第5講導(dǎo)數(shù)與方程1(2019·濟南市模擬考試)已知函數(shù)f(x)(x1)2xln x(a>0)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若1<a<e，試判斷f(x)的零點個數(shù)解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)a(x1)1，令f(x)0，則x11，x2，若a1，則f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)若0<a<1，則>1，當(dāng)x(0，1)時，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x時，f(x)<0，f(x)是減函數(shù)，當(dāng)x時，f(x)>0.f(x)是增函數(shù)若a>1，則0<<1，當(dāng)x時，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x時，f(x)<0，f(x)是減函數(shù)，當(dāng)x(1，)時，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)綜上所述，當(dāng)a1時，f(x)在(0，)上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時，f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)a>1時，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)(2)當(dāng)1<a<e時，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)，所以f(x)的極小值為f(1)1<0.f(x)的極大值為fln ln a1.設(shè)g(a)ln a1，其中a(1，e)，則g(a)>0，所以g(a)在(1，e)上是增函數(shù)，所以g(a)<g(e)2<0.因為f(4)(41)24ln 4>×94ln 4ln 4>0，所以存在x0(1，4)，使f(x0)0，所以當(dāng)1<a<e時，f(x)有且只有一個零點2(2019·南昌市第一次模擬測試)已知函數(shù)f(x)ex(ln xaxab)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，a，bR，直線yx是曲線yf(x)在x1處的切線(1)求a，b的值；(2)是否存在kZ，使得yf(x)在(k，k1)上有唯一零點？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由解：(1)f(x)ex(ln xaxb)，f(x)的定義域為(0，)由已知，得即，解得a1，b.(2)由(1)知，f(x)ex，則f(x)ex，令g(x)ln xx，則g(x)<0恒成立，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，又g(1)>0，g(2)ln 21<0，所以存在唯一的x0(1，2)，使得g(x0)0，且當(dāng)x(0，x0)時，g(x)>0，即f(x)>0，當(dāng)x(x0，)時，g(x)<0，即f(x)<0.所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減又當(dāng)x0時，f(x)<0，f(1)>0，f(2)e2(ln 2)>0，f(e)ee<0，所以存在k0或2，使得yf(x)在(k，k1)上有唯一零點3(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測(二)已知函數(shù)f(x)exbx1(bR)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若方程f(x)ln x有兩個實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍解：(1)由題意可得f(x)exb，當(dāng)b0時，f(x)>0，f(x)在(，)上單調(diào)遞增當(dāng)b<0時，若xln(b)，則f(x)0，f(x)在ln (b)，)上單調(diào)遞增；若x<ln (b)，則f(x)<0，f(x)在(，ln (b)上單調(diào)遞減(2)令g(x)exbx1ln x，則g(x)exb，易知g(x)單調(diào)遞增且一定有大于0的零點，設(shè)g(x)大于0的零點為x0，則g(x0)0，即ex0b0，bex0.方程f(x)ln x有兩個實數(shù)根，即g(x)有兩個零點，則需滿足g(x0)<0，即ex0bx01ln x0ex0x01ln x0ex0ex0x0ln x0<0，令h(x)exexxln x(x>0)，則h(x)exx<0，所以h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，h(1)0，所以ex0ex0x0ln x0<0的解集為(1，)，所以bex0<1e.當(dāng)b<1e時，exbx1ln x>xbxln x，有g(shù)(eb)>ebbebln eb(b1)ebb，令G(x)(x1)exx(x1)(ex1)1，x<1e，所以x1<2e<0，0<ex<1，故G(x)(x1)exx>0，所以g(eb)>0，故g(eb)g(x0)<0，g(x)在(0，x0)上有唯一零點，另一方面，在(x0，)上，當(dāng)x時，因為ex的增長速度快，所以g(x)>0.綜上，b的取值范圍是(，1e)4已知函數(shù)f(x)x2aln x.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)ln xbxcx2，若函數(shù)f(x)的兩個極值點x1，x2(x1<x2)恰為函數(shù)g(x)的兩個零點，且y(x1x2)g()的范圍是ln 2，)，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)1.若a1，則f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)a1且x1時，f(x)0，若a>1，令f(x)0得x1a，x2a.當(dāng)x(0，a)(a，)時，f(x)<0；當(dāng)x(a，a)時，f(x)>0.所以當(dāng)a1時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)a>1時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)，(a，)；單調(diào)遞增區(qū)間為(a，a)(2)由(1)知，a>1且x1x22a，x1x21.又g(x)b2cx，所以g()bc(x1x2)，由g(x1)g(x2)0得ln c(xx)b(x1x2)，所以y(x1x2)g()b(x1x2)c(xx)lnln.令t(0，1)，則yln t，所以y<0，則yln t在(0，1)上單調(diào)遞減，且當(dāng)t0時，y.由yln t的取值范圍是ln 2，)，得t的取值范圍是(0，所以4a22t2，)，又a>1，故實數(shù)a的取值范圍是，) - 5 -