第1講數(shù)學(xué)文化一、選擇題1我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣()A104人B108人C112人D120人解析：選B.由題設(shè)可知這是一個(gè)分層抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300×300×108.故選B.2“干支紀(jì)年法”是中國(guó)自古以來就一直使用的紀(jì)年方法干支是天干和地支的總稱天干、地支互相配合，配成六十組為一周，周而復(fù)始，依次循環(huán)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個(gè)符號(hào)為天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為地支如：公元1984年為農(nóng)歷甲子年、公元1985年為農(nóng)歷乙丑年，公元1986年為農(nóng)歷丙寅年則2049年為農(nóng)歷()A己亥年B己巳年C己卯年D戊辰年解析：選B.法一：由公元1984年為農(nóng)歷甲子年、公元1985年為農(nóng)歷乙丑年，公元1986年為農(nóng)歷丙寅年，可知以公元紀(jì)年的尾數(shù)在天干中找出對(duì)應(yīng)該尾數(shù)的天干，再將公元紀(jì)年除以12，用除不盡的余數(shù)在地支中查出對(duì)應(yīng)該余數(shù)的地支，這樣就得到了公元紀(jì)年的干支紀(jì)年.2049年對(duì)應(yīng)的天干為“己”，因其除以12的余數(shù)為9，所以2049年對(duì)應(yīng)的地支為“巳”，故2049年為農(nóng)歷己巳年故選B.法二：易知(年份3)除以10所得的余數(shù)對(duì)應(yīng)天干，則2 04932 046，2 046除以10所得的余數(shù)是6，即對(duì)應(yīng)的天干為“己”(年份3)除以12所得的余數(shù)對(duì)應(yīng)地支，則2 04932 046，2 046除以12所得的余數(shù)是6，即對(duì)應(yīng)的地支為“巳”，所以2049年為農(nóng)歷己巳年故選B.3(2019·山東淄博模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，其重量為M，現(xiàn)將該金箠截成長(zhǎng)度相等的10段，記第i段的重量為ai(i1，2，10)，且a1<a2<<a10，若48ai5M，則i()A4B5C6D7解析：選C.由題意知，由細(xì)到粗每段的重量組成一個(gè)等差數(shù)列，記為an，設(shè)公差為d，則有所以該金箠的總重量 M10××15.因?yàn)?8ai5M，所以有48(i1)×75，解得i6，故選C.4九章算術(shù)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中均輸章有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何”其意思為：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？(“錢”是古代的一種重量單位)在這個(gè)問題中，丙所得為()A錢B錢C錢D1錢解析：選D.因?yàn)榧?、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差?shù)列，設(shè)每人所得依次為a2d、ad、a、ad、a2d，則a2dadaada2d5，解得a1，即丙所得為1錢，故選D.5數(shù)術(shù)記遺相傳是漢末徐岳(約公元2世紀(jì))所著，該書主要記述了：積算(即籌算)、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算、計(jì)數(shù)共14種計(jì)算方法某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理該14種計(jì)算方法的相關(guān)資料，其中一人4種，其余兩人每人5種，則不同的分配方法種數(shù)是()ABCDCCC解析：選A.先將14種計(jì)算方法分為三組，方法有種，再分配給3個(gè)人，方法有×A種故選A.6我國(guó)古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷(u)長(zhǎng)損益相同(晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度)二十四個(gè)節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)的變化量相同，周而復(fù)始若冬至晷長(zhǎng)一丈三尺五寸，夏至晷長(zhǎng)一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個(gè)節(jié)氣(小暑)晷長(zhǎng)是()A五寸B二尺五寸C三尺五寸D四尺五寸解析：選B.設(shè)從夏至到冬至的晷長(zhǎng)依次構(gòu)成等差數(shù)列an，公差為d，a115，a13135，則1512d135，解得d10.所以a2151025，所以小暑的晷長(zhǎng)是25寸故選B.7(2019·江西七校第一次聯(lián)考)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列an稱為“斐波那契數(shù)列”，則a2 017·a2 019a等于()A1B1C2 017D2 017解析：選A.因?yàn)閍1a3a1×211，a2a4a1×3221，a3a5a2×5321，a4a6a3×8521，由此可知anan2a(1)n1，所以a2 017a2 019a(1)2 01711，故選A.8周易歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬(wàn)事萬(wàn)物深刻而又樸素的認(rèn)識(shí)，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法我們用近代術(shù)語(yǔ)解釋為：把陽(yáng)爻“”當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻“”當(dāng)作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000艮0011坎0102巽0113依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號(hào)為“”，其表示的十進(jìn)制數(shù)是()A33B34C36D35解析：選B.由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦的符號(hào)“”表示的二進(jìn)制數(shù)為100010，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為0×201×210×220×230×241×2534.故選B.9算數(shù)書竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一”該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式VL2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么，近似公式VL2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為()ABCD解析：選A.