(全國通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第四層熱身篇 專題檢測(二十四)不等式選講
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(全國通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第四層熱身篇 專題檢測(二十四)不等式選講
專題檢測(二十四) 不等式選講大題專攻強化練1(2019·昆明市質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)|2x1|.(1)解不等式f(x)f(x1)4;(2)當(dāng)x0,xR時,證明:f(x)f4.解:(1)不等式f(x)f(x1)4等價于|2x1|2x1|4,等價于或或解得x1或x1,所以原不等式的解集是(,11,)(2)證明:當(dāng)x0,xR時,f(x)f|2x1|,因為|2x1|2|x|4,當(dāng)且僅當(dāng)即x±1時等號成立,所以f(x)f4.2(2019·沈陽市質(zhì)量監(jiān)測(一)設(shè)a>b>0,且ab2,記的最小值為M.(1)求M的值,并寫出此時a,b的值;(2)解關(guān)于x的不等式:|3x3|x2|>M.解:(1)因為a>b>0,所以ab>0,>0,根據(jù)基本不等式有ab4,當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,所以M的值為4,此時a1,b1.(2)當(dāng)x1時,原不等式等價于(3x3)(2x)>4,解得x<;當(dāng)1<x<2時,原不等式等價于(3x3)(2x)>4,解得<x<2;當(dāng)x2時,原不等式等價于(3x3)(x2)>4,解得x2.綜上所述,原不等式的解集為.3已知函數(shù)f(x)|x2|.(1)解不等式f(x)f(x1)5.(2)若|a|>1,且f(ab)>|a|·f,證明:|b|>2.解:(1)不等式f(x)f(x1)5等價于|x2|x1|5,當(dāng)x>2時,(x2)(x1)5,x4;當(dāng)1x2時,(2x)(x1)5,15,無解;當(dāng)x<1時,(2x)(1x)5,x1.綜上,不等式的解集為x|x4或x1(2)證明:f(ab)>|a|·f|ab2|>|a|·|ab2|>|b2a|(ab2)2>(b2a)2a2b24b24a2>0(a21)(b24)>0.因為|a|>1,所以a21>0,所以b24>0,|b|>2.4已知a,b(0,),且2a4b2.(1)求的最小值;(2)若存在a,b(0,),使得不等式|x1|2x3|成立,求實數(shù)x的取值范圍解:(1)由2a4b2可知a2b1,又因為(a2b)4,由a,b(0,)可知42 48,當(dāng)且僅當(dāng)a2b時取等號,所以的最小值為8.(2)由(1)及題意知不等式等價于|x1|2x3|8,所以x.無解,所以x4.綜上,實數(shù)x的取值范圍為4,)5(2019·濟南市模擬考試)已知函數(shù)f(x)|x2|2x1|.(1)求不等式f(x)3的解集;(2)若不等式f(x)ax的解集為空集,求實數(shù)a的取值范圍解:(1)法一:由題意f(x)當(dāng)x時,f(x)3x33,解得x0,即0x,當(dāng)<x<2時,f(x)x13,解得x2,即<x<2,當(dāng)x2時,f(x)3x33,解得x2,即x2.綜上所述,原不等式的解集為0,2法二:由題意f(x)作出f(x)的圖象如圖所示,注意到當(dāng)x0或x2時,f(x)3,結(jié)合圖象,不等式的解集為0,2(2)由(1)可知,f(x)的圖象如圖所示,不等式f(x)ax的解集為空集可轉(zhuǎn)化為f(x)>ax對任意xR恒成立,即函數(shù)yax的圖象始終在函數(shù)yf(x)的圖象的下方,當(dāng)直線yax過點A(2,3)以及與直線y3x3平行時為臨界情況,所以3a<,即實數(shù)a的取值范圍為.6(2019·廣州市調(diào)研測試)已知函數(shù)f(x)|xa|(aR)(1)當(dāng)a2時,解不等式f(x)1;(2)設(shè)不等式f(x)x的解集為M,若M,求實數(shù)a的取值范圍解:(1)當(dāng)a2時,原不等式可化為|3x1|x2|3,當(dāng)x時,13x2x3,解得x0,所以x0;當(dāng)x2時,3x12x3,解得x1,所以1x2;當(dāng)x2時,3x1x23,解得x,所以x2.綜上所述,當(dāng)a2時,不等式的解集為.(2)不等式f(x)x可化為|3x1|xa|3x,依題意不等式|3x1|xa|3x在x上恒成立,所以3x1|xa|3x,即|xa|1,即a1xa1,所以解得a,故實數(shù)a的取值范圍是.7(2019·全國卷)設(shè)x,y,zR,且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值;(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立,證明:a3或a1.解:(1)因為(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2,所以由已知得(x1)2(y1)2(z1)2,當(dāng)且僅當(dāng)x,y,z時等號成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值為.(2)證明:因為(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2,所以由已知得(x2)2(y1)2(za)2,當(dāng)且僅當(dāng)x,y,z時等號成立所以(x2)2(y1)2(za)2的最小值為.由題設(shè)知,解得a3或a1.8(2019·江西省五校協(xié)作體試題)已知函數(shù)f(x)|x1|3xa|,若f(x)的最小值為1.(1)求實數(shù)a的值;(2)若a0,m,n均為正實數(shù),且滿足mn,求m2n2的最小值解:(1)f(x)|x1|3xa|,當(dāng)a3,即1時,f(x)f(1)f0,f(1)f,則當(dāng)x時,f(x)min41a1,a6.當(dāng)a3,即1時,f(x)f(1)f(3a)0,f(1)f,則當(dāng)x時,f(x)min41a1,a0.當(dāng)a3,即1時,f(x)4|x1|,當(dāng)x1時,f(x)min0不滿足題意綜上,a0或a6.(2)由題意知,mn3.m0,n0,(mn)2m2n22mn(m2n2)(m2n2)2(m2n2),即m2n2(mn)2,當(dāng)且僅當(dāng)mn時取“”m2n2,m2n2的最小值為.- 7 -