第2講圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)做真題題型一圓錐曲線的定義與方程1(2019·高考全國卷)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，則C的方程為()Ay21B1C1D1解析：選B.由題意設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)，連接F1A，令|F2B|m，則|AF2|2m，|BF1|3m.由橢圓的定義知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)令OAF2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sin .在等腰三角形ABF1中，cos 2，所以12，得a23.又c21，所以b2a2c22，橢圓C的方程為1.故選B.2(2019·高考全國卷)若拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p()A2B3C4D8解析：選D.由題意，知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，所以，解得p8，故選D.3(一題多解)(2017·高考全國卷)已知雙曲線C：1 (a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A1B1C1D1解析：選B.法一：由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為k(k>0)，即1，因?yàn)殡p曲線與橢圓1有公共焦點(diǎn)，所以4k5k123，解得k1，故雙曲線C的方程為1.故選B.法二：因?yàn)闄E圓1的焦點(diǎn)為(±3，0)，雙曲線與橢圓1有公共焦點(diǎn)，所以a2b2(±3)29，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為yx，所以，聯(lián)立可解得a24，b25，所以雙曲線C的方程為1.4(2017·高考全國卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|_解析：法一：依題意，拋物線C：y28x的焦點(diǎn)F(2，0)，準(zhǔn)線x2，因?yàn)镸是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N，M為FN的中點(diǎn)，設(shè)M(a，b)(b>0)，所以a1，b2，所以N(0，4)，|FN|6.法二：依題意，拋物線C：y28x的焦點(diǎn)F(2，0)，準(zhǔn)線x2，因?yàn)镸是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N，M為FN的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.答案：6題型二圓錐曲線的幾何性質(zhì)1(2018·高考全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P120°，則C的離心率為()ABCD解析：選D.由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，設(shè)|F1F2|2c，因?yàn)镻F1F2為等腰三角形，且F1F2P120°，所以|PF2|F1F2|2c，所以|OF2|c，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(c2ccos 60°，2csin 60°)，即點(diǎn)P(2c，c)因?yàn)辄c(diǎn)P在過點(diǎn)A，且斜率為的直線上，所以，解得，所以e，故選D.2(一題多解)(2019·高考全國卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)若，·0，則C的離心率為_解析：通解：因?yàn)?#183;0，所以F1BF2B，如圖所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因?yàn)椋渣c(diǎn)A為F1B的中點(diǎn)，又點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)ABF2，所以F1BOA，因?yàn)橹本€OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan BF1O，tan BOF2.因?yàn)閠an BOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以雙曲線的離心率e2.優(yōu)解：因?yàn)?#183;0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以O(shè)BF2OF2B，又，所以A為F1B的中點(diǎn)，所以O(shè)AF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以O(shè)BF2為等邊三角形由F2(c，0)可得B，因?yàn)辄c(diǎn)B在直線yx上，所以c·，所以，所以e2.答案：23(一題多解)(2018·高考全國卷)已知點(diǎn)M(1，1)和拋物線C：y24x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若AMB90°，則k_解析：法一：由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(1，0)，則過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線方程為yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，則y1y2，y1y24，由AMB90°，得·(x11，y11)·(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，將x1x2，x1x21與y1y2，y1y24代入，得k2.法二：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以yy4(x1x2)，則k，取AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x1的垂線，垂足分別為A，B，又AMB90°，點(diǎn)M在準(zhǔn)線x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M為AB的中點(diǎn)，所以MM平行于x軸，且y01，所以y1y22，所以k2.答案：2山東省學(xué)習(xí)指導(dǎo)意見1了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用2掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)3了解拋物線、雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡單幾何性質(zhì)圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題 (1)橢圓1的左焦點(diǎn)為F，直線xm與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)FMN的周長最大時(shí)，F(xiàn)MN的面積是()ABCD(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是()Ax±y0Bx±y0Cx±2y0D2x±y0【解析】(1)如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，連接MF，NF.