第5講古典概型一、選擇題1.集合A2，3，B1，2，3，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是()A. B. C. D.解析從A，B中任意取一個數(shù)，共有C·C6種情形，兩數(shù)和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)兩種，P.答案C2.(2017·黃山一模)從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)，則取出的3個數(shù)可作為三角形的三邊邊長的概率是()A. B. C. D.解析從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)的基本事件數(shù)有C10種.根據(jù)三角形三邊關系能構成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共3個基本事件，故所求概率為P.答案A3.(2017·馬鞍山一模)某同學先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點數(shù)記為x，第二次向上的點數(shù)記為y，在直角坐標系xOy中，以(x，y)為坐標的點落在直線2xy1上的概率為()A. B. C. D.解析落在2xy1上的點有(1，1)，(2，3)，(3，5)共3個，故所求的概率為P.答案A4.(2017·鄭州模擬)一個三位自然數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當且僅當a>b，b<c時稱為“凹數(shù)”(如213，312等)，若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)是“凹數(shù)”的概率是()A. B. C. D.解析選出一個三位數(shù)有A24種情況，取出一個凹數(shù)有C×28種情況，所以，所求概率為P.答案C5.如圖，三行三列的方陣中有九個數(shù)aij(i1，2，3；j1，2，3)，從中任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是()A. B. C. D.解析從九個數(shù)中任取三個數(shù)的不同取法共有C84種，因為取出的三個數(shù)分別位于不同的行與列的取法共有C·C·C6種，所以至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率為1.答案D二、填空題6.(2015·江蘇卷)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_.解析這兩只球顏色相同的概率為，故兩只球顏色不同的概率為1.答案7.(2016·上海卷)某食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學各自所選的兩種水果相同的概率為_.解析甲同學從四種水果中選兩種，選法種數(shù)有C，乙同學的選法種數(shù)為C，則兩同學的選法種數(shù)為C·C，兩同學各自所選水果相同的選法種數(shù)為C，由古典概型概率計算公式可得，甲、乙兩同學各自所選的兩種水果相同的概率為P.答案8.從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是6的概率為_.解析從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七個不同的數(shù)，基本事件共有C120(個)，記事件“七個數(shù)的中位數(shù)為6”為事件A，若事件A發(fā)生，則6，7，8，9必取，再從0，1，2，3，4，5中任取3個數(shù)，有C種選法.故所求概率P(A).答案三、解答題9.海關對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.解(1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是：50×1，150×3，100×2.所以A，B，C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1，3，2.(2)從6件樣品中抽取2件商品的基本事件數(shù)為C15，每個樣品被抽到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件數(shù)為CC4，所以P(D).故這2件商品來自相同地區(qū)的概率為.10.一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同.隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.解(1)由題意，(a，b，c)所有的可能的結果有3327(種).設“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”為事件A，則事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3種.所以P(A).因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”的概率為.(2)設“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3種.所以P(B)1P(B)1.因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為.11.隨機擲兩枚質地均勻的骰子，它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為p1，點數(shù)之和大于5的概率記為p2，點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3，則()A.p1p2p3 B.p2p1p3C.p1p3p2 D.p3p1p2解析隨機擲兩枚質地均勻的骰子，所有可能的結果共有36種.事件“向上的點數(shù)之和不超過5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10種，其概率p1.事件“向上的點數(shù)之和大于5”與“向上的點數(shù)之和不超過5”是對立事件，所以“向上的點數(shù)之和大于5”的概率p2.因為朝上的點數(shù)之和不是奇數(shù)就是偶數(shù)，所以“點數(shù)之和為偶數(shù)”的概率p3.故p1<p3<p2.答案C12.(2017·西安調研)安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動，每天只需一人參加，其中甲參加三天活動，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動的概率為()A. B. C. D.解析由題意，甲連續(xù)三天參加活動的所有情況為：第13天，第24天，第35天，第46天，共4種.故所求事件的概率P.答案B13.(2017·河南省八市重點高中質檢)已知函數(shù)f(x)2x24ax2b2，若a4，6，8，b3，5，7，則該函數(shù)有兩個零點的概率為_.解析要使函數(shù)f(x)2x24ax2b2有兩個零點，即方程x22axb20要有兩個實根，則16(a2b2)>0，又a4，6，8，b3，5，7，即a>b，從a4，6，8，b3，5，7分別取1個a和1個b，有3×39(種)，其中滿足a>b的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共6種，所以所求的概率為.答案14.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的.(1)求袋中原有白球的個數(shù)；(2)求取球2次即終止的概率；(3)求甲取到白球的概率.解(1)設袋中原有n個白球，從袋中任取2個球都是白球的結果數(shù)為C，從袋中任取2個球的所有可能的結果數(shù)為C.由題意知從袋中任取2球都是白球的概率P，則n(n1)6，解得n3(舍去n2)，即袋中原有3個白球.(2)設事件A為“取球2次即終止”.取球2次即終止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，P(A).(3)設事件B為“甲取到白球”，“第i次取到白球”為事件Ai，i1，2，3，4，5，因為甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.所以P(B)P(A1A3A5)P(A1)P(A3)P(A5).6