專題檢測(cè)（十五） 圓錐曲線的方程與性質(zhì)A組“633”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1.(2019·全國(guó)卷)若拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p()A.2B.3C.4 D.8解析：選D拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.由題意得，解得p0(舍去)或p8.故選D.2.一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)且與雙曲線1有相同漸近線的雙曲線方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：選B設(shè)所求雙曲線方程為t(t0)，因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)為(，0)，所以|13t|26.又焦點(diǎn)在x軸上，所以t2，即雙曲線方程為1.3.已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選D設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|13r，|MC2|3r，|MC1|MC2|16>|C1C2|，所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C1(4，0)和C2(4，0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a16，a8，c4，則b2a2c248，所以點(diǎn)M的軌跡方程為1.4.(2019·全國(guó)卷)已知F是雙曲線C：1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|OP|OF|，則OPF的面積為()A. B.C. D.解析：選B由F是雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)，知|OF|3，所以 |OP|OF|3.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，則解得所以P，所以SOPF|OF|·y0×3×.故選B.5.(2019·石家莊市模擬(一)已知橢圓1(a>b>0)，點(diǎn)F為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為下頂點(diǎn)，平行于FP的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M，則橢圓的離心率為()A. B.C. D.解析：選BFP的斜率為，F(xiàn)Pl，直線l的斜率為.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，即.AB的中點(diǎn)為M，a22bc，b2c22bc，bc，ac，橢圓的離心率為，故選B.6.(2019·全國(guó)卷)設(shè)F為雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2交于P，Q兩點(diǎn).若|PQ|OF|，則C的離心率為()A.B.C.2 D.解析：選A設(shè)雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c，0).由圓的對(duì)稱性及條件|PQ|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQOF.設(shè)垂足為M，連接OP，如圖，則|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得a2，故，即e.故選A.二、填空題7.(2019·北京通州區(qū)三模改編)拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線與雙曲線x21的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為2，則p_，拋物線焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為_.解析：拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線方程為x，雙曲線x21的兩條漸近線方程分別為y2x，y2x，這三條直線構(gòu)成等腰三角形，其底邊長(zhǎng)為2p，三角形的高為，因此×2p×2，解得p2.則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，且到直線y2x和y2x的距離相等，均為.答案：28.設(shè)直線l：2xy20關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為l，若l與橢圓x21的交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使PAB的面積為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_.解析：直線l的方程為2xy20，交點(diǎn)分別為橢圓頂點(diǎn)(1，0)和(0，2)，則|AB|，由PAB的面積為，得點(diǎn)P到直線AB的距離為，而平面上到直線2xy20的距離為的點(diǎn)都在直線2xy10和2xy30上，而直線2xy10與橢圓相交，2xy30與橢圓相離，滿足題意的點(diǎn)P有2個(gè).答案：29.已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn).若·<0，則y0的取值范圍是_.解析：由題意知a，b1，c，設(shè)F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，則(x0，y0)，(x0，y0).·<0，(x0)(x0)y<0，即x3y<0.點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線C上，y1，即x22y，22y3y<0，<y0<.答案：<y0<三、解答題10.(2019·長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(二)已知橢圓C：1(a>b>0)的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，滿足PF2x軸，|PF2|，橢圓C的離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓C左焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求AOB的面積.解：(1)由題意知，離心率e，|PF2|，得a2，b1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由條件可知F1(，0)，直線l：yx，聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得消去y得5x28x80，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1·x2，所以|y1y2|x1x2|，所以SAOB·|y1y2|·|OF1|.11.(2019·全國(guó)卷)已知拋物線C：y23x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解：設(shè)直線l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由題設(shè)得F，故|AF|BF|x1x2.又|AF|BF|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，則x1x2.從而，得t.所以l的方程為yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22，從而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.12.(2019·成都市第二次診斷性檢測(cè))已知橢圓C：1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為4，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且F1MF2N，直線F1M的斜率為2，記直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，求3k12k2的值.解：(1)由題意，得2b4，.又a2c2b2，a3，b2，c1.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由(1)可知A(3，0)，B(3，0)，F(xiàn)1(1，0).據(jù)題意，直線F1M的方程為y2(x1).記直線F1M與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為M.設(shè)M(x1，y1)(y1>0)，M(x2，y2).F1MF2N，根據(jù)對(duì)稱性，得N(x2，y2).聯(lián)立得消去y，得14x227x90.由題意知x1>x2，x1，x2，k1，k2，3k12k23×2×0，即3k12k2的值為0.B組大題專攻強(qiáng)化練1.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，其中一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線x24y的焦點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M，求直線l的方程和點(diǎn)M的坐標(biāo).解：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，由題意得b，解得a2，c1.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線l與橢圓C在第一象限相切，所以直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為yk(x2)1(k0).由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因?yàn)橹本€l與橢圓C相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得2k10，解得k.所以直線l的方程為y(x2)1x2.將k代入式，可以解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)M的坐標(biāo)為.2.在直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)為1的線段的兩端點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上滑動(dòng)， .記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)作直線l與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí)，求直線l的方程.解：(1)設(shè) C(m，0)，D(0，n)，P(x，y).由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲線E的方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1x2，y1y2).易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykx1，代入曲線E的方程，得(k22)x22kx10，則x1x2，所以y1y2k(x1x2)2.由點(diǎn)M在曲線E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.此時(shí)直線l的方程為y±x1.3.已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率e，焦距為2.(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)Q(0，2)作斜率為k(k0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若x軸上的一點(diǎn)E滿足|AE|BE|，試求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍.解：(1)由已知得，2c2，所以c1，a3，b2a2c28.所以橢圓C的方程為1.(2)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為ykx2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為G(x0，y0).設(shè)點(diǎn)E(m，0)，使得|AE|BE|，則EGAB.由得(89k2)x236kx360，x1x2，所以x0，y0kx02，因?yàn)镋GAB，所以kEG，即，所以m，當(dāng)k>0時(shí)，9k212，所以m<0；當(dāng)k<0時(shí)，9k12，所以0<m.綜上所述，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍為.4.如圖，橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，且|AB|BF|.(1)求橢圓C的離心率；(2)若點(diǎn)M在橢圓C的內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)M的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，且OPOQ，求直線l的方程及橢圓C的方程.解：(1)由已知|AB|BF|，得 a，即4a24b25a2，4a24(a2c2)5a2，所以e.(2)由(1)知a24b2，所以橢圓C的方程可化為1.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由1，1，可得0，即0，即(y1y2)0，從而kPQ2，所以直線l的方程為y2，即2xy20.聯(lián)立消去y，得17x232x164b20.則32216×17×(b24)>0b>，x1x2，x1x2.因?yàn)镺POQ，·0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40，從而40，解得b1，所以橢圓C的方程為y21.綜上，直線l的方程為2xy20，橢圓C的方程為y21.- 10 -