因?yàn)閨MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以當(dāng)直線xm過橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)MN的周長最大此時(shí)|MN|，又c1，所以此時(shí)FMN的面積S×2×.故選C.(2)不妨設(shè)P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，由雙曲線的定義，可得|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a，又|F1F2|2c，則|PF2|2a最小，所以PF1F230°.在PF1F2中，由余弦定理，可得cos 30°，整理得c23a22ac，解得ca，所以b a.所以雙曲線C的漸近線方程為y±x.故選A.【答案】(1)C(2)A(1)圓錐曲線的定義橢圓：|MF1|MF2|2a(2a>|F1F2|)雙曲線：|MF1|MF2|2a(2a<|F1F2|)拋物線：|MF|d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)注意應(yīng)用圓錐曲線定義解題時(shí)，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯(cuò)誤(2)求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的思路定型就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時(shí)，拋物線常設(shè)為y22ax或x22ay(a0)，橢圓常設(shè)為mx2ny21(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2ny21(mn>0) 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·福州模擬)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，若2，且|4，則雙曲線C的方程為()A1B1C1D1解析：選D.不妨設(shè)B(0，b)，由2，F(xiàn)(c，0)，可得A，代入雙曲線C的方程可得×1，所以.又|4，c2a2b2，所以a22b216.由可得，a24，b26，所以雙曲線C的方程為1.2(2019·陜西渭南期末改編)已知方程1，若該方程表示雙曲線，則k的取值范圍是_，若該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則k的取值范圍是_解析：方程1表示雙曲線，若焦點(diǎn)在x軸上，則4k>0，k2<0，解得k<2；若焦點(diǎn)在y軸上，則4k<0，k2>0，解得k>4，則k的取值范圍是(，2)(4，)若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4k>k2>0，即2<k<3，則k的取值范圍為(2，3)答案：(，2)(4，)(2，3)3過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|2|BF|6，則p_解析：設(shè)直線AB的方程為xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，將直線AB的方程代入拋物線方程得y22pmyp20，所以y1y2p2，4x1x2p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過A作ACl，垂足為C，過B作BDl，垂足為D，因?yàn)閨AF|2|BF|6，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，所以x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.答案：4圓錐曲線的性質(zhì)典型例題 (1)(2019·高考全國卷)設(shè)F為雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2交于 P，Q兩點(diǎn)若|PQ|OF|，則C的離心率為()ABC2D(2)(2019·濟(jì)南市模擬考試)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且1·20，22，則橢圓E的離心率為()ABCD【解析】(1)如圖，由題意，知以O(shè)F為直徑的圓的方程為y2，將x2y2a2記為式，得x，則以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2的相交弦所在直線的方程為x，所以|PQ|2.由|PQ|OF|，得2c，整理得c44a2c24a40，即e44e240，解得e，故選A.(2)設(shè)|BF2|m，則|AF2|2m.連接BF1，由橢圓的定義可知|AF1|2a2m，|BF1|2am.由1·20知AF1AF2，故在RtABF1中，(2a2m)2(3m)2(2am)2，整理得m.故在RtAF1F2中，|AF1|，|AF2|，故4c2，解得e.【答案】(1)A(2)C(1)橢圓、雙曲線的離心率(或范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值(2)雙曲線的漸近線的求法及用法求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為零，分解因式可得用法：(i)可得或的值(ii)利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·廣州市調(diào)研測(cè)試)已知拋物線y22px(p>0)與雙曲線1(a>0，b>0)有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且AFx軸，則雙曲線的離心率為()A1B1C1D2解析：選A.如圖，結(jié)合題意畫出圖形，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以由題設(shè)知雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以a2b2.因?yàn)锳Fx軸，所以由點(diǎn)A在拋物線上可得A(取A在第一象限)，又點(diǎn)A在雙曲線上，所以p.將代入得a2b2，即b44a44a2b2，所以4410，所以，從而e2(1)2，故e1.故選A.2(2019·濟(jì)南一模改編)拋物線y28x的焦點(diǎn)到雙曲線1漸近線的距離為_，雙曲線右焦點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為_解析：拋物線y28x的焦點(diǎn)F(2，0)，雙曲線 1的一條漸近線方程為yx，即3x4y0，則點(diǎn)F(2，0)到漸近線3x4y0的距離為.雙曲線右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，0)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x2，所以雙曲線右焦點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為7.答案：7直線與圓錐曲線的位置關(guān)系典型例題命題角度一位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y22px(p0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接ON并延長交C于點(diǎn)H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說明理由【解】(1)由已知得M(0，t)，P.又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，故N，ON的方程為yx，代入y22px，整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N為OH的中點(diǎn)，即2.