-1-第第 4 4 講講 隨機(jī)變量及其分布列隨機(jī)變量及其分布列課后自測(cè)診斷及時(shí)查漏補(bǔ)缺備考不留死角1某小組共 10 人，利用假期參加義工活動(dòng)已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為 1,2,3 的人數(shù)分別為 3,3,4.現(xiàn)從這 10 人中隨機(jī)選出 2 人作為該組代表參加座談會(huì)(1)設(shè)“選出的 2 人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為 4”為事件A，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的 2 人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望解：(1)由已知，有P(A)C13C14C23C21013.所以事件A發(fā)生的概率為13.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為 0,1,2.P(X0)C23C23C24C210415，P(X1)C13C13C13C14C210715，P(X2)C13C14C210415.所以隨機(jī)變量X的分布列為X012P415715415隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0415171524151.2某果園要用三輛汽車(chē)將一批水果從所在城市E運(yùn)至銷(xiāo)售城市F，已知從城市E到城市F有兩條公路統(tǒng)計(jì)表明：汽車(chē)走公路堵車(chē)的概率為110，不堵車(chē)的概率為910；走公路堵車(chē)的概率為35，不堵車(chē)的概率為25，若甲、乙兩輛汽車(chē)走公路，第三輛汽車(chē)丙由于其他原因走公路運(yùn)送水果，且三輛汽車(chē)是否堵車(chē)相互之間沒(méi)有影響(1)求甲、乙兩輛汽車(chē)中恰有一輛堵車(chē)的概率；(2)求三輛汽車(chē)中至少有兩輛堵車(chē)的概率解：記“汽車(chē)甲走公路堵車(chē)”為事件A，“汽車(chē)乙走公路堵車(chē)”為事件B，“汽車(chē)丙走公路堵車(chē)”為事件C.(1)甲、乙兩輛汽車(chē)中恰有一輛堵車(chē)的概率為-2-P1P(AB)P(AB)110910910110950.(2)甲、乙、丙三輛汽車(chē)中至少有兩輛堵車(chē)的概率為P2P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)1101102511091035910110351101103559500.3已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為 24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取 7 人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，現(xiàn)從這 7 人中隨機(jī)抽取 3 人做進(jìn)一步的身體檢查用X表示抽取的 3 人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；設(shè)A為事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率解：(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)之比為 322，由于采用分層抽樣的方法從中抽取 7 人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取 3 人，2 人，2 人(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為 0,1,2,3.所以P(X0)C33C37135，P(X1)C14C23C371235，P(X2)C24C13C371835，P(X3)C34C37435，所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P13512351835435隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)013511235218353435127.設(shè)事件B為“抽取的 3 人中，睡眠充足的員工有 1 人，睡眠不足的員工有 2 人”；事件C為“抽取的 3 人中，睡眠充足的員工有 2 人，睡眠不足的員工有 1 人”，則ABC，且B與C互斥由知P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故P(A)P(BC)P(X2)P(X1)67.所以事件A發(fā)生的概率為67.-3-4某排球比賽采用五局三勝制，現(xiàn)按照以下規(guī)則進(jìn)行積分：在比賽中以大比分 30 或者 31 獲勝的球隊(duì)積 3 分，失敗的球隊(duì)積 0 分；在比賽中以 32 獲勝的球隊(duì)積 2 分，失敗的球隊(duì)積 1 分在甲隊(duì)對(duì)乙隊(duì)的比賽中，每局甲隊(duì)獲勝的概率都為23；在甲隊(duì)對(duì)丙隊(duì)的比賽中，每局甲隊(duì)獲勝的概率都為12.(1)求甲隊(duì)經(jīng)過(guò)兩輪比賽后積 6 分的概率；(2)已知甲隊(duì)對(duì)丙隊(duì)的比賽中甲隊(duì)積 2 分，求甲隊(duì)經(jīng)過(guò)兩輪比賽后積分Y的分布列和數(shù)學(xué)期望解：(1)記“甲隊(duì)經(jīng)過(guò)兩輪比賽后積 6 分”為事件A，“甲隊(duì)以大比分 30 或 31 勝乙隊(duì)”為事件B，“甲隊(duì)以大比分 30 或 31 勝丙隊(duì)”為事件C.P(B)C33233C23232123 238278271627，P(C)C33123C23122112 12516.故P(A)P(B)P(C)1627516527.(2)記甲隊(duì)對(duì)乙隊(duì)的比賽中甲隊(duì)的積分為X，則YX2.由(1)知P(X3)P(B)1627；P(X2)C242321232231681；P(X1)C241232232123 881；P(X0)C032301233C132311232123 19.所以X的分布列為X3210P1627168188119故積分X的數(shù)學(xué)期望為E(X)3162721681188101918481.由YX2，可得E(Y)E(X)218481234681.5某高校通過(guò)自主招生方式在江蘇招收一名優(yōu)秀的高三畢業(yè)生，經(jīng)過(guò)層層篩選，甲、乙-4-兩名學(xué)生進(jìn)入最后測(cè)試，該校設(shè)計(jì)了一個(gè)測(cè)試方案：甲、乙兩名學(xué)生各自從 6 個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽 3 個(gè)問(wèn)題已知這 6 個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生甲能正確回答其中的 4 個(gè)問(wèn)題，而學(xué)生乙能正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率均為23，甲、乙兩名學(xué)生對(duì)每個(gè)問(wèn)題的回答都是相互獨(dú)立、互不影響的(1)求甲、乙兩名學(xué)生共答對(duì) 2 個(gè)問(wèn)題的概率；(2)請(qǐng)從期望和方差的角度來(lái)分析，甲、乙兩名學(xué)生哪位被錄取的可能性更大？解：(1)由題意可得，所求概率為PC14C22C36C1323132C24C12C36C03230133115.(2)設(shè)學(xué)生甲答對(duì)的題數(shù)為X，則X的所有可能取值為 1,2,3.P(X1)C14C22C3615，P(X2)C24C12C3635，P(X3)C34C02C3615，E(X)1152353152，D(X)(12)215(22)235(32)21525.設(shè)學(xué)生乙答對(duì)的題數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為 0,1,2,3.由題意可知YB3，23，所以E(Y)3232，D(Y)3231323.因?yàn)镋(X)E(Y)，D(X)D(Y)，所以甲被錄取的可能性更大-5-