專題檢測(cè)（二十） 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用A組“633”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足下列條件：f(x)>0時(shí)，x<1或x>2；f(x)<0時(shí)，1<x<2；f(x)0時(shí)，x1或x2.則函數(shù)f(x)的大致圖象是()解析：選A根據(jù)條件知，函數(shù)f(x)在(1，2)上是減函數(shù).在(，1)，(2，)上是增函數(shù)，故選A.2.設(shè)函數(shù)f(x)xex1，則()A.x1為f(x)的極大值點(diǎn)B.x1為f(x)的極小值點(diǎn)C.x1為f(x)的極大值點(diǎn)D.x1為f(x)的極小值點(diǎn)解析：選D由題意得，f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，則f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以x1為f(x)的極小值點(diǎn)，故選D.3.已知直線ykx2與曲線yxln x相切，則實(shí)數(shù)k的值為()A.ln 2B.1C.1ln 2 D.1ln 2解析：選D由yxln x知yln x1，設(shè)切點(diǎn)為(x0，x0ln x0)，則切線方程為yx0ln x0(ln x01)·(xx0)，因?yàn)榍芯€ykx2過定點(diǎn)(0，2)，所以2x0ln x0(ln x01)(0x0)，解得x02，故k1ln 2，選D.4.若x 是函數(shù)f(x)(x22ax)ex的極值點(diǎn)，則函數(shù)yf(x)的最小值為()A.e B.0C.e D.e解析：選Cf(x)(x22ax)ex，f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx22(1a)x2aex，由已知得，f0，所以222a2a0，解得a1.所以f(x)(x22x)ex，所以f(x)(x22)ex，所以函數(shù)的極值點(diǎn)為，當(dāng)x時(shí)，f(x)0；所以函數(shù)yf(x)是減函數(shù)，當(dāng)x或x時(shí)，f(x)0，函數(shù)yf(x)是增函數(shù).又當(dāng)x(，0)(2，)時(shí)，x22x0，f(x)0，當(dāng)x(0，2)時(shí)，x22x0，f(x)0，所以f(x)min在x(0，2)上，又當(dāng)x時(shí)，函數(shù)yf(x)遞減，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)yf(x)遞增，所以f(x)minfe.5.已知函數(shù)f(x)(2xln xa)ex在(0，)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最大值是()A.5ln 2 B.52ln 2C.2ln 2 D.52ln 2解析：選Af(x)(2xln xa)ex，f(x)(2xln x2a)ex，x(0，).依題意，知x(0，)時(shí)，f(x)0恒成立，即a2xln x2在(0，)上恒成立.設(shè)g(x)2xln x2，則g(x)2，x(0，).令g(x)0，得x或x1(舍去).令g(x)0，則0x，令g(x)0，則x，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值，g(x)ming5ln 2，a5ln 2，即實(shí)數(shù)a的最大值是5ln 2.故選A.6.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)4x，設(shè)af(log30.2)，bf(30.2)，cf(31.1)，則()A.cab B.abcC.cba D.bac解析：選A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以af(log30.2)f(log30.2)，cf(31.1)f(31.1).因?yàn)閘og3log30.2log3，所以2log30.21，所以1log30.22，所以31.13log30.2130.2.因?yàn)閥在(0，)上為增函數(shù)，y4x在(0，)上為增函數(shù)，所以f(x)在(0，)上為增函數(shù)，所以f(31.1)f(log30.2)f(30.2)，所以cab，故選A.二、填空題7.(2019·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線yln x上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(e，1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_.解析：設(shè)A(m，n)，則曲線yln x在點(diǎn)A處的切線方程為yn(xm).又切線過點(diǎn)(e，1)，所以有n1(me).再由nln m，解得me，n1.故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e，1).答案：(e，1)8.若函數(shù)f(x)xaln x不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解析：由題意知f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1，要使函數(shù)f(x)xaln x不是單調(diào)函數(shù)，則需方程10在(0，)上有解，即xa，a<0.答案：(，0)9.設(shè)定義在R上的函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x).如果存在x0a，b，使得f(b)f(a)f(x0)(ba)成立，則稱x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的“中值點(diǎn)”.那么函數(shù)f(x)x33x在區(qū)間2，2上的“中值點(diǎn)”為_.解析：由f(x)x33x求導(dǎo)可得f(x)3x23，設(shè)x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間2，2上的“中值點(diǎn)”，則f(x0)1，即3x31，解得x0±.答案：±三、解答題10.已知函數(shù)f(x)x2axaln x.(1)若曲線yf(x)在x2處的切線與直線x3y20垂直，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)在2，3上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)f(x)2xa(x0)，依題意有f(2)3，a2.(2)依題意有2x2axa0在x2，3上恒成立，即a在2，3上恒成立，0(x2，3), y在2，3上單調(diào)遞減，當(dāng)x2，3時(shí)，8，實(shí)數(shù)a的取值范圍為8，).11.(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)a(x21)ln x(aR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)證明：當(dāng)x1時(shí)，f(x)0；(2)討論g(x)的單調(diào)性.