仿真模擬卷四本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分共150分，考試時(shí)間120分鐘第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知集合Ax|x1，Bx|2x3>0，則AB()A0，) B1，)C. D.答案B解析因?yàn)锽x|2x3>0，Ax|x1，所以AB1，)2已知復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2i(i為虛數(shù)單位)，則()A1i B1iC1i D1i答案A解析由(1i)z2i，得z1i，1i.3設(shè)a，b是空間兩條直線，則“a，b不平行”是“a，b是異面直線”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析由a，b是異面直線a，b不平行反之，若直線a，b不平行，也可能相交，不一定是異面直線所以“a，b不平行”是“a，b是異面直線”的必要不充分條件4在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述兩顆星的星等與亮度滿足m2m1lg ，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k1,2)已知太陽的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A1010.1 B10.1 Clg 10.1 D1010.1答案A解析兩顆星的星等與亮度滿足m2m1lg ，令m21.45，m126.7，則lg (m2m1)×(1.4526.7)10.1，從而1010.1.5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出結(jié)果為1，則可輸入的實(shí)數(shù)x的值的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案B解析根據(jù)題意，該框圖的含義是：當(dāng)x2時(shí)，得到函數(shù)yx21；當(dāng)x>2時(shí)，得到函數(shù)ylog2x，因此，若輸出的結(jié)果為1時(shí)，若x2，得到x211，解得x±，若x>2，得到log2x1，無解，因此，可輸入的實(shí)數(shù)x的值可能為，共有2個(gè)6安排A，B，C，D，E，F(xiàn)，共6名義工照顧甲、乙、丙三位老人，每兩位義工照顧一位老人，考慮到義工與老人住址距離問題，義工A不安排照顧老人甲，義工B不安排照顧老人乙，則安排方法共有()A30種 B40種 C42種 D48種答案C解析6名義工照顧三位老人，每兩位義工照顧一位老人共有CC90種安排方法，其中A照顧老人甲的情況有CC30種，B照顧老人乙的情況有CC30種，A照顧老人甲，同時(shí)B照顧老人乙的情況有CC12種，所以符合題意的安排方法有9030301242種7在矩形ABCD中，AB3，AD4，AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AEBD，垂足為E，則·()A. B. C. D.答案B解析如圖，由AB3，AD4，得BD5，AE.又··()····，AEBD，·0，又·|·cosEAO|·|2，·.8一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的表面積為()A8 B8C6 D6答案B解析由三視圖可知，該幾何體是由半個(gè)圓錐與一個(gè)四棱錐組合而成，如圖所示，其中圓錐的底面半徑為1，高為，母線長為2，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，高為，取BC的中點(diǎn)N，連接MN，PN，則該幾何體的表面積為S×1×2××122×22××2×8.9若函數(shù)yf(x)的大致圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是()Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)答案C解析當(dāng)x0時(shí)，f(x)±，而A中的f(x)0，排除A；當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，而B中x0時(shí)，f(x)>0，D中，f(x)>0，排除B，D.10已知不等式xyax22y2對于x1,2，y2,3恒成立，則a的取值范圍是()A1，) B1,4)C1，) D1,6答案C解析不等式xyax22y2對于x1,2，y2,3恒成立，等價(jià)于a22對于x1,2，y2,3恒成立，令t，則1t3，at2t2在1,3上恒成立，y2t2t22，t1時(shí)，ymax1，a1，故a的取值范圍是1，)11已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，e為雙曲線的離心率，P是雙曲線右支上的點(diǎn)，PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I，過F2作直線PI的垂線，垂足為B，則|OB|等于()Aa Bb Cea Deb答案A解析如圖，延長F2B交PF1于點(diǎn)C，在PCF2中，由題意，得它是一個(gè)等腰三角形，|PC|PF2|，B為CF2的中點(diǎn)，在F1CF2中，有|OB|CF1|(|PF1|PC|)(|PF1|PF2|)×2aa.12設(shè)minm，n表示m，n二者中較小的一個(gè)，已知函數(shù)f(x)x28x14，g(x)min(x>0)若x15，a(a4)，x2(0，)，使得f(x1)g(x2)成立，則a的最大值為()A4 B3 C2 D0答案C解析由題意得g(x)則g(x)maxg(1)2.在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)f(x)(5xa)和g(x)(x>0)的圖象，如圖所示由f(x)2，得x6或2，x15，a，x2(0，)，使得f(x1)g(x2)成立，4a2，a的最大值為2.