專題檢測(cè)（二十二） 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程大題專攻強(qiáng)化練1(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)2sin xxcos xx，f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)(1)證明：f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(diǎn)；(2)若x0，時(shí)，f(x)ax，求a的取值范圍解：(1)證明：設(shè)g(x)f(x)，則g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.當(dāng)x時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x時(shí)，g(x)<0，所以g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又g(0)0，g>0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零點(diǎn)所以f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(diǎn)(2)由題設(shè)知f()a，f()0，可得a0.由(1)知，f(x)在(0，)只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x0，且當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)<0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減又f(0)0，f()0，所以當(dāng)x0，時(shí)，f(x)0.又當(dāng)a0，x0，時(shí)，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范圍是(，02(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.證明：(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)f(x)0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)證明：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)ln x1ln x.因?yàn)閥ln x在(0，)上單調(diào)遞增，y在(0，)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又f(1)1<0，f(2)ln 2>0，故存在唯一x0(1，2)，使得f(x0)0.又當(dāng)x<x0時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>x0時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，因此，f(x)存在唯一的極值點(diǎn)(2)由(1)知f(x0)<f(1)2，又f(e2)e23>0，所以f(x)0在(x0，)內(nèi)存在唯一根x.由>x0>1得<1<x0.又fln10，故是f(x)0在(0，x0)的唯一根綜上，f(x)0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)3(2019·東北四市聯(lián)合體模擬(一)已知函數(shù)f(x)aln x(a0)(1)若函數(shù)yf(x)圖象上各點(diǎn)切線斜率的最大值為2，求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)2有解，求a的取值范圍解：f(x)(x0)(1)a0，當(dāng)時(shí)，f(x)取得最大值，2.a0，a4.此時(shí)f(x)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)的極小值點(diǎn)為x，無極大值點(diǎn)(2)f(x)(x0且a0)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)faaln .關(guān)于x的不等式f(x)2有解，aaln 2.a0，ln10.令g(x)ln x1x，則g(x)1，當(dāng)x(0，1)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，g(x)g(1)0，由ln 10可解得0且1，a的取值范圍是.4(2019·蘭州市診斷考試)已知函數(shù)f(x)x2(a2a2)xa2(a2)ln x，aR.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)試判斷當(dāng)a1，1時(shí)，函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由解：(1)易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22xln x，f(x)x20，函數(shù)yf(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，無單調(diào)遞減區(qū)間(2)當(dāng)a0，f(x)x22x(x2)22(x0)，由于f(4)0，故函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)a1時(shí)，由(1)知函數(shù)yf(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，由于f(e)2e10，f(e2)2e220，故函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)1a0或0a1時(shí)，a2a20，可得當(dāng)x(0，a2)時(shí)，f(x)0，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)x(a2，a2)時(shí)，f(x)0，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)x(a2，)時(shí)，f(x)0，函數(shù)為增函數(shù)當(dāng)xa2時(shí)，函數(shù)有極大值f(a2)a2a22(a2a2)2(a2)ln a2a2a22(a2)2(a2)ln a2，當(dāng)1a0或0a1時(shí)，a21，f(a2)0，又f(e3)0，故函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)綜上可知，當(dāng)a1，1時(shí)，函數(shù)yf(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)- 4 -