(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn)理由如下：直線MH的方程為ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H以外直線MH與C沒有其他公共點(diǎn)(1)直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)的判定通常的方法是直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，其>0；另一方法就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到(2)直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的結(jié)論直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切 命題角度二弦長問題 (2019·高考全國卷)已知拋物線C：y23x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.【解】設(shè)直線l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由題設(shè)得F，故|AF|BF|x1x2，由題設(shè)可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，則x1x2.從而，得t.所以l的方程為yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22.從而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.直線與圓錐曲線的相交弦弦長的求法解決直線與圓錐曲線的相交弦問題的通法是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y或x后得到一元二次方程，當(dāng)>0時(shí)，直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，則弦長|AB|···|y1y2|·(k為直線的斜率且k0)，當(dāng)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)也可以直接用|AB|求之 命題角度三定比、定點(diǎn)問題 已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，且經(jīng)過點(diǎn)E.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方)，若，且23，求直線l的斜率k的取值范圍【解】(1)由解得所以橢圓C的方程為1.(2)由題意得直線l的方程為yk(x1)(k0)，聯(lián)立方程，得整理得y2y90，1440，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，又，所以y1y2，所以y1y2(y1y2)2，則，2，因?yàn)?3，所以2，即，且k0，解得0k.故直線l的斜率k的取值范圍是.(1)對(duì)于弦的中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解在使用“根與系數(shù)的關(guān)系”時(shí)，要注意使用條件0；在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交(2)圓錐曲線以P(x0，y0)(y00)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率分別是k(橢圓1)，k(雙曲線1)，k(拋物線y22px)，其中k(x1x2)，(x1，y1)，(x2，y2)為弦端點(diǎn)的坐標(biāo) 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·高考全國卷)已知曲線C：y，D為直線y上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積解：(1)證明：設(shè)D，A(x1，y1)，則x2y1.由于yx，所以切線DA的斜率為x1，故x1.整理得2tx12y110.設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直線AB的方程為2tx2y10.所以直線AB過定點(diǎn).(2)由(1)得直線AB的方程為ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|×2(t21)設(shè)d1，d2分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則d1，d2.因此，四邊形ADBE的面積S|AB|(d1d2)(t23).設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M.由于，而(t，t22)，與向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t±1.當(dāng)t0時(shí)，S3；當(dāng)t±1時(shí)，S4.因此，四邊形ADBE的面積為3或4.2(2019·湖南長沙模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為(，0)，且經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)M是x軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸的上方)(1)求橢圓C的方程；(2)若2，且直線l與圓O：x2y2相切于點(diǎn)N，求|MN|.解：(1)由題意知得(a24)(4a23)0，又a23b2>3，故a24，則b21，所以橢圓C的方程為y21.(2)設(shè)M(m，0)，直線l：xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得y12y2.由得(t24)y22tmym240，則y1y2，y1y2.由y1y22y，y1y22y2y2y2，得y1y22(y1y2)22(y1y2)2，所以2，化簡得(m24)(t24)8t2m2.易知原點(diǎn)O到直線l的距離d，又直線l與圓O：x2y2相切，所以，即t2m21.由得21m416m2160，即(3m24)(7m24)0，解得m2，此時(shí)t2，滿足>0，所以M.在RtOMN中，|MN|.一、選擇題1已知雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，且離心率為2，則該雙曲線的實(shí)軸的長為()A1BC2D2解析：選C.由題意知雙曲線的焦點(diǎn)(c，0)到漸近線bxay0的距離為b，即c2a23，又e2，所以a1，該雙曲線的實(shí)軸的長為2a2.2若拋物線y24x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OFP的面積為()AB1CD2解析：選B.設(shè)P(x0，y0)，依題意可得|PF|x012，解得x01，故y4×1，解得y0±2，不妨取P(1，2)，則OFP的面積為×1×21.3(2019·高考全國卷)雙曲線C：1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|PO|PF|，則PFO的面積為()ABC2D3解析：選A.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，根據(jù)題意可知c26，所以|OF|.