則f，f，f的大小關(guān)系是()Af>f>fBf>f>fCf>f>fDf>f>f答案A6已知符號函數(shù)sgnxf(x)是R上的增函數(shù)，g(x)f(x)f(ax)(a>1)，則()Asgng(x)sgn xBsgng(x)sgn xCsgng(x)sgnf(x)Dsgng(x)sgnf(x)答案B解析因為a>1，所以當x>0時，x<ax，因為f(x)是R上的增函數(shù)，所以f(x)<f(ax)，所以g(x)f(x)f(ax)<0，sgng(x)1sgnx；同理可得當x<0時，g(x)f(x)f(ax)>0，sgng(x)1sgnx；當x0時，g(x)0，sgng(x)0sgnx也成立故B正確7設(shè)函數(shù)f(x)x|xa|，若對x1，x23，)，x1x2，不等式>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，3 B3,0)C(，3 D(0,3答案C解析由題意分析可知條件等價于f(x)在3，)上單調(diào)遞增，又因為f(x)x|xa|，所以當a0時，結(jié)論顯然成立，當a>0時，f(x)所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增，所以0<a3.綜上，實數(shù)a的取值范圍是(，38.如圖所示的圖形是由一個半徑為2的圓和兩個半徑為1的半圓組成的，它們的圓心分別是O，O1，O2，動點P從A點出發(fā)沿著圓弧按AOBCADB的路線運動(其中A，O，O1，O2，B五點共線)，記點P運動的路程為x，設(shè)y|O1P|2，y與x的函數(shù)關(guān)系為yf(x)，則yf(x)的大致圖象是()答案A解析當x0，時，y1.當x(，2)時，設(shè)與的夾角為，|1，|2，所以x，所以y|2()254cos54cosx，x(，2)，所以函數(shù)yf(x)的圖象是曲線，且單調(diào)遞增，排除C，D.當x2，4)時，因為，設(shè)，的夾角為，|2，|1，所以2x，所以y|2()254cos54cosx，x2，4)，所以函數(shù)yf(x)的圖象是曲線，且單調(diào)遞減，排除B.故選A.9給出下列四個函數(shù)：y2x；ylog2x；yx2；y.當0<x1<x2<1時，使f>恒成立的函數(shù)的序號是_答案解析由題意知，滿足條件的函數(shù)圖象形狀為：故符合圖象形狀的函數(shù)為ylog2x，y.10已知f(x)在(，)上是增函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是_答案解析由題意得解得a<3.11能夠把圓O：x2y216的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為圓O的“和諧函數(shù)”，下列函數(shù)是圓O的“和諧函數(shù)”的是_f(x)exex；f(x)ln；f(x)tan；f(x)4x3x.答案解析由“和諧函數(shù)”的定義知，若函數(shù)為“和諧函數(shù)”，則該函數(shù)為過原點的奇函數(shù)，中，f(0)e0e02，所以f(x)exex的圖象不過原點，故f(x)exex不是“和諧函數(shù)”；中，f(0)lnln10，且f(x)lnlnf(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)ln為“和諧函數(shù)”；中，f(0)tan00，且f(x)tantanf(x)，f(x)為奇函數(shù)，故f(x)tan為“和諧函數(shù)”；中，f(0)0，且f(x)為奇函數(shù)，故f(x)4x3x為“和諧函數(shù)”，所以中的函數(shù)都是“和諧函數(shù)”12已知二次函數(shù)f(x)ax2bx1(a>0)，F(xiàn)(x)若f(1)0，且對任意實數(shù)x均有f(x)0成立(1)求F(x)的表達式；(2)當x2,2時，g(x)f(x)kx是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍解(1)f(1)0，ab10，ba1，f(x)ax2(a1)x1.f(x)0恒成立，即a1，從而b2，f(x)x22x1，F(xiàn)(x)(2)由(1)知，g(x)x22x1kxx2(2k)x1.g(x)在2,2上是單調(diào)函數(shù)，2或2，解得k2或k6.k的取值范圍是(，26，)