創(chuàng)立于 1989 年五星級名校沖刺第一品牌教之以簡用之為豐1/10秋季 vip 學(xué)科優(yōu)化教案第 3 講教學(xué)部主管：時間：2016年 月 日輔導(dǎo)科目奧數(shù)就讀年級六教師姓名張嵐課題速算與巧算授課時間2016.10.7 備課時間2016.9.30 教學(xué)目標(biāo)1、掌握速算與巧算的方法，提高學(xué)生的計算能力和思維能力；2、選用合理、靈活的計算方法，簡便運(yùn)算過程，化繁為簡，化難為易，使計算又快又準(zhǔn)確。3、理解提公因式即分配律的逆運(yùn)算4、掌握“裂項”計算技巧重、難點(diǎn)1、計算方法的選擇2、計算仔細(xì)程度3、裂項計算技巧的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容運(yùn)算律回顧：加法交換律：a+b=b+a 乘法交換律：ab=ba 加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c）乘法結(jié)合律：abc=a(bc)減法的性質(zhì)：abc=a(b+c)乘法分配律：a(b+c)=a b+ac 除法的性質(zhì)：abc=a(b c)提取公因數(shù)：這個方法等同于課內(nèi)所學(xué)的乘法分配律的逆運(yùn)算。一般情況下，用提取公因數(shù)法解決的題目有兩個特征。一、要有“公因數(shù)”（共同的因數(shù)），如果是“疑似”公因數(shù)（例如 38 和 3.8或者 38 和 19）我們可以借助下面幾個方法對它進(jìn)行加工。承上啟下知識回顧名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 1 頁，共 10 頁 -創(chuàng)立于 1989 年五星級名校沖刺第一品牌教之以簡用之為豐2/10ab=(a10)(b10)abc=cba abc=a(b c)二、要有互補(bǔ)數(shù)。裂項的計算技巧：“裂差”型運(yùn)算分?jǐn)?shù)裂項“裂和”型運(yùn)算整數(shù)裂項知識點(diǎn)一：提公因數(shù)法題型一、直接提?。豪?1：計算 3101-6.3【思路導(dǎo)航】把算式補(bǔ)充完整，6.3101-6.3 1，學(xué)生就很容易看出兩個乘法算式中有相同的因數(shù)6.3。省略“1”的寫法，同學(xué)要看的出?！窘獯稹吭?6.3（101-1）=6.3100 =630【隨堂練習(xí)】13419+8615190.25+0.625 861519+8615190.125 例 2：計算 7.8161.45+3.14 2.184+1.69 7.816【思路導(dǎo)航】觀察整個算式的過程中，你有沒有發(fā)現(xiàn)局部的公因數(shù)呢？將局部進(jìn)行提取公數(shù)計算，看看會發(fā)生什么事情？【解答】原式=7.816（1.45+1.69）+3.142.184 =7.8163.14+3.14 2.184 （這里是不是可以繼續(xù)提取公因數(shù)了呢）緊扣考點(diǎn)專題講解名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 2 頁，共 10 頁 -創(chuàng)立于 1989 年五星級名校沖刺第一品牌教之以簡用之為豐3/10 =3.14（7.816+2.184）=3.1410 =31.4 總結(jié)：在加減乘除混合運(yùn)算中，先觀察有無公因數(shù)。如果沒有，有無局部的公因數(shù)，有局部公因數(shù)的題目往往可以進(jìn)行二次提取?！倦S堂練習(xí)】計算 81.515.881.5 51.867.618.5【變式訓(xùn)練】計算 8.1 1.381.3 1.9 1.3+11.9 1.3題型二、有疑似公因數(shù)，變化后再提取：例 3：36.16.8+4860.32【思路導(dǎo)航】本題直接計算不是好辦法。經(jīng)驗告訴我們，這道題一定可以提取公因數(shù)。可是，公因數(shù)在哪呢？這里就需要我們構(gòu)造！本題中6.8 和 0.32 是不是可以變成“補(bǔ)數(shù)”呢？【解答】原式=36.16.8+48.63.2=36.16.8+（36.1+12.5）3.2=36.1（6.8+3.2）+12.53.2=36112.580.4=361+40=401總結(jié)：當(dāng)題中出現(xiàn)“補(bǔ)數(shù)”或某些數(shù)可以化為“補(bǔ)數(shù)”時，要注意去湊公因數(shù)。名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 3 頁，共 10 頁 -創(chuàng)立于 1989 年五星級名校沖刺第一品牌教之以簡用之為豐4/10【隨堂練習(xí)】計算 3352525+37.9625【變式訓(xùn)練】計算 20.11 13+201.15.5+20110.32 知識點(diǎn)二：計算三大技巧裂項常見的裂項一般是將原來的分?jǐn)?shù)分拆成兩個分?jǐn)?shù)或多個分?jǐn)?shù)的和或差，使拆分后的項可以前后抵消或湊整。這種題目看似結(jié)構(gòu)復(fù)雜，但一般無需進(jìn)行復(fù)雜的計算。一般分為分?jǐn)?shù)裂項和整數(shù)裂項，其中分?jǐn)?shù)裂項是重要考點(diǎn)。例 4、計算：16612041【思路導(dǎo)航】我們?nèi)绻业揭粋€數(shù)能被41 整除，那么想想 166120中是否包含這樣的一個數(shù)呢？顯然我們要對166120進(jìn)行拆分。將它拆分成 164+2120，剛好 164能被 41 整除。