10.2雙曲線及其性質(zhì)挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、掌握雙曲線的幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2016浙江,7雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓、離心率雙曲線的幾何性質(zhì)1.理解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.2018浙江,2雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)2016浙江,7,文13雙曲線的離心率橢圓、雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程2015浙江,9雙曲線的漸近線雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程2014浙江,16雙曲線的漸近線、離心率直線與雙曲線的位置關(guān)系分析解讀1.考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì),一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),難度不大.2.重點(diǎn)考查雙曲線的漸近線、離心率以及解雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形.3.預(yù)計(jì)2020年高考試題中,對(duì)雙曲線的考查仍會(huì)以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),難度適中.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2018浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷一,8)已知F1,F2分別是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|PF2|,|PO|,|PF1|成等比數(shù)列,則雙曲線的離心率為() A.B.C.2D.答案A2.(2018浙江寧波高三期末,15)已知雙曲線C的漸近線方程是y=±2x,右焦點(diǎn)F(3,0),則雙曲線C的方程為,若點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,6),M是雙曲線C左支上的一點(diǎn),則FMN周長的最小值為. 答案x2-=1;6+2考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)1.(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)考,2)雙曲線-=1的離心率是()A.B.C.D.答案D2.(2018浙江名校協(xié)作體期初聯(lián)考,2)雙曲線-=1的漸近線方程是()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案C煉技法【方法集訓(xùn)】方法求雙曲線離心率(范圍)的常用方法1.(2018浙江金華十校模擬(4月),2)雙曲線-y2=1的離心率為() A.B.C.D.答案C2.(2018浙江蕭山九中12月月考,9)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,漸近線分別為l1,l2,位于第一象限的點(diǎn)P在l1上,若l2PF1,l2PF2,則雙曲線的離心率是()A.B.C.2D.答案C過專題【五年高考】A組自主命題·浙江卷題組考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 (2016浙江文,13,4分)設(shè)雙曲線x2-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.若點(diǎn)P在雙曲線上,且F1PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是. 答案(2,8)考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)1.(2018浙江,2,4分)雙曲線-y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2)答案B2.(2016浙江,7,5分)已知橢圓C1:+y2=1(m>1)與雙曲線C2:-y2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則()A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<1答案A3.(2015浙江,9,6分)雙曲線-y2=1的焦距是,漸近線方程是. 答案2;y=±x4.(2014浙江,16,4分)設(shè)直線x-3y+m=0(m0)與雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是. 答案B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2018天津文,7,5分)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為() A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案A2.(2017天津文,5,5分)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為()A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1答案D3.(2017天津理,5,5分)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案B4.(2016課標(biāo)全國,5,5分)已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)答案A5.(2015天津,6,5分)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線過點(diǎn)(2,),且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案D6.(2016江蘇,3,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1的焦距是. 答案2考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)1.(2018課標(biāo)全國文,10,5分)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()A.B.2C.D.2答案D2.(2018課標(biāo)全國理,11,5分)設(shè)F1,F2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|PF1|=|OP|,則C的離心率為()A.B.2C.D.答案C3.(2018課標(biāo)全國理,11,5分)已知雙曲線C:-y2=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為C的右焦點(diǎn),過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若OMN為直角三角形,則|MN|=()A.B.3C.2D.4答案B4.