專題檢測(cè)（十一） 空間位置關(guān)系的判斷與證明A組“633”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1.已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點(diǎn)，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：選B若E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，則直線EF和GH肯定不相交，但直線EF和GH不相交，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)可以共面，例如EFGH，故甲是乙成立的充分不必要條件.故選B.2.(2019·福州市第一學(xué)期抽測(cè))已知m為一條直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是()A.若m，則mB.若m，則mC.若m，則mD.若m，則m解析：選A對(duì)于A，利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理、面面平行的性質(zhì)定理，可得m，A正確；對(duì)于B，若m，則m與平行或m在內(nèi)，B不正確；對(duì)于C，若m，則m與平行或m在內(nèi)，C不正確；對(duì)于D，若m，則m可以在內(nèi)，D不正確.故選A.3.在正三棱柱ABC­A1B1C1中，|AB|BB1|，則AB1與BC1所成角的大小為()A.30° B.60°C.75° D.90°解析：選D將正三棱柱ABC­A1B1C1補(bǔ)為四棱柱ABCD­A1B1C1D1，連接C1D，BD，則C1DB1A，BC1D為所求角或其補(bǔ)角.設(shè)BB1，則BCCD2，BCD120°，BD2，又因?yàn)锽C1C1D，所以BC1D90°.故選D.4.(2019·長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)設(shè)a，b，c表示不同直線，表示不同平面，下列命題：若ac，bc，則ab；若ab，b，則a；若a，b，則ab；若a，b，則ab.真命題的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.4解析：選A由題意，對(duì)于，根據(jù)線線平行的傳遞性可知是真命題；對(duì)于，根據(jù)ab，b，可以推出a或a，故是假命題；對(duì)于，根據(jù)a，b，可以推出a與b平行、相交或異面，故是假命題；對(duì)于，根據(jù)a，b，可以推出ab或a與b異面，故是假命題.所以真命題的個(gè)數(shù)是1.故選A.5.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：BDAC；BAC是等邊三角形；三棱錐D­ABC是正三棱錐；平面ADC平面ABC.其中正確的結(jié)論是()A. B.C. D.解析：選B由題意知，BD平面ADC，故BDAC，正確；AD為等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等邊三角形，正確；易知DADBDC，結(jié)合知正確；由知不正確.故選B.6.(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)一個(gè)正四面體的側(cè)面展開圖如圖所示，G為BF的中點(diǎn)，則在正四面體中，直線EG與直線BC所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：選C該正四面體如圖所示，取AD的中點(diǎn)H，連接GH，EH，則GHAB，所以HGE為直線EG與直線BC所成的角.設(shè)該正四面體的棱長(zhǎng)為2，則HEEG，GH1.在HEG中，由余弦定理，得cosHGE.故選C.二、填空題7.(2019·北京高考)已知l，m是平面外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：lm；m；l.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：_.解析：.證明如下： m， 根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，知存在n ，使得mn.又 l， ln， lm.證明略.答案：(或)8.若P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)命題：OM平面PCD；OM平面PBC；OM平面PDA；OM平面PBA.其中正確的個(gè)數(shù)是_.解析：由已知可得OMPD，OM平面PCD且OM平面PAD.故正確的只有.答案：9.(2018·全國(guó)卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為_.解析：如圖，SA與底面成45°角，SAO為等腰直角三角形.設(shè)OAr，則SOr，SASBr.在SAB中，cos ASB，sin ASB，SSABSA·SB·sin ASB×(r)2×5，解得r2，SAr4，即母線長(zhǎng)l4，S圓錐側(cè)rl×2×440.答案：40三、解答題10.如圖，側(cè)棱與底面垂直的四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是梯形，ABCD，ABAD，AA14，DC2AB，ABAD3，點(diǎn)M在棱A1B1上，且A1MA1B1.已知點(diǎn)E是直線CD上的一點(diǎn)，AM平面BC1E.(1)試確定點(diǎn)E的位置，并說明理由；(2)求三棱錐M­BC1E的體積.解：(1)點(diǎn)E在線段CD上且EC1，理由如下.在棱C1D1上取點(diǎn)N，使得D1NA1M1，連接MN，DN(圖略)，又D1NA1M，所以MN綊A1D1綊AD.所以四邊形AMND為平行四邊形，所以AMDN.因?yàn)镃E1，所以易知DNEC1，所以AMEC1，又AM平面BC1E，EC1平面BC1E，所以AM平面BC1E.故點(diǎn)E在線段CD上且EC1.(2)由(1)知，AM平面BC1E，所以V三棱錐M­BC1EV三棱錐A­BC1EV三棱錐C1­ABE××46.11.(2019·石家莊市模擬一)如圖，已知三棱錐P­ABC中，PCAB，ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PB4，PBC60°.