考點(diǎn)規(guī)范練41雙曲線、拋物線一、基礎(chǔ)鞏固1.(2018浙江,2)雙曲線x23-y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)2.“k<9”是“方程x225-k+y2k-9=1表示雙曲線”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.(2018全國,理5)若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為3,則其漸近線方程為()A.y=±2xB.y=±3xC.y=±22xD.y=±32x4.已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線上,C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為()A.-43B.-1C.-34D.-125.已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則APF的面積為()A.13B.12C.23D.326.(2018全國,理11)設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|PF1|=6|OP|,則C的離心率為()A.5B.2C.3D.27.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上存在一點(diǎn)P,點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)O、右焦點(diǎn)F2構(gòu)成正三角形,則雙曲線的離心率為. 8.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長線交y軸于點(diǎn)N,若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=. 9.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為2,且過點(diǎn)(4,-10),點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程;(2)求證:MF1·MF2=0;(3)求F1MF2的面積.10.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=9.(1)求該拋物線的方程;(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若OC=OA+OB,求的值.二、能力提升11.(2018全國,理8)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線與C交于M,N兩點(diǎn),則FM·FN=()A.5B.6C.7D.812.已知點(diǎn)F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線C的右支上,且滿足|F1F2|=2|OP|,|PF1|3|PF2|,則雙曲線C的離心率的取值范圍為()A.(1,+)B.102,+C.1,102D.1,5213.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為. 14.已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1,F2,且|F1F2|=213,橢圓的長半軸長與雙曲線的實(shí)半軸長之差為4,離心率之比為37.(1)求橢圓和雙曲線的方程;(2)若P為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn),求cosF1PF2的值.15.(2018全國,理19)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.三、高考預(yù)測16.已知拋物線x2=2py(p>0)的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1,過點(diǎn)P(0,p)作直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),其中x1>x2.(1)若直線AB的斜率為12,過A,B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線,求圓C的方程;(2)若AP=PB,是否存在異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q,使得對(duì)任意,都有QP(QA-QB)?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.考點(diǎn)規(guī)范練41雙曲線、拋物線1.B解析a2=3,b2=1,c2=a2+b2=3+1=4.c=2.又焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(2,0).2.A解析方程x225-k+y2k-9=1表示雙曲線,(25-k)·(k-9)<0,k<9或k>25,“k<9”是“方程x225-k+y2k-9=1表示雙曲線”的充分不必要條件,故選A.3.A解析e=ca=3,c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3.ba=2.雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,漸近線方程為y=±bax,漸近線方程為y=±2x.4.C解析由已知得準(zhǔn)線方程為x=-2,所以F的坐標(biāo)為(2,0).又A(-2,3),所以直線AF的斜率為k=3-0-2-2=-34.5.D解析由題意可知雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2,0),將x=2代入雙曲線C的方程,得4-y23=1,解得y=±3.不妨取點(diǎn)P(2,3),因?yàn)辄c(diǎn)A(1,3),所以APx軸,又PFx軸,所以APPF,所以SAPF=12|PF|·|AP|=12×3×1=32.6. C解析由題意畫圖,如圖所示,|PF2|=b,|OP|=a,由題意,得|PF1|=6a.設(shè)雙曲線的漸近線OP的傾斜角為.在OPF1中,由余弦定理知cos(180°-)=a2+c2-(6a)22ac=c2-5a22ac=-cos.又cos=ac,c2-5a22ac=-ac,解得c2=3a2.e=3.7.3+1解析由題意可知要使三角形OPF2為正三角形,則P12c,32c.因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上,所以c24a2-3c24b2=1,結(jié)合b2=c2-a2及e=ca,化簡得e4-8e2+4=0,解得e2=4+23或e2=4-23.因?yàn)閑>1,所以e2=4+23,所以e=4+23=3+1.8.6解析設(shè)N(0,a),由題意可知F(2,0).又M為FN的中點(diǎn),則M1,a2.因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線C上,所以a24=8,即a2=32,即a=±42.所以N(0,±42).所以|FN|=(2-0)2+(0±42)2=6.9.(1)解e=2,a=b.可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=(0).雙曲線過點(diǎn)(4,-10),16-10=,即=6.雙曲線的方程為x2-y2=6.(2)證明由題意知c=23,不妨設(shè)F1(-23,0),F2(23,0),則MF1=(-23-3,-m),MF2=(23-3,-m).MF1·MF2=(3+23)×(3-23)+m2=-3+m2.點(diǎn)M在雙曲線上,9-m2=6,即m2=3,MF1·MF2=0.(3)解F1MF2的底邊長|F1F2|=43,由(2)知m=±3,F1MF2的高h(yuǎn)=|m|=3,SF1MF2=12×43×3=6.10.解(1)由題意得直線AB的方程為y=22·x-p2,與y2=2px聯(lián)立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,從而該拋物線的方程為y2=8x.(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,則x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,從而A(1,-22),B(4,42).設(shè)C(x3,y3),則OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x3,所以22(2-1)2=8(4+1),整理得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.11.D解析由題意知F(1,0),過點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線方程為y=23(x+2).與拋物線方程y2=4x聯(lián)立,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4.不妨設(shè)M(1,2),N(4,4),所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FM·FN=8.12.C解析由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,則PF1F2為直角三角形,且PF1PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.由雙曲線定義可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|3|PF2|,所以|PF2|a,所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化為(|PF2|+a)2=2c2-a2,即有2c2-a24a2,可得c102a,由e=ca>1,可得1<e102,故選C.13.y=±22x解析拋物線x2=2py的焦點(diǎn)為F0,p2,準(zhǔn)線方程為y=-p2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4·p2=2p.所以y1+y2=p.聯(lián)立雙曲線與拋物線方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.所以該雙曲線的漸近線方程為y=±22x.14.解(1)由題意知c=13,設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),雙曲線方程為x2m2-y2n2=1(m>0,n>0),則a-m=4,7·13a=3·13m,解得a=7,m=3.所以b=6,n=2.所以橢圓方程為x249+y236=1,雙曲線方程為x29-y24=1.(2)不妨設(shè)F1,F2分別為左、右焦點(diǎn),P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn),則|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=213,所以cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=102+42-(213)22×10×4=45.15.解(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由題設(shè)知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程為y=x-1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線的方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16,解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.16.解(1)由已知得p=2,直線和y軸交于點(diǎn)(0,2),則直線AB的方程為y-2=12x,即x-2y+4=0.由x-2y+4=0,x2=4y,得A,B的坐標(biāo)分別為(4,4),(-2,1).又x2=4y,可得y=14x2,故y'=12x,故拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為2.設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則b-4a-4=-12,(a+2)2+(b-1)2=(a-4)2+(b-4)2,解得a=-1,b=132,r2=1254,故圓的方程為(x+1)2+y-1322=1254,即為x2+y2+2x-13x+12=0.(2)存在.依題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,代入拋物線方程x2=4y,得x2-4kx-8=0,故x1x2=-8.由已知AP=PB,得-x1=x2.若k=0,這時(shí)=1,要使QP(QA-QB),點(diǎn)Q必在y軸上.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0,m),從而QP=(0,2-m),QA-QB=(x1,y1-m)-(x2,y2-m)=(x1-x2,y1-m-(y2-m),故QP·(QA-QB)=(2-m)y1-y2-m(1-)=0,即y1-y2-m(1-)=0,即x124+x1x2·x224-m1+x1x2=0,即14x2(x1+x2)(x1x2-4m)=0,將代入得m=-2.所以存在點(diǎn)Q(0,-2)使得QP(QA-QB).10