第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列一、選擇題1(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列an中，a32，a71.若數(shù)列為等差數(shù)列，則a9()ABCD解析：選C.因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，a32，a71，所以數(shù)列的公差d，所以(97)×，所以a9，故選C.2(一題多解)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S22，S36，則S5()A18B10C14D22解析：選D.法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由題意，得，解得，所以S522，故選D.法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，易知q1，令A(yù)，則SnAqnA，解得，所以Sn(2)n1，所以S5×(2)5122，故選D.3已知數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，若a1·a6·a113，b1b6b117，則tan 的值是()AB1CD解析：選A.依題意得，a()3，3b67，所以a6，b6，所以，故tantantantan，故選A.4(一題多解)(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測(cè))已知正項(xiàng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，a5a7a0，則S11的值為()A11B12C20D22解析：選D.通解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d>0)，則由(a14d)(a16d)(a15d)20，得(a15d)(a15d2)0，所以a15d0或a15d2，又a1>0，所以a15d>0，則a15d2，則S1111a1d11(a15d)11×222，故選D.優(yōu)解：因?yàn)閍n為正項(xiàng)等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)，并結(jié)合a5a7a0，得2a6a0，a62，則S1111a622，故選D.5等差數(shù)列an中，已知|a6|a11|，且公差d>0，則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)n的值為()A6B7C8D9解析：選C.由d>0可得等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，又|a6|a11|，所以a6a11，即a15da110d，所以a1，則a8<0，a9>0，所以前8項(xiàng)和為前n項(xiàng)和的最小值，故選C.6(多選)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，則下列命題正確的是()A數(shù)列|an|是等比數(shù)列B數(shù)列anan1是等比數(shù)列C數(shù)列是等比數(shù)列D數(shù)列l(wèi)g a是等比數(shù)列解析：選ABC.因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列，所以q.對(duì)于A，|q|，所以數(shù)列|an|是等比數(shù)列，A正確；對(duì)于B，q2，所以數(shù)列anan1是等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，所以數(shù)列是等比數(shù)列，C正確；對(duì)于D，不一定是常數(shù)，所以D錯(cuò)誤二、填空題7(2019·貴陽(yáng)市第一學(xué)期監(jiān)測(cè))已知數(shù)列an中，a13，a27.當(dāng)nN*時(shí)，an2是乘積an·an1的個(gè)位數(shù)，則a2 019_解析：a13，a27，a1a221，a31，a2a37，a47，a3a47，a57，a4a549，a69，a5a663，a73，a6a727，a87，a7a821，a91，a8a97，所以數(shù)列an是周期為6的數(shù)列，又2 0196×3363，所以a2 019a31.答案：18在數(shù)列an中，nN*，若k(k為常數(shù))，則稱an為“等差比數(shù)列”，下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：k不可能為0；等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；“等差比數(shù)列”中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為0.其中所有正確判斷的序號(hào)是_解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；當(dāng)an是等比數(shù)列，且公比q1時(shí)，an不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；數(shù)列0，1，0，1，是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無(wú)數(shù)多個(gè)0，所以正確答案：9(2019·洛陽(yáng)尖子生第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)，g(x)f(x1)1，則g(x)的圖象關(guān)于_對(duì)稱，若angggg(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi)解析：因?yàn)閒(x)，所以f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)因?yàn)間(x)f(x1)1，所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱，若x1x22，則有g(shù)(x1)g(x2)2，所以angggg2(n1)g(1)2n2f(0)12n1，即an2n1，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.答案：(1，1)an2n1三、解答題10(2019·昆明市診斷測(cè)試)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，公比q<1，若a22，a1a2a37.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解：(1)由已知得，則或(舍去)所以an4×23n.(2)因?yàn)閎nlog2anlog223n3n，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn.11(2019·武漢調(diào)研)已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為9，前三項(xiàng)的積為15.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若an為遞增數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則依題意得a23，則a13d，a33d，所以(3d)(3)(3d)15，得d24，d±2，所以an2n1或an2n7.(2)由題意得an2n7，所以|an|，n3時(shí)，Sn(a1a2an)n6nn2；n4時(shí)，Sna1a2a3a4an2(a1a2a3)(a1a2an)186nn2.綜上，數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn.12(2019·長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a13，a37，且對(duì)任意的nN*，都有an2an1an20，數(shù)列bn滿足bna2n1，nN*.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)求使b1b2bn>2 018成立的最小正整數(shù)n的值解：(1)令n1得，a12a2a30，解得a25.又由an2an1an20知，an2an1an1ana2a12，故數(shù)列an是首項(xiàng)a13，公差d2的等差數(shù)列，于是an2n1，bna2n12n1.(2)由(1)知，bn2n1.于是b1b2bn(21222n)nn2n1n2.令f(n)2n1n2，易知f(n)是關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù)，又f(9)210921 031，f(10)2111022 056，故使b1b2bn>2 018成立的最小正整數(shù)n的值是10. - 5 -