又tanPOF，所以等腰三角形POF的高h(yuǎn)×，所以SPFO××.4(2019·昆明模擬)已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，B為C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，直線BF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為A，若BAF2為等腰三角形，則()ABCD3解析：選A.如圖，不妨設(shè)點(diǎn)B在y軸的正半軸上，根據(jù)橢圓的定義，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由題意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，|AF1|，|AF2|.所以.故選A.5(2019·湖南湘東六校聯(lián)考)已知橢圓：1(a>b>0)的長軸長是短軸長的2倍，過右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線與相交于A，B兩點(diǎn)若3，則k()A1B2CD解析：選D.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)?，所以y13y2.因?yàn)闄E圓的長軸長是短軸長的2倍，所以a2b，設(shè)bt，則a2t，故ct，所以1.設(shè)直線AB的方程為xsyt，代入上述橢圓方程，得(s24)y22styt20，所以y1y2，y1y2，即2y2，3y，得s2，k，故選D.6(多選)設(shè)拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)若ABD90°，且ABF的面積為9，則()AABF是等邊三角形B|BF|3C點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3D拋物線C的方程為y26x解析：選ACD.因?yàn)橐訤為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，ABD90°，由拋物線的定義可得|AB|AF|BF|，所以ABF是等邊三角形，所以FBD30°.因?yàn)锳BF的面積為|BF|29，所以|BF|6.又點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin 30°3p，則該拋物線的方程為y26x.二、填空題7已知P(1，)是雙曲線C：1(a>0，b>0)漸近線上的點(diǎn)，則雙曲線C的離心率是_解析：雙曲線C的一條漸近線的方程為yx，P(1，)是雙曲線C漸近線上的點(diǎn)，則，所以離心率e2.答案：28(2019·高考全國卷)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限若MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_解析：不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，根據(jù)題意可知c4.因?yàn)镸F1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.設(shè)M(x，y)，則得所以M的坐標(biāo)為(3，)答案：(3，)9(2019·湖南師大附中月考改編)拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_，拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為_解析：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y，準(zhǔn)線方程與雙曲線方程聯(lián)立可得1，解得x± .因?yàn)锳BF為等邊三角形，所以|AB|p，即×2p，解得p6.則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，雙曲線漸近線方程為y±x，則拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為.答案：6三、解答題10(2019·高考天津卷)設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線PB與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上，若|ON|OF|(O為原點(diǎn))，且OPMN，求直線PB的斜率解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，橢圓的方程為1.(2)由題意，設(shè)P(xp，yp)(xp0)，M(xM，0)設(shè)直線PB的斜率為k(k0)，又B(0，2)，則直線PB的方程為ykx2，與橢圓方程聯(lián)立整理得(45k2)x220kx0，可得xp，代入ykx2得yp，進(jìn)而直線OP的斜率為.在ykx2中，令y0，得xM.由題意得N(0，1)，所以直線MN的斜率為.由OPMN，得·1，化簡得k2，從而k±.所以，直線PB的斜率為或.11已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，短軸長為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l：ykxm與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若kOM·kON，求原點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍解：(1)由題知e，2b2，又a2b2c2，所以b1，a2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立得(4k21)x28kmx4m240，依題意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化簡得m24k21，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOM·kON，則，即4y1y25x1x2，所以4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，所以(4k25)·4km·()4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化簡得m2k2，由得0m2，k2，因?yàn)樵c(diǎn)O到直線l的距離d，所以d21，又k2，所以0d2，所以原點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍是.12(2019·成都市第二次診斷性檢測(cè))已知橢圓C：1(a>b>0)的短軸長為4，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且F1MF2N，直線F1M的斜率為2，記直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，求3k12k2的值解：(1)由題意，得2b4，.又a2c2b2，所以a3，b2，c1.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由(1)可知A(3，0)，B(3，0)，F(xiàn)1(1，0)據(jù)題意，直線F1M的方程為y2(x1)記直線F1M與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為M.設(shè)M(x1，y1)(y1>0)，M(x2，y2)因?yàn)镕1MF2N，所以根據(jù)對(duì)稱性，得N(x2，y2)聯(lián)立，消去y，得14x227x90.由題意知x1>x2，所以x1，x2，k1，k2，所以3k12k23×2×0，即3k12k2的值為0. 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