(2015課標(biāo),5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若·<0,則y0的取值范圍是()A.B.C.D.答案A5.(2018江蘇,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c,則其離心率的值是. 答案26.(2017課標(biāo)全國理,15,5分)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若MAN=60°,則C的離心率為. 答案C組教師專用題組考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2017課標(biāo)全國理, 5,5分)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為() A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案B2.(2015廣東,7,5分)已知雙曲線C:-=1的離心率e=,且其右焦點(diǎn)為F2(5,0),則雙曲線C的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案C3.(2015福建,3,5分)若雙曲線E:-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3答案B4.(2014湖北,8,5分)設(shè)a,b是關(guān)于t的方程t2cos +tsin =0的兩個(gè)不等實(shí)根,則過A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線-=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3答案A5.(2014天津,6,5分)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上,則雙曲線的方程為() A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案A6.(2014大綱全國,9,5分)已知雙曲線C的離心率為2,焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)A在C上.若|F1A|=2|F2A|,則cosAF2F1=()A.B.C.D.答案A考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)1.(2018課標(biāo)全國理,5,5分)雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為,則其漸近線方程為()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案A2.(2017課標(biāo)全國文,5,5分)已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則APF的面積為()A.B.C.D.答案D3.(2017課標(biāo)全國理,9,5分)若雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長為2,則C的離心率為()A.2B.C.D.答案A4.(2016天津,6,5分)已知雙曲線-=1(b>0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案D5.(2016課標(biāo)全國,11,5分)已知F1,F2是雙曲線E:-=1的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF1與x軸垂直,sinMF2F1=,則E的離心率為()A.B.C.D.2答案A6.(2015安徽,4,5分)下列雙曲線中,焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是()A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=1答案C7.(2015課標(biāo),11,5分)已知A,B為雙曲線E的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則E的離心率為()A.B.2C.D.答案D8.(2015重慶,10,5分)設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn),過B,C分別作AC,AB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于a+,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-,0)(0,)D.(-,-)(,+)答案A9.(2015四川,5,5分)過雙曲線x2-=1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點(diǎn),則|AB|=()A.B.2C.6D.4答案D10.(2015湖北,8,5分)將離心率為e1的雙曲線C1的實(shí)半軸長a和虛半軸長b(ab)同時(shí)增加m(m>0)個(gè)單位長度,得到離心率為e2的雙曲線C2,則()A.對(duì)任意的a,b,e1>e2B.當(dāng)a>b時(shí),e1>e2;當(dāng)a<b時(shí),e1<e2C.對(duì)任意的a,b,e1<e2D.當(dāng)a>b時(shí),e1<e2;當(dāng)a<b時(shí),e1>e2答案D11.(2014廣東,4,5分)若實(shí)數(shù)k滿足0<k<9,則曲線-=1與曲線-=1的()A.焦距相等B.實(shí)半軸長相等C.虛半軸長相等D.離心率相等答案A12.(2014課標(biāo),4,5分)已知F為雙曲線C:x2-my2=3m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為()A.B.3C.mD.3m答案A13.(2014山東,10,5分)已知a>b>0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線C2的方程為-=1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為()A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0答案A14.(2014重慶,8,5分)設(shè)F1、F2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.3答案B15.(2018北京文,12,5分)若雙曲線-=1(a>0)的離心率為,則a=. 答案416.(2017北京文,10,5分)若雙曲線x2-=1的離心率為,則實(shí)數(shù)m=. 答案217.(2017課標(biāo)全國文,14,5分)雙曲線-=1(a>0)的一條漸近線方程為y=x,則a=. 答案518.(2016北京,13,5分)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長為2,則a=. 答案219.(2015北京,10,5分)已知雙曲線-y2=1(a>0)的一條漸近線為x+y=0,則a=. 答案20.(2015湖南,13,5分)設(shè)F是雙曲線C:-=1的一個(gè)焦點(diǎn).