專題檢測（二十四） 不等式選講大題專攻強化練1(2019·昆明市質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)|2x1|.(1)解不等式f(x)f(x1)4；(2)當(dāng)x0，xR時，證明：f(x)f4.解：(1)不等式f(x)f(x1)4等價于|2x1|2x1|4，等價于或或解得x1或x1，所以原不等式的解集是(，11，)(2)證明：當(dāng)x0，xR時，f(x)f|2x1|，因為|2x1|2|x|4，當(dāng)且僅當(dāng)即x±1時等號成立，所以f(x)f4.2(2019·沈陽市質(zhì)量監(jiān)測(一)設(shè)a>b>0，且ab2，記的最小值為M.(1)求M的值，并寫出此時a，b的值；(2)解關(guān)于x的不等式：|3x3|x2|>M.解：(1)因為a>b>0，所以ab>0，>0，根據(jù)基本不等式有ab4，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以M的值為4，此時a1，b1.(2)當(dāng)x1時，原不等式等價于(3x3)(2x)>4，解得x<；當(dāng)1<x<2時，原不等式等價于(3x3)(2x)>4，解得<x<2；當(dāng)x2時，原不等式等價于(3x3)(x2)>4，解得x2.綜上所述，原不等式的解集為.3已知函數(shù)f(x)|x2|.(1)解不等式f(x)f(x1)5.(2)若|a|>1，且f(ab)>|a|·f，證明：|b|>2.解：(1)不等式f(x)f(x1)5等價于|x2|x1|5，當(dāng)x>2時，(x2)(x1)5，x4；當(dāng)1x2時，(2x)(x1)5，15，無解；當(dāng)x<1時，(2x)(1x)5，x1.綜上，不等式的解集為x|x4或x1(2)證明：f(ab)>|a|·f|ab2|>|a|·|ab2|>|b2a|(ab2)2>(b2a)2a2b24b24a2>0(a21)(b24)>0.因為|a|>1，所以a21>0，所以b24>0，|b|>2.4已知a，b(0，)，且2a4b2.(1)求的最小值；(2)若存在a，b(0，)，使得不等式|x1|2x3|成立，求實數(shù)x的取值范圍解：(1)由2a4b2可知a2b1，又因為(a2b)4，由a，b(0，)可知42 48，當(dāng)且僅當(dāng)a2b時取等號，所以的最小值為8.(2)由(1)及題意知不等式等價于|x1|2x3|8，所以x.無解，所以x4.綜上，實數(shù)x的取值范圍為4，)5(2019·濟南市模擬考試)已知函數(shù)f(x)|x2|2x1|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若不等式f(x)ax的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)法一：由題意f(x)當(dāng)x時，f(x)3x33，解得x0，即0x，當(dāng)<x<2時，f(x)x13，解得x2，即<x<2，當(dāng)x2時，f(x)3x33，解得x2，即x2.綜上所述，原不等式的解集為0，2法二：由題意f(x)作出f(x)的圖象如圖所示，注意到當(dāng)x0或x2時，f(x)3，結(jié)合圖象，不等式的解集為0，2(2)由(1)可知，f(x)的圖象如圖所示，不等式f(x)ax的解集為空集可轉(zhuǎn)化為f(x)>ax對任意xR恒成立，即函數(shù)yax的圖象始終在函數(shù)yf(x)的圖象的下方，當(dāng)直線yax過點A(2，3)以及與直線y3x3平行時為臨界情況，所以3a<，即實數(shù)a的取值范圍為.6(2019·廣州市調(diào)研測試)已知函數(shù)f(x)|xa|(aR)(1)當(dāng)a2時，解不等式f(x)1；(2)設(shè)不等式f(x)x的解集為M，若M，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a2時，原不等式可化為|3x1|x2|3，當(dāng)x時，13x2x3，解得x0，所以x0；當(dāng)x2時，3x12x3，解得x1，所以1x2；當(dāng)x2時，3x1x23，解得x，所以x2.綜上所述，當(dāng)a2時，不等式的解集為.(2)不等式f(x)x可化為|3x1|xa|3x，依題意不等式|3x1|xa|3x在x上恒成立，所以3x1|xa|3x，即|xa|1，即a1xa1，所以解得a，故實數(shù)a的取值范圍是.7(2019·全國卷)設(shè)x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，證明：a3或a1.解：(1)因為(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，所以由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時等號成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值為.(2)證明：因為(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，所以由已知得(x2)2(y1)2(za)2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時等號成立所以(x2)2(y1)2(za)2的最小值為.由題設(shè)知，解得a3或a1.8(2019·江西省五校協(xié)作體試題)已知函數(shù)f(x)|x1|3xa|，若f(x)的最小值為1.(1)求實數(shù)a的值；(2)若a0，m，n均為正實數(shù)，且滿足mn，求m2n2的最小值解：(1)f(x)|x1|3xa|，當(dāng)a3，即1時，f(x)f(1)f0，f(1)f，則當(dāng)x時，f(x)min41a1，a6.當(dāng)a3，即1時，f(x)f(1)f(3a)0，f(1)f，則當(dāng)x時，f(x)min41a1，a0.當(dāng)a3，即1時，f(x)4|x1|，當(dāng)x1時，f(x)min0不滿足題意綜上，a0或a6.(2)由題意知，mn3.m0，n0，(mn)2m2n22mn(m2n2)(m2n2)2(m2n2)，即m2n2(mn)2，當(dāng)且僅當(dāng)mn時取“”m2n2，m2n2的最小值為.- 7 -