第5講 數(shù)學歸納法1已知數(shù)列an滿足a10，a21，當nN*時，an2an1an.求證：數(shù)列an的第4m1項(mN*)能被3整除證明：(1)當m1時，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即當m1時，第4m1項能被3整除故命題成立(2)假設當mk時，a4k1能被3整除，則當mk1時，a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.顯然，3a4k2能被3整除，又由假設知a4k1能被3整除3a4k22a4k1能被3整除即當mk1時，a4(k1)1也能被3整除命題也成立由(1)和(2)知，對于nN*，數(shù)列an中的第4m1項能被3整除2設數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值(2)求數(shù)列an的通項公式解：(1)由已知得解得a13，a25，a37.(2)猜測an2n1.由Sn2nan13n24n得Sn12(n1)an3(n1)24(n1)(n2)，當n2時，anSnSn1，所以兩式相減，整理得an2nan12(n1)an6n1，an1an，又a25，a13，滿足式子，建立了an與an1的遞推關系(nN*)下面用數(shù)學歸納法證明：an2n1.當n1時，a13，成立假設nk時成立，即ak2k1成立，那么nk1時，ak1ak(2k1)2k32(k1)1，所以當nk1時也成立由可知，對于nN*，有an2n1，所以數(shù)列an的通項公式為an2n1.3已知數(shù)列an滿足an(nN*)(1)求a1，a2，a3的值；(2)對任意正整數(shù)n，an小數(shù)點后第一位數(shù)字是多少？請說明理由解：(1)a1，a2，a3.(2)a1，a2小數(shù)點后第一位數(shù)字均為5，a3小數(shù)點后第一位數(shù)字為6.下證：對任意正整數(shù)n(n3)，均有0.6an0.7，注意到an1an0，故對任意正整數(shù)n(n3)，有ana30.6.下面用數(shù)學歸納法證明：對任意正整數(shù)n(n3)，有an0.7.當n3時，有a30.70.70.7，命題成立；假設當nk(kN*，k3)時，命題成立，即ak0.7，則當nk1時，ak1ak0.7.0，ak10.70.7，nk1時，命題也成立；綜合可知，任意正整數(shù)n(n3)，an0.7.由此，對正整數(shù)n(n3)，0.6an0.7，此時an小數(shù)點后第一位數(shù)字均為6.所以a1，a2小數(shù)點后第一位數(shù)字均為5，當n3，nN*時，an小數(shù)點后第一位數(shù)字均為6.4(2019·啟東聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2axln(x1)(aR)(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上恒有f(x)x，求實數(shù)a的取值范圍；(2)已知c10，且cn1f(cn)(n1,2，)，在(1)的條件下，證明數(shù)列cn是單調(diào)遞增數(shù)列解：(1)因為f(x)2xa，由f(x)x，得2xax，即ax(0x1)又yxx111(因為x11)，所以a1，即實數(shù)a的取值范圍為(，1)(2)證明：當n1時，c2f(c1)2c1a，又因為c10, 所以c111，且a1，所以c2c1c1ac11(a1)2(a1)1a0.所以c2c1，即當n1時結論成立假設當nk(kN*)時，有ck1ck，且ck0，則當nk1時，ck2ck1ck1ack11(a1)2(a1)1a0.所以ck2ck1，即當nk1時結論成立由知數(shù)列cn是單調(diào)遞增數(shù)列5猜想：集合Mx|xn，xN*(nN*)的所有子集均可排成一行，使得任意兩個相鄰子集的元素個數(shù)相差1.請你分別取n1,2,3加以驗證，并判斷猜想是否對任意的正整數(shù)n都成立，若不是，請說明理由；若是，請給出證明解：當n1時，M1的2個子集排成一行：，1，元素個數(shù)相差1，成立；當n2時，M1,2的4個子集排成一行：，1，1,2，2，任意兩個相鄰的子集的元素個數(shù)相差1，猜想成立；當n3時，M1,2,3的8個子集排成一行：，1，1,2，2，2,3，1,2,3，1,3，3，任意兩個相鄰的子集的元素個數(shù)相差1，猜想成立，對任意的正整數(shù)n，猜想成立，證明如下：當n1時，已證；假設當nk(kN*)時，集合M1,2，k的2k個子集排成一行：M1，M2，M2k，任意兩個相鄰子集的元素個數(shù)相差1.則當nk1時，集合M1,2，k，k1的2k1個子集排成一行：M1，M2，M2k，M2kk1，M2k1，M1k1，任意兩個相鄰的子集的元素個數(shù)相差1, 故當nk1時，結論也成立由知，猜想成立- 4 -