若C上存在點(diǎn)P,使線段PF的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn),則C的離心率為. 答案21.(2015山東,15,5分)平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)交于點(diǎn)O,A,B.若OAB的垂心為C2的焦點(diǎn),則C1的離心率為. 答案22.(2014北京,11,5分)設(shè)雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(2,2),且與-x2=1具有相同漸近線,則C的方程為;漸近線方程為. 答案-=1;y=±2x23.(2014江西,20,13分)如圖,已知雙曲線C:-y2=1(a>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A,B分別在C的兩條漸近線上,AFx軸,ABOB,BFOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求雙曲線C的方程;(2)過C上一點(diǎn)P(x0,y0)(y00)的直線l:-y0y=1與直線AF相交于點(diǎn)M,與直線x=相交于點(diǎn)N.證明:當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí),恒為定值,并求此定值.解析(1)設(shè)F(c,0),因?yàn)閎=1,所以c=,直線OB的方程為y=-x,直線BF的方程為y= (x-c),解得B.又直線OA的方程為y=x,則A,kAB=.又因?yàn)锳BOB,所以·=-1,解得a2=3,故雙曲線C的方程為-y2=1.(2)由(1)知a=,則直線l的方程為-y0y=1(y00),即y=.因?yàn)橹本€AF的方程為x=2,所以直線l與AF的交點(diǎn)為M;直線l與直線x=的交點(diǎn)為N,則=·.因?yàn)镻(x0,y0)是C上一點(diǎn),則-=1,代入上式得=·=·=,所求定值為=.評(píng)析本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程、直線與雙曲線的綜合問題,考查考生綜合應(yīng)用能力、整體代換思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,準(zhǔn)確表示出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)是解決本題的前提,注意點(diǎn)P(x0,y0)與雙曲線的關(guān)系是化簡(jiǎn)的關(guān)鍵.考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力.【三年模擬】一、選擇題(每小題4分,共40分)1.(2019屆金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考,4)雙曲線9y2-4x2=1的漸近線方程為() A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案C2.(2019屆浙江嘉興9月基礎(chǔ)測(cè)試,9)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離小于它的實(shí)軸長,則該雙曲線離心離e的取值范圍是()A.1<e<B.1<e<C.e>D.e>答案B3.(2018浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考(4月),2)若y=x是曲線C:-=1(a,b>0)的一條漸近線,則C的離心率為() A.3B.C.D.答案B4.(2018浙江諸暨高三期末,8)已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),F1,F2為其左,右焦點(diǎn),若P是雙曲線右支上的一點(diǎn),且tanPF1F2=,tanPF2F1=2,則該雙曲線的離心率為()A. B.C.D.答案A5.(2018浙江高考模擬卷,5)已知F1,F2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩焦點(diǎn),以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF1的中點(diǎn)P在雙曲線上,則雙曲線的離心率是() A.+1B.-1C.2D.答案A6.(2018浙江新高考調(diào)研卷三(杭州二中),8)已知雙曲線右支上存在點(diǎn)P使得PAF=,PA=AF,其中A是雙曲線的右頂點(diǎn),F是左焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為()A.B.C.2-2D.+1答案C7.(2018浙江教育綠色評(píng)價(jià)聯(lián)盟適應(yīng)性試卷(5月),8)已知F1,F2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn),P是雙曲線上的一點(diǎn),且PF1PF2,若PF1F2的內(nèi)切圓半徑為,則該雙曲線的離心率為()A.-1B.C.D.+1答案C8.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期中,7)已知F是雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,|OF|為半徑的圓與該雙曲線的漸近線在y軸右側(cè)的兩個(gè)交點(diǎn)記為A,B,且AFB=120°,則雙曲線的離心率為() A.B.C.2D.答案C9.(2018浙江紹興高三適應(yīng)性模擬,7)如圖,已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,A為虛軸的一端點(diǎn).若以A為圓心的圓與C的一條漸近線相切于點(diǎn)B,且=t(tR),則該雙曲線的離心率為() A.2B.C.D.答案D10.(2018浙江諸暨高三適應(yīng)性考試,7)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線截橢圓+y2=1所得的弦長為,則此雙曲線的離心率為()A.B.C.D.答案B二、填空題(單空題4分,多空題6分,共14分)11.(2018浙江嵊州高三期末質(zhì)檢,12)已知雙曲線C:-=1(t>0)的其中一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(1,1),則該雙曲線的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,漸近線方程為. 答案(,0);y=±x12.(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考,16)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與雙曲線的漸近線交于A,B兩點(diǎn),且與其中一條漸近線垂直,若=3,則此雙曲線的離心率為. 答案13.(2017浙江名校協(xié)作體聯(lián)考,16)設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作與x軸垂直的直線交兩漸近線于A,B兩點(diǎn),且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若=+,=(,R),則雙曲線的離心率e為 . 答案17