（拆分可以看成簡單的裂項）【解答】原式=（166+2120）41 =16441+412041 名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 4 頁，共 10 頁 -創(chuàng)立于 1989 年五星級名校沖刺第一品牌教之以簡用之為豐5/10 =4+2120 =4120【隨堂練習(xí)】542517【變式訓(xùn)練】1998199819981999思考：公式推導(dǎo)：同學(xué)們都知道，在計算分?jǐn)?shù)加減法時，兩個分母不同的分?jǐn)?shù)相加減，要先通分化成同分母分?jǐn)?shù)后再計算例如：1314=112，這里分母 3、4 是相鄰的兩個自然數(shù)，公分母正好是它們的乘積，把這個例題推廣到一般情況，就有一個很有用的等式：111nn1(+1)(1)nnnnnn=n1(1)nnn=1(1)nn即1111(1)nnnn或者111(1)1nnnn下面利用這個等式，巧妙地計算一些分?jǐn)?shù)求和的問題名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 5 頁，共 10 頁 -創(chuàng)立于 1989 年五星級名校沖刺第一品牌教之以簡用之為豐6/10知識點(diǎn)二：計算技巧之“裂項”一、分?jǐn)?shù)裂項“裂差”型運(yùn)算題型一：當(dāng)分母上是兩個數(shù)乘積的形式，分子可以表示分母上這兩個數(shù)的差，則可以進(jìn)行裂項。例 5：計算11 2+12 3+134+199 100【思路導(dǎo)航】分母是相鄰兩數(shù)之和，那么我們可以運(yùn)用上面所推導(dǎo)的公式進(jìn)行拆分【解答】原式=11111111111=(1)+()()()+()()223344598999910011111111111=1+22334459899991001=110099100【隨堂練習(xí)】計算111110 1111 1212 134950【變式訓(xùn)練】計算1111+1 4477101920（提示：每個分?jǐn)?shù)的分子為1，分母是 3 的兩個自然數(shù)的乘積，因此可將每個分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)的差，結(jié)果擴(kuò)大三倍，那么我們將這個差縮小三倍才能作恒等名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 6 頁，共 10 頁 -創(chuàng)立于 1989 年五星級名校沖刺第一品牌教之以簡用之為豐7/10變形。）總結(jié)：將1()nnd分拆成兩個數(shù)的差時，不要忘記乘以1d，這樣才是恒等變形。題型二：當(dāng)分母上是幾個數(shù)的乘積形式，分子可以表示為頭尾兩個因數(shù)的差，則可以進(jìn)行裂項。思考：公式推導(dǎo)：例如將22 34進(jìn)行恒等變形。1111422612233 42 3423 4分母 6 和 12 分解質(zhì)因式之后為（2,3）和（2,2,3）那么我們可以將它重新組合成三個相鄰數(shù)相乘，此時分母擴(kuò)大了2 倍，要想分?jǐn)?shù)的大小不變，則分子也要擴(kuò)大兩倍。因此112211=233423423 42334或則有公式：2k11()(2)()()(2)nnknknnknknk例 6：計算1111+1 23234345456【思路導(dǎo)航】我們已經(jīng)學(xué)會了將分?jǐn)?shù)為兩個數(shù)相乘的分?jǐn)?shù)拆分成兩個分?jǐn)?shù)相減的形式，同樣的道理我們也可以將分母為三個數(shù)相乘的分?jǐn)?shù)拆分成兩個分?jǐn)?shù)之差，且同樣使得一些分?jǐn)?shù)相抵消，從而達(dá)到簡便計算的效果。分母是連續(xù)的三個自然數(shù)相乘，且第一個數(shù)與第二個數(shù)相差2，而分子是 1，必須將分子變?yōu)?2 才能裂項，分子變?yōu)?2，要使分?jǐn)?shù)大小不變，分?jǐn)?shù)值必須乘以12?！窘獯稹吭?111111111()1 22 3233 43 44 54 55 62名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 7 頁，共 10 頁 -創(chuàng)立于 1989 年五星級名校沖刺第一品牌教之以簡用之為豐8/10 =111()2562 =141302 =730【隨堂練習(xí)】2222+2342454569899100例 7：計算1111111+6122030425672（逆向運(yùn)用題型）【思路導(dǎo)航】對于多個不同分?jǐn)?shù)單位相加的計算題，我們一般試著把分母轉(zhuǎn)化成兩數(shù)相乘的形式，然后嘗試用裂項法來解決。要注意整個過程中都是形式變化而值不變。【解答】原式=111111+1 2233 445568 9=1-111111111111+223344556689=1-19 =89【隨堂練習(xí)】111111+2460120210336504名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 8 頁，共 10 頁 -創(chuàng)立于 1989 年五星級名校沖刺第一品牌教之以簡用之為豐9/10二、分?jǐn)?shù)裂項“裂和”型運(yùn)算當(dāng)分母上是兩個數(shù)的乘積的形式，分子可表示為分母上這兩個乘積的和，則可以進(jìn)行裂和。例如：53+23211=+=+2 323232323例：計算111356671、計算1111+1 3 535757911 13 152、計算 53.535.5+53.5 43.2+78.5 46.5 高分秘訣總結(jié)練習(xí)名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 9 頁，共 10 頁 -創(chuàng)立于 1989 年五星級名校沖刺第一品牌教之以簡用之為豐10/103、計算 361.09+1.2 67.34、計算112233+122335577101013計算：365791113+57612203042挑戰(zhàn)自己拓展提高名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 10 頁，共 10 頁 -