第卷本卷包括必考題和選考題兩部分第1321題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13已知點(diǎn)P(x，y)滿足條件則點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離為_答案解析畫出表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，由得由圖得，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,3)時(shí)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離最大，且最大值為.14函數(shù)f(x)·的最小正周期為_，最大值為_答案解析f(x)·cos，f(x)的最小正周期為T，最大值為.15從4男2女共6名學(xué)生中選出隊(duì)長1人、副隊(duì)長1人、普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有_種不同的選法(用數(shù)字作答)答案168解析第一類，先選1女3男，有CC8(種)，從這4人中選2人作為隊(duì)長和副隊(duì)長有A12(種)，故有8×1296(種)；第二類，先選2女2男，有CC6(種)，從這4人中選2人作為隊(duì)長和副隊(duì)長有A12(種)，故有6×1272(種)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理共有9672168(種)16如圖，在ABC中，sin，點(diǎn)D在線段AC上，且AD2DC，BD，則ABC的面積的最大值為_答案3解析由sin，可得cos，則sinABC2sincos.由sin<可知，0°<<45°，則0°<ABC<90°，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可知，cosABC.設(shè)ABx，BCy，AC3z(x>0，y>0，z>0)，在ABD中，由余弦定理可得，cosBDA，在CBD中，由余弦定理可得，cosBDC，由BDABDC180°，故cosBDAcosBDC，即，整理可得166z2x22y20.在ABC中，由余弦定理可知，x2y22xy×(3z)2，則6z2x2y2xy，代入式整理計(jì)算可得，x2y2xy16，由基本不等式可得，162xyxy，故xy9，當(dāng)且僅當(dāng)x3，y時(shí)等號(hào)成立，據(jù)此可知，ABC面積的最大值為Smax(AB·BC)max·sinABC×9×3.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本小題滿分12分)已知數(shù)列an滿足：an1，an12(nN*)，數(shù)列bn中，bn，且b1，b2，b4成等比數(shù)列(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)若Sn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解(1)證明：bn1bn1，數(shù)列bn是公差為1的等差數(shù)列(2)由題意可得bb1b4，即(b11)2b1(b13)，b11，bnn，Sn，2，Tn2×2×.18(本小題滿分12分)中國詩詞大會(huì)是央視推出的一檔以“賞中華詩詞，尋文化基因，品生活之美”為宗旨的大型文化類競賽節(jié)目，邀請全國各個(gè)年齡段、各個(gè)領(lǐng)域的詩詞愛好者共同參與詩詞知識(shí)比拼“百人團(tuán)”由一百多位來自全國各地的選手組成，成員上至古稀老人，下至垂髫小兒，人數(shù)按照年齡分組統(tǒng)計(jì)如下表：分組(年齡)7,20)20,40)40,80頻數(shù)(人)185436(1)用分層抽樣的方法從“百人團(tuán)”中抽取6人參加挑戰(zhàn)，求從這三個(gè)不同年齡組中分別抽取的挑戰(zhàn)者的人數(shù)；(2)在(1)中抽出的6人中，任選2人參加一對一的對抗比賽，求這2人來自同一年齡組的概率解(1)樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比是，樣本中包含3個(gè)年齡段的個(gè)體數(shù)，分別是：年齡在7,20)的人數(shù)為×181，年齡在20,40)的人數(shù)為×543，年齡在40,80的人數(shù)為×362，從這三個(gè)不同年齡組7,20)，20,40)，40,80中分別抽取的挑戰(zhàn)者的人數(shù)為1,3,2.(2)用分層抽樣的方法從“百人團(tuán)”中抽取6人參加挑戰(zhàn)，這三個(gè)不同年齡組7,20)，20,40)，40,80中分別抽取的挑戰(zhàn)者的人數(shù)為1,3,2.從抽出的6人中，任選2人參加一對一的對抗比賽，基本事件總數(shù)為nC15，這2人來自同一年齡組包含的基本事件個(gè)數(shù)為mCC4，這2人來自同一年齡組的概率P.19(本小題滿分12分)如圖，在各棱長均為2的正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為棱A1B1與BB1的中點(diǎn)，M，N為線段C1D上的動(dòng)點(diǎn)，其中，M更靠近D，且MNC1N.(1)證明：A1E平面AC1D；(2)若NE與平面BCC1B1所成角的正弦值為，求異面直線BM與NE所成角的余弦值解(1)證明：由已知得A1B1C1為正三角形，D為棱A1B1的中點(diǎn)，C1DA1B1，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，C1D底面A1B1C1，則AA1C1D.又A1B1AA1A1，A1B1，AA1平面ABB1A1，C1D平面ABB1A1，又A1E平面ABB1A1，C1DA1E.