第3講分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、分類(lèi)討論思想分類(lèi)討論的原則分類(lèi)討論的常見(jiàn)類(lèi)型1.不重不漏2.標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明3.能不分類(lèi)的要盡量避免，決不無(wú)原則的討論1.由數(shù)學(xué)概念而引起的分類(lèi)討論2.由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類(lèi)討論3.由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類(lèi)討論4.由圖形的不確定性而引起的分類(lèi)討論5.由參數(shù)的變化而引起的分類(lèi)討論分類(lèi)與整合的思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的策略應(yīng)用一由概念、法則、公式引起的分類(lèi)討論典型例題 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0(n1，2，3，)，則q的取值范圍是_【解析】由an是等比數(shù)列，Sn>0，可得a1S1>0，q0，當(dāng)q1時(shí)，Snna1>0.當(dāng)q1時(shí)，Sn>0，即>0(n1，2，3，)，則有或由得1<q<1，由得q>1.故q的取值范圍是(1，0)(0，)【答案】(1，0)(0，)本題易忽略對(duì)q1的討論，而直接由>0，得q的范圍，這種解答是不完備的本題根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的使用就要分q1，Snna1和q1，Sn進(jìn)行討論 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1一條直線過(guò)點(diǎn)(5，2)，且在x軸，y軸上的截距相等，則這條直線的方程為()Axy70B2x5y0Cxy70或2x5y0Dxy70或2y5x0解析：選C.設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a，當(dāng)a0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線方程為yx，即2x5y0；當(dāng)a0時(shí)，設(shè)直線方程為1，則求得a7，直線方程為xy70.2若函數(shù)f(x)ax(a>0，a1)在1，2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)(14m)在0，)上是增函數(shù)，則a_解析：若a>1，則a24，a1m，故a2，m，此時(shí)g(x)，為減函數(shù)，不合題意；若0<a<1，則a14，a2m，故a，m，檢驗(yàn)知符合題意，所以a.答案：應(yīng)用二由參數(shù)變化引起的分類(lèi)討論典型例題 已知f(x)xaex(aR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)e2x對(duì)xR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解】(1)由題知，f(x)1aex，當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)是(，)上的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，由f(x)0得xln a，若x(，ln a)，則f(x)>0；若x(ln a，)，則f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞增，在(ln a，)上單調(diào)遞減(2)f(x)e2xaex，設(shè)g(x)ex，則g(x).當(dāng)x<0時(shí)，1e2x>0，g(x)>0，所以g(x)在(，0)上單調(diào)遞增當(dāng)x>0時(shí)，1e2x<0，g(x)<0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞減所以g(x)maxg(0)1，所以a1.故a的取值范圍是1，)(1)參數(shù)的變化取值導(dǎo)致不同的結(jié)果，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等解析幾何中直線點(diǎn)斜式、斜截式方程要考慮斜率k存在或不存在，涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系要進(jìn)行討論(2)分類(lèi)討論要標(biāo)準(zhǔn)明確、統(tǒng)一，層次分明，分類(lèi)要做到“不重不漏” 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)f(x)若f(a)f(a1)，則f()()A2B4C6D8解析：選C.當(dāng)0<a<1時(shí)，a1>1，f(a)，f(a1)2(a11)2a，因?yàn)閒(a)f(a1)，所以2a，解得a或a0(舍去)所以f()f(4)2×(41)6.當(dāng)a1時(shí)，a12，所以f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a，所以2(a1)2a，無(wú)解綜上，f()6.2設(shè)函數(shù)f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線斜率為0，求a；(2)若f(x)在x1處取得極小值，求a的取值范圍解：(1)因?yàn)閒(x)ax2(3a1)x3a2ex，所以f(x)ax2(a1)x1ex.f(2)(2a1)e2.由題設(shè)知f(2)0，即(2a1)e20，解得a.(2)由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex.若a>1，則當(dāng)x時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0.所以f(x)在x1處取得極小值若a1，則當(dāng)x(0，1)時(shí)，ax1x1<0，所以f(x)>0.所以1不是f(x)的極小值點(diǎn)綜上可知，a的取值范圍是(1，)應(yīng)用三由圖形位置或形狀引起的分類(lèi)討論典型例題 設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|F1F2|PF2|432，則曲線C的離心率等于_【解析】不妨設(shè)|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，其中t0.若該曲線為橢圓，則有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，e；若該曲線為雙曲線，則有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，e.【答案】或(1)圓錐曲線形狀不確定時(shí)，常按橢圓、雙曲線來(lái)分類(lèi)討論，求圓錐曲線的方程時(shí)，常按焦點(diǎn)的位置不同來(lái)分類(lèi)討論(2)相關(guān)計(jì)算中，涉及圖形問(wèn)題時(shí)，也常按圖形的位置不同、大小差異等來(lái)分類(lèi)討論 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1過(guò)雙曲線x21的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|4，則這樣的直線l有()A1條B2條C3條D4條解析：選C.