專題檢測（八） 等差數(shù)列、等比數(shù)列A組“633”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1.(2019·全國卷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15，且a53a34a1，則a3()A.16B.8C.4 D.2解析：選C由題意知解得 a3a1q24.故選C.2.(2019·湖南省五市一校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足2anan1an1(n2)，a2a4a612，a1a3a59，則a1a6()A.6 B.7C.8 D.9解析：選B法一：由題意知，數(shù)列an是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則解得所以a1a6a1a15d7，故選B.法二：由題意知，數(shù)列an是等差數(shù)列，將a2a4a612與a1a3a59相加可得3(a1a6)12921，所以a1a67，故選B.3.(2019·福州市質(zhì)量檢測)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.若a34，a2a664，則S5()A.32 B.31C.64 D.63解析：選B法一：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍n0，所以q0，由條件得解得所以S531，故選B.法二：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍n0，所以q0，由a2a6a64，a34，得q2，a11，所以S531，故選B.4.數(shù)列an中，a12，a23，an1anan1(n2，nN*)，那么a2 019()A.1 B.2C.3 D.3解析：選A因?yàn)閍n1anan1(n2)，所以anan1an2(n3)，所以an1anan1(an1an2)an1an2(n3).所以an3an(nN*)，所以an6an3an，故an是以6為周期的周期數(shù)列.因?yàn)? 019336×63，所以a2 019a3a2a1321.故選A.5.(2019屆高三·西安八校聯(lián)考)若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SnSn1<0的正整數(shù)n的值為()A.10 B.11C.12 D.13解析：選C由S6>S7>S5，得S7S6a7<S6，S7S5a6a7>S5，所以a7<0，a6a7>0，所以S1313a7<0，S126(a6a7)>0，所以S12S13<0，即滿足SnSn1<0的正整數(shù)n的值為12，故選C.6.已知數(shù)列an滿足an2an1an1an，nN*，且a5，若函數(shù)f(x)sin 2x2cos2 ，記ynf(an)，則數(shù)列yn的前9項(xiàng)和為()A.0 B.9C.9 D.1解析：選C由已知可得，數(shù)列an為等差數(shù)列，f(x)sin 2xcos x1，f1.f(x)sin(22x)cos(x)1sin 2xcos x1，f(x)f(x)2，a1a9a2a82a5，f(a1)f(a9)2×419，即數(shù)列yn的前9項(xiàng)和為9.二、填空題7.(2019·全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a11，S3，則S4_.解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則ana1qn1qn1. a11，S3， a1a2a31qq2，即4q24q10， q， S4.答案：8.(2019·北京高考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a23，S510，則a5_，Sn的最小值為_.解析： a2a1d3，S55a110d10， a14，d1， a5a14d0， ana1(n1)dn5.令an<0，則n<5，即數(shù)列an中前4項(xiàng)為負(fù)，a50，第6項(xiàng)及以后為正. Sn的最小值為S4S510.答案：0109.設(shè)某數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若為常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”.若一個首項(xiàng)為1，公差為d(d0)的等差數(shù)列an為“和諧數(shù)列”，則該等差數(shù)列的公差d_.解析：由k(k為常數(shù))，且a11，得nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得，(4k1)dn(2k1)(2d)0，對任意正整數(shù)n，上式恒成立，得數(shù)列an的公差為2.答案：2三、解答題10.(2019·北京高考)設(shè)an是等差數(shù)列，a110，且a210，a38，a46成等比數(shù)列.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)記an的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值.解：(1)設(shè)an的公差為d.因?yàn)閍110，所以a210d，a3102d，a4103d.因?yàn)閍210，a38，a46成等比數(shù)列，所以(a38)2(a210)(a46).所以(22d)2d(43d).解得d2.所以ana1(n1)d2n12.(2)由(1)知，an2n12.則當(dāng)n7時，an>0；當(dāng)n6時，an0.所以Sn的最小值為S5S630.11.(2019·廣西梧州、桂林、貴港等期末)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a2a38，S981.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若S3，a14，Sm成等比數(shù)列，求S2m.解：(1)故an1(n1)×22n1.(2)由(1)知，Snn2.S3，a14，Sm成等比數(shù)列，S3·Sma，即9m2272，解得m9，故S2m182324.12.(2019·廣州市調(diào)研測試)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a37，an2an1a22(n2).(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并判斷n，an，Sn是否成等差數(shù)列？解：(1)證明：a37，a33a22，a23，an2an11，a11，2(n2)，數(shù)列an1是首項(xiàng)為a112，公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)知，an12n，an2n1，Snn2n1n2，nSn2ann(2n1n2)2(2n1)0，nSn2an，即n，an，Sn成等差數(shù)列.B組大題專攻強(qiáng)化練1.(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足an13an3n(nN*)且a11.(1)設(shè)bn，證明：數(shù)列bn為等差數(shù)列；(2)設(shè)cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)證明：由已知得an13an3n，得bn11bn1，所以bn1bn1，又a11，所以b11，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)知，bnn，所以ann·3n1，cn，所以Sn.2.(2019·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知S9a5.(1)若a34，求an的通項(xiàng)公式；(2)若a1>0，求使得Snan的n的取值范圍.解：(1)設(shè)an的公差為d.由S9a5得a14d0.由a34得a12d4.于是a18，d2.因此an的通項(xiàng)公式為an102n.(2)由(1)得a14d，故an(n5)d，Sn.由a1>0知d<0，故Snan等價于n211n100，解得1n10，所以n的取值范圍是n|1n10，nN.3.(2019·全國卷)已知數(shù)列an和bn滿足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)證明：anbn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項(xiàng)公式.解：(1)證明：由題設(shè)得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn).又因?yàn)閍1b11，所以anbn是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.由題設(shè)得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因?yàn)閍1b11，所以anbn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.(2)由(1)知，anbn，anbn2n1，所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.4.已知數(shù)列an的首項(xiàng)a13，a37，且對任意的nN*，都有an2an1an20，數(shù)列bn滿足bna，nN*.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)求使b1b2bn2 020成立的最小正整數(shù)n的值.解：(1)令n1得，a12a2a30，解得a25.又由an2an1an20知，an2an1an1ana2a12，故數(shù)列an是首項(xiàng)a13，公差d2的等差數(shù)列，于是an2n1，bna2n1.(2)由(1)知，bn2n1.于是b1b2bn(21222n)nn2n1n2.令f(n)2n1n2，易知f(n)是關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù)，又f(9)210921 031，f(10)2111022 056，故使b1b2bn2 020成立的最小正整數(shù)n的值是10.- 7 -