依題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則Vr2hL2h(2r)2h，化簡(jiǎn)得.故選A.10中國(guó)古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計(jì)算的描述，九章算術(shù)注曰：“倍上袤，下袤從之亦倍下袤，上袤從之各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一”其計(jì)算方法是：將上底面的長(zhǎng)乘二，與下底面的長(zhǎng)相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長(zhǎng)乘二，與上底面的長(zhǎng)相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一已知一個(gè)“芻童”的下底面是周長(zhǎng)為18的矩形，上底面矩形的長(zhǎng)為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為()ABC39D解析：選B.設(shè)下底面的長(zhǎng)為x，則下底面的寬為9x.由題可知上底面矩形的長(zhǎng)為3，寬為2，“芻童”的高為3，所以其體積V×3×(3×2x)×2(2x3)(9x)x2，故當(dāng)x時(shí)，體積取得最大值，最大值為×.故選B.11(多選)(2019·濟(jì)南模擬)如圖是謝賓斯基三角形，在所給的四個(gè)三角形圖案中，黑色的小三角形個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列an的前4項(xiàng)，則()Aan3n1Ban2n1Ca427Danan12·3n2(n2)解析：選ACD.黑色的小三角形個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列an的前4項(xiàng)，分別為a11，a23，a33×332，a432×3，因此an的通項(xiàng)公式可以是an3n1.12(多選)在增刪算法統(tǒng)宗中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”則下列說法正確的是()A此人第二天走了九十六里路B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C此人第三天走的路程占全程的D此人后三天共走了42里路解析：選ABD.設(shè)此人第n天走an里路，前n天共走Sn里路由題意可知，an是首項(xiàng)為a1，公比q的等比數(shù)列，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得S6378，解得a1192.在A中，a2192×96，故A正確；在B中，378192186，1921866，故B正確；在C中，a3192×48，>，故C錯(cuò)誤；在D中，a4a5a6192×42，故D正確13(多選)中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美定義：圖象能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，下列命題正確的是()A對(duì)于任意一個(gè)圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個(gè)B函數(shù)f(x)ln(x2)可以是某個(gè)圓的“太極函數(shù)”C正弦函數(shù)ysin x可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”D函數(shù)yf(x)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)yf(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形解析：選AC.過圓心的直線都可以將圓的周長(zhǎng)和面積等分成兩部分，故對(duì)于任意一個(gè)圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個(gè)，故A正確；函數(shù)f(x)ln(x2)的圖象如圖1所示，故其不可能為圓的“太極函數(shù)”，故B錯(cuò)誤；將圓的圓心放在正弦函數(shù)ysin x圖象的對(duì)稱中心上，則正弦函數(shù)ysin x是該圓的“太極函數(shù)”，從而正弦函數(shù)ysin x可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”，故C正確；函數(shù)yf(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形，則yf(x)是“太極函數(shù)”，但函數(shù)yf(x)是“太極函數(shù)”時(shí)，圖象不一定是中心對(duì)稱圖形，如圖2所示，故D錯(cuò)誤二、填空題14.魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱從外表上看，六根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為_(容器壁的厚度忽略不計(jì))解析：表面積最小的球形容器可以看成長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、6的長(zhǎng)方體的外接球設(shè)其半徑為R，(2R)2622212，解得R2，所以該球形容器的表面積的最小值為4R241.答案：4115九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中“勾股”章講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，若線段PF2，PF1分別是RtF1PF2的“勾”“股”，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_解析：由題意知半焦距c，又PF1PF2，故點(diǎn)P在圓x2y23上，設(shè)P(x，y)，聯(lián)立，得得P.故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.答案：16公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了黃金分割，其比值約為0618，這一數(shù)值也可以表示為m2sin 18°，若m2n4，則_解析：由題設(shè)n4m244sin218°4(1sin218°)4cos218°，2.答案：217(2019·高考全國(guó)卷)中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1，則該半正多面體共有_個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_解析：依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個(gè)面都在正方體的表面上，且該半正多面體的表面由18個(gè)正方形，8個(gè)正三角形組成，因此題中的半正多面體共有26個(gè)面注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個(gè)正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為x，則xxx1，解得x1，故題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為1.答案：261 - 8 -