因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2，小于4，所以當(dāng)直線l與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)一定有兩條直線滿足條件；當(dāng)直線l與實(shí)軸垂直時(shí)，有31，解得y2或y2，此時(shí)直線AB的長(zhǎng)度是4，即只與雙曲線右支有兩個(gè)交點(diǎn)的所截弦長(zhǎng)為4的直線僅有一條綜上，可知有3條直線滿足|AB|4.2設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，則的值為_(kāi)解析：(1)若PF2F190°，則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又因?yàn)閨PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，所以.(2)若F1PF290°，則|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，所以|PF1|2(6|PF1|)220，所以|PF1|4，|PF2|2，所以2.綜上知，的值為或2.答案：或2二、轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸的原則常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸的方法1.熟悉化原則2.簡(jiǎn)單化原則3.直觀化原則4.正難則反原則1.直接轉(zhuǎn)化法2.換元法3.數(shù)形結(jié)合法4.構(gòu)造法5.坐標(biāo)法6.類(lèi)比法7.特殊化方法8.等價(jià)問(wèn)題法9.加強(qiáng)命題法10.補(bǔ)集法轉(zhuǎn)化與化歸思想就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用一一般與特殊的相互轉(zhuǎn)化典型例題 (1)過(guò)拋物線yax2(a>0)的焦點(diǎn)F，作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)若線段PF與FQ的長(zhǎng)度分別為p，q，則等于()A2aBC4aD(2)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab|ab|的最小值是_，最大值是_【解析】(1)拋物線yax2(a>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y(a>0)，焦點(diǎn)F.過(guò)焦點(diǎn)F作直線垂直于y軸，則|PF|QF|，所以4a.(2)由題意，不妨設(shè)b(2，0)，a(cos ，sin )，則ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin )，令y|ab|ab|，則y210216，20由此可得(|ab|ab|)max2，(|ab|ab|)min4，即|ab|ab|的最小值是4，最大值是2.【答案】(1)C(2)42(1)一般問(wèn)題特殊化，使問(wèn)題處理變得直接、簡(jiǎn)單特殊問(wèn)題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問(wèn)題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問(wèn)題的效果(2)對(duì)于某些選擇題、填空題，如果結(jié)論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)(a3)xax3在1，1上的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1B12，)C1，12D解析：選D.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)3x，x1，1，顯然滿足條件，故排除A、B；(注意，對(duì)于特殊值的選取，越簡(jiǎn)單越好，0，1往往是首選)當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)x3x，f(x)x2(x21)，當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)在1，1上單調(diào)遞減，所以f(x)minf(1)3，滿足條件，故排除C.綜上，選D.應(yīng)用二正與反的相互轉(zhuǎn)化典型例題 若對(duì)于任意t1，2，函數(shù)g(x)x3x22x在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【解析】由題意得g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t，3)上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0在(t，3)上恒成立，或g(x)0在(t，3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t，3)上恒成立，所以m43t恒成立，則m41，即m5；由得m43x在x(t，3)上恒成立，則m49，即m.所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為<m<5.【答案】(，5)(1)本題是正與反的轉(zhuǎn)化，由于函數(shù)不為單調(diào)函數(shù)有多種情況，所以可先求出其反面情況，體現(xiàn)“正難則反”的原則(2)題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對(duì)很少，從反面考慮較簡(jiǎn)單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問(wèn)題中 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1由命題“存在x0R，使e|x01|m0”是假命題，得m的取值范圍是(，a)，則實(shí)數(shù)a的取值是()A(，1)B(，2)C1D2解析：選C.由命題“存在x0R，使e|x01|m0”是假命題，可知它的否定形式“任意xR，使e|x1|m>0”是真命題，可得m的取值范圍是(，1)，而(，a)與(，1)為同一區(qū)間，故a1.2若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1在區(qū)間1，1內(nèi)至少存在一個(gè)值c，使得f(c)>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_解析：如果在1，1內(nèi)沒(méi)有值滿足f(x)>0，則p3或p，故實(shí)數(shù)滿足條件的p的取值范圍為.答案：應(yīng)用三常量與變量的相互轉(zhuǎn)化典型例題 已知函數(shù)f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)對(duì)任意a1，1，都有g(shù)(x)<0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)【解析】由題意，知g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.