(1)證明：平面PAC平面ABC；(2)設(shè)F為棱PA的中點(diǎn)，在AB上取點(diǎn)E，使得AE2EB，求三棱錐F­ACE與四棱錐C­PBEF的體積之比.解：(1)證明：在PBC中，PBC60°，BC2，PB4，由余弦定理可得PC2，PC2BC2PB2，PCBC，又PCAB，ABBCB，PC平面ABC，PC平面PAC，平面PAC平面ABC.(2)設(shè)三棱錐F­ACE的高為h1，三棱錐P­ABC的高為h，則VF­ACE×SACE×h1×SABC××h××SABC×h××VP­ABC.三棱錐F­ACE與四棱錐C­PBEF的體積之比為12.12.(2019·重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，CADABC90°，BACADC30°，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AC2.(1)求證：AE平面PBC；(2)若四面體PABC的體積為，求PCD的面積.解：(1)證明：如圖，取CD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EFPC，又易知BCDAFD120°，AFBC，又EFAFF，PCBCC，平面AEF平面PBC.又AE平面AEF，AE平面PBC.(2)由已知得，V四面體PABC·AB·BC·PA，可得PA2.過A作AQCD于Q，連接PQ，在ACD中，AC2，CAD90°，ADC30°，CD4，AD2，AQ，則PQ .PA平面ABCD，PACD.又AQPAA，CD平面PAQ，CDPQ.SPCD×4×2.B組大題專攻強(qiáng)化練1.(2019·蘭州市診斷考試)如圖，在四棱錐P­ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，PCD為正三角形，BAD30°，AD4，AB2，平面PCD平面ABCD，E為PC的中點(diǎn).(1)證明：BEPC；(2)求多面體PABED的體積.解：(1)證明：BD2AB2AD22AB·AD·cos BAD4，BD2，AB2BD2AD2，ABBD，BDCD.平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，BD平面PCD，BDPC.PCD為正三角形，E為PC的中點(diǎn)，DEPC，PC平面BDE，BEPC.(2)如圖，作PFCD，EGCD，F(xiàn)，G為垂足，平面PCD平面ABCD，PF平面ABCD，EG平面ABCD，PCD為正三角形，CD2，PF3，EG，V四棱錐P­ABCD×2×2×34，V三棱錐E­BCD××2×2×，多面體PABED的體積V43.2.(2019·昆明市診斷測(cè)試)如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD平面ABCD，ADBD6，AB6，E是棱PC上的一點(diǎn).(1)證明：BC平面PBD；(2)若PA平面BDE，求的值；(3)在(2)的條件下，三棱錐P­BDE的體積是18，求點(diǎn)D到平面PAB的距離.解：(1)證明：由已知條件可知AD2BD2AB2，所以ADBD.因?yàn)镻D平面ABCD，所以PDAD.又PDBDD，所以AD平面PBD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以BCAD，所以BC平面PBD.(2)如圖，連接AC交BD于F，連接EF，則EF是平面PAC與平面BDE的交線.因?yàn)镻A平面BDE，所以PAEF.因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，所以E是PC的中點(diǎn)，所以.(3)因?yàn)镻D平面ABCD，所以PDAD，PDBD，由(1)(2)知點(diǎn)E到平面PBD的距離等于BC3.因?yàn)閂三棱錐E­PBDV三棱錐P­BDE18，所以××PD×BD×318，即PD6.又ADBD6，所以PA6，PB6，又AB6，所以PAB是等邊三角形，則SPAB18.設(shè)點(diǎn)D到平面PAB的距離為d，因?yàn)閂三棱錐D­PABV三棱錐P­ABD，所以×18×d××6×6×6，解得d2.所以點(diǎn)D到平面PAB的距離為2.3.(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，BAD，PAD是等邊三角形，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，PDBF.(1)求證：ADPB.(2)若E在線段BC上，且ECBC，能否在棱PC上找到一點(diǎn)G，使平面DEG平面ABCD？若存在，求出三棱錐D­CEG的體積；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：(1)證明：連接PF，PAD是等邊三角形，PFAD.底面ABCD是菱形，BAD，BFAD.又PFBFF，AD平面BFP，又PB平面BFP，ADPB.(2)能在棱PC上找到一點(diǎn)G，使平面DEG平面ABCD.由(1)知ADBF，PDBF，ADPDD，BF平面PAD.又BF平面ABCD，平面ABCD平面PAD，又平面ABCD平面PADAD，且PFAD，PF平面ABCD.連接CF交DE于點(diǎn)H，過H作HGPF交PC于G，GH平面ABCD.又GH平面DEG，平面DEG平面ABCD.ADBC，DFHECH，GHPF，VD­CEGVG­CDESCDE·GH×DC·CE·sin·GH.4.(2019·東北四市聯(lián)合體模擬一)如圖，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E為CD的中點(diǎn)，將ADE沿AE折到APE的位置.(1)證明：AEPB；(2)當(dāng)四棱錐P­ABCE的體積最大時(shí)，求點(diǎn)C到平面PAB的距離.解：(1)證明：在等腰梯形ABCD中，連接BD，交AE于點(diǎn)O，ABCE，ABCE，四邊形ABCE為平行四邊形，AEBCADDE，ADE為等邊三角形，在等腰梯形ABCD中，CADE，BDBC，BDAE.如圖，翻折后可得，OPAE，OBAE，又OP平面POB，OB平面POB，OPOBO，AE平面POB，PB平面POB，AEPB.(2)當(dāng)四棱錐P­ABCE的體積最大時(shí)，平面PAE平面ABCE.又平面PAE平面ABCEAE，PO平面PAE，POAE，OP平面ABCE.OPOB，PB，APAB1，SPAB×× ，連接AC，則VP­ABCOP·SABC××，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為d，VP­ABCVC­PABSPAB·d，d.- 9 -