解：(1)證明：f(x)，令s(x)ex1x，則s(x)ex11，當(dāng)x1時(shí)，s(x)0，所以s(x)在(1，)上單調(diào)遞增，又s(1)0，所以s(x)0，從而當(dāng)x1時(shí)，f(x)0.(2)g(x)2ax(x0)，當(dāng)a0時(shí)，g(x)0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，當(dāng)a0時(shí)，由g(x)0得x .當(dāng)x時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增.12.已知函數(shù)f(x)asin xbcos x(a，bR)，曲線yf(x)在點(diǎn)處的切線方程為yx.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)g(x)在上的最小值.解：(1)由切線方程知，當(dāng)x時(shí)，y0，所以fab0.因?yàn)閒(x)acos xbsin x.所以由切線方程知，fab1，所以a，b.(2)由(1)知，f(x)sin xcos xsin，所以函數(shù)g(x)，g(x)，設(shè)u(x)xcos xsin x，則u(x)xsin x0，故u(x)在上單調(diào)遞減，所以u(píng)(x)u(0)0，即g(x)0在上恒成立，所以g(x)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)g(x)在上的最小值為g.B組大題專攻強(qiáng)化練1.設(shè)f(x)xln xax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知f(x)在x1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，).則g(x)2a.當(dāng)a0時(shí)，x(0，)時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，x時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.所以當(dāng)a0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)，當(dāng)a0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.(2)由(1)知，f(1)0.當(dāng)a0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)在x1處取得極小值，不符合題意.當(dāng)0a時(shí)，1，由(1)知f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，可得當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)0，x時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以f(x)在x1處取得極小值，不符合題意.當(dāng)a時(shí)，1，f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，不符合題意.當(dāng)a時(shí)，01，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)在x1處取得極大值，符合題意.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a.2.已知函數(shù)f(x)x2axln x(aR).(1)若函數(shù)f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，3)上既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)f(x)2xa(x0)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以f(x)0在(0，)恒成立，所以2x2ax10在(0，)恒成立，即a2x對(duì)(0，)恒成立，因?yàn)?x22，所以a2.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，3)上既有極大值又有極小值，所以f(x)0在(0，3)上有兩個(gè)相異實(shí)根，即2x2ax10在(0，3)上有兩個(gè)相異實(shí)根，令g(x)2x2ax1，則得即2a.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.3.(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)2x3ax22.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)0<a<3時(shí)，記f(x)在區(qū)間0，1的最大值為M，最小值為m，求Mm的取值范圍.解：(1)f(x)6x22ax2x(3xa).令f(x)0，得x0或x.若a>0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，故f(x)在(，0)，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若a0，f(x)在(，)單調(diào)遞增；若a<0，則當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，故f(x)在，(0，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.(2)當(dāng)0<a<3時(shí)，由(1)知，f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以f(x)在0，1的最小值為f2，最大值為f(0)2或f(1)4a.于是m2，M所以Mm當(dāng)0<a<2時(shí)，可知2a單調(diào)遞減，所以Mm的取值范圍是.當(dāng)2a<3時(shí)，單調(diào)遞增，所以Mm的取值范圍是.綜上，Mm的取值范圍是.4.已知常數(shù)a0，f(x)aln x2x.(1)當(dāng)a4時(shí)，求f(x)的極值；(2)當(dāng)f(x)的最小值不小于a時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)由已知得f(x)的定義域?yàn)閤(0，)，f(x)2.當(dāng)a4時(shí)，f(x).當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0，即f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增.f(x)只有極小值，且在x2時(shí)，f(x)取得極小值f(2)44ln 2.(2)f(x)，當(dāng)a>0，x(0，)時(shí)，f(x)>0，即f(x)在x(0，)上單調(diào)遞增，沒有最小值；當(dāng)a<0時(shí)，由f(x)>0得，x>，f(x)在上單調(diào)遞增；由f(x)<0得，x<，f(x)在上單調(diào)遞減.當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的最小值為faln2.根據(jù)題意得faln2a，即aln(a)ln 20.a<0，ln(a)ln 20，解得a2，實(shí)數(shù)a的取值范圍是2，0).- 9 -