由題意得即解得<x<1.故x的取值范圍為.【答案】(1)本題是把關(guān)于x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為1，1內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)的問(wèn)題(2)在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù))，將其看成“主元”，而把其他變?cè)闯沙Ａ?，從而達(dá)到減少變?cè)?jiǎn)化運(yùn)算的目的 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1對(duì)于滿足0p4的所有實(shí)數(shù)p，使不等式x2px>4xp3成立的x的取值范圍是_解析：設(shè)f(p)(x1)px24x3，則當(dāng)x1時(shí)，f(p)0.所以x1.f(p)在0p4時(shí)恒為正等價(jià)于即解得x>3或x<1.故x的取值范圍為(，1)(3，)答案：(，1)(3，)2設(shè)y(log2x)2(t2)log2xt1，若t在2，2上變化時(shí)，y恒取正值，則x的取值范圍是_解析：設(shè)f(t)(log2x1)t(log2x)22log2x1，則f(t)是一次函數(shù)，當(dāng)t2，2時(shí)，f(t)>0恒成立，則即解得log2x<1或log2x>3，即0<x<或x>8，故x的取值范圍是(8，)答案：(8，)應(yīng)用四形、體位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化典型例題 在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求證：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.【證明】(1)在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，ABA1B1.因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形又因?yàn)锳A1AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，所以AB1A1B.因?yàn)锳B1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因?yàn)锳1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC，又因?yàn)锳B1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化是針對(duì)幾何問(wèn)題采用的一種特殊轉(zhuǎn)化方法主要適用于涉及平行、垂直的證明，如線面平行、垂直的推理與證明就是充分利用線面位置關(guān)系中的判定定理、性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1如圖，在棱長(zhǎng)為5的正方體ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF2，點(diǎn)Q是A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體PQEF的體積()A是變量且有最大值B是變量且有最小值C是變量且有最大值和最小值D是常數(shù)解析：選D.點(diǎn)Q到棱AB的距離為常數(shù)，所以EFQ的面積為定值由C1D1EF，可得棱C1D1平面EFQ，所以點(diǎn)P到平面EFQ的距離是常數(shù)，于是可得四面體PQEF的體積為常數(shù)2已知三棱錐PABC中，PABC2，PBAC10，PCAB2，則三棱錐PABC的體積為_(kāi)解析：因?yàn)槿忮FPABC的三組對(duì)邊兩兩相等，故可將此三棱錐放在一個(gè)特定的長(zhǎng)方體中(如圖所示)，把三棱錐PABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體AEBG­FPDC，易知三棱錐PABC的各棱分別是此長(zhǎng)方體的面對(duì)角線不妨令PEx，EBy，EAz，則由已知，可得從而知VPABCVAEBGFPDCVPAEBVCABGVBPDCVAFPCVAEBGFPDC4VPAEB6×8×104×××6×8×10160.答案：160應(yīng)用五函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化典型例題 已知函數(shù)f(x)3e|x|.若存在實(shí)數(shù)t1，)，使得對(duì)任意的x1，m)，mZ，且m>1，都有f(xt)3ex，求m的最大值【解】因?yàn)楫?dāng)t1，)，且x1，m時(shí)，xt0，所以f(xt)3exextext1ln xx.所以原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)t1，)，使得不等式t1ln xx，對(duì)任意x1，m)恒成立令h(x)1ln xx(x1)因?yàn)閔(x)10，所以函數(shù)h(x)在1，)上為減函數(shù)又x1，m)，所以h(x)minh(m)1ln mm，t值恒存在，只需1ln mm1.因?yàn)閔(3)ln 32ln>ln 1，h(4)ln 43ln<ln 1，且函數(shù)h(x)在1，)內(nèi)為減函數(shù)，所以滿足條件的最大整數(shù)m的值為3.(1)函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，解決方程、不等式的問(wèn)題需要函數(shù)幫助(2)解決函數(shù)的問(wèn)題需要方程、不等式的幫助，因?yàn)榻柚瘮?shù)與方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問(wèn)題，從而求參變量的范圍 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若對(duì)任意的x，總存在唯一的y1，1，使得ln xx1ay2ey成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()ABCD解析：選B.設(shè)f(x)ln xx1a，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)是增函數(shù)，所以x時(shí)，f(x)；設(shè)g(y)y2ey，則g(y)eyy(y2)，則g(y)在1，0)上單調(diào)遞減，在0，1上單調(diào)遞增，且g(1) <g(1)e.因?yàn)閷?duì)任意的x，總存在唯一的y1，1，使得f(x)g(y)成立，所以，解得<ae.2關(guān)于x的不等式x1a22a>0對(duì)x(0，)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析：設(shè)f(x)x(x>0)，則f(x)x24(當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)，等號(hào)成立)因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x1a22a>0對(duì)x(0，)恒成立，所以a22a1<4恒成立，解得1<a<3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，3)答案：(1，3) - 13 -