易證A1EAD，又ADC1DD，AD，C1D平面AC1D，A1E平面AC1D.(2)取BC的中點(diǎn)O，B1C1的中點(diǎn)O1，連接AO，則AOBC，OO1BC，OO1AO，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(0,1,0)，E(0,1,1)，C1(0，1,2)，D，設(shè)，則(0,2，1)，易知n(1,0,0)是平面BCC1B1的一個(gè)法向量，|cos，n|，解得，(舍去)，2，cos，異面直線NE與BM所成角的余弦值為.20(本小題滿分12分)已知A，F(xiàn)分別是橢圓C：1(a>b>0)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PFx軸時(shí)，|AF|2|PF|.(1)求橢圓C的離心率；(2)若橢圓C上存在點(diǎn)Q，使得四邊形AOPQ是平行四邊形(點(diǎn)P在第一象限)，求直線AP與OQ的斜率之積；(3)記圓O：x2y2為橢圓C的“關(guān)聯(lián)圓”若b，過點(diǎn)P作橢圓C的“關(guān)聯(lián)圓”的兩條切線，切點(diǎn)為M，N，直線MN在x軸和y軸上的截距分別為m，n，求證：為定值解(1)由PFx軸，知xPc，代入橢圓C的方程，得1，解得yP±.又|AF|2|PF|，所以ac，所以a2ac2b2，即a22c2ac0，所以2e2e10，由0<e<1，解得e.(2)因?yàn)樗倪呅蜛OPQ是平行四邊形，所以PQa且PQx軸，所以xP，代入橢圓C的方程，解得yP±b，因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以yPb，同理可得xQ，yQb，所以kAPkOQ·，由(1)知e，得，所以kAPkOQ.(3)證明：由(1)知e，又b，解得a2，所以橢圓C的方程為1，圓O的方程為x2y2.連接OM，ON(圖略)，由題意可知，OMPM，ONPN，所以四邊形OMPN的外接圓是以O(shè)P為直徑的圓，設(shè)P(x0，y0)，則四邊形OMPN的外接圓方程為22(xy)，即x2xx0y2yy00.，得直線MN的方程為xx0yy0，令y0，則m，令x0，則n.所以49，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以1，所以49(為定值)21(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ln xax，g(x)x2，aR.(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(2)若f(x)g(x)恒成立，求a的取值范圍解(1)f(x)ln xax的定義域?yàn)?0，)，f(x)a，當(dāng)a0時(shí)，f(x)a>0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)a>0得0<x<，令f(x)a<0得x>，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)有極大值點(diǎn)為x，無極小值點(diǎn)(2)由條件可得ln xx2ax0(x>0)恒成立，則當(dāng)x>0時(shí)，ax恒成立，令h(x)x(x>0)，則h(x)，令k(x)1x2ln x(x>0)，則當(dāng)x>0時(shí)，k(x)2x<0，所以k(x)在(0，)上為減函數(shù)又k(1)0，所以在(0,1)上，h(x)>0；在(1，)上，h(x)<0.所以h(x)在(0,1)上為增函數(shù)，在(1，)上為減函數(shù)，所以h(x)maxh(1)1，所以a1.請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請寫清題號(hào)22(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系(兩種坐標(biāo)系的單位長度相同)中，直線l的極坐標(biāo)方程為sin.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)求直線l與曲線C的公共點(diǎn)P的極坐標(biāo)解(1)消去參數(shù)t，得曲線C的直角坐標(biāo)方程x2y24(x2)將xcos，ysin代入x2y24，得2(cos2sin2)4.所以曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos24.(2)將l與C的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，消去得4sin22cos2.展開得3cos22sincossin22(cos2sin2)因?yàn)閏os0，所以3tan22tan10.于是方程的解為tan，即.代入sin，得2，所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.23(本小題滿分10分)選修45：不等式選講已知x，yR，xy4.(1)要使不等式|a2|a1|恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：x22y2，并指出等號(hào)成立的條件解(1)因?yàn)閤，yR，xy4，所以1.由基本不等式，得 1，當(dāng)且僅當(dāng)xy2時(shí)取等號(hào)要使不等式|a2|a1|恒成立，只需不等式|a2|a1|1成立即可構(gòu)造函數(shù)f(a)|a2|a1|，則等價(jià)于解不等式f(a)1.因?yàn)閒(a)所以解不等式f(a)1，得a0.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，0(2)證明：因?yàn)閤，yR，xy4，所以y4x(0<x<4)，于是x22y2x22(4x)23x216x3232，當(dāng)x，y時(shí)